1、 2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分） 1、计算： 31 ii （ i 为虚数单位） 2、若集合 2 1 0A x x ， 1B x x，则 AB 3、函数 sin 2() 1 cosxfx x 的最小正周期是 4、若 (2,1)d 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示） 5、一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2 ，该圆柱的表面积为 6、方程 14 2 3 0 xx 的解是 7、有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 12 为公比的等比数列，体积分别记为 12, ,.,
2、 ,.nV V V ， 则 12lim ( . )nn V V V 8、在 61x x 的二项式展开式中，常数项等于 9、已知 ()y f x 是奇函数，若 ( ) ( ) 2g x f x且 (1) 1g ，则 ( 1)g 10、满足约束条件 22xy的目标函数 z y x的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人 选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12、在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、 1，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上 的点，且满足 BM CN BC CD ，则 AM AN 的取值范
3、围是 13、已知函数 ()y f x 的图像是折线段 ABC ，其中 (0,0)A 、 1( ,1)2B 、 (1,0)C ，函数 ()y xf x （ 01x）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 14、已知 1()1fx x ，各项均为正数的数列 na 满足 1 1a ， 2 ()nna f a ， 若 2010 2012aa ，则 20 11aa 的值是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 15、若 12 i 是关于 x 的实系数方程 2 0 x bx c 的一个复数根，则（ ） A、 2, 3bc B、 2, 1bc C、 2, 1bc D、 2, 3bc 16、对于常数
4、m 、 n ，“ 0mn ”是“方程 221mx ny的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 17、在 ABC 中，若 2 2 2sin sin sinA B C，则 ABC 的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 18、若 2s in s in . s in7 7 7 n nS （ nN ），则在 1 2 100, ,.,S S S 中，正数的个数是 （ ） A、 16 B、 72 C、 86 D、 100 三、解答题 （本大题共有 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）
5、本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ， D 是 PC 的中点，已知 BAC 2 ， 2AB ， 23AC ， 2PA ，求： （ 1）三棱锥 P ABC 的体积 （ 2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） P A D B C 20、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知 ( ) lg( 1)f x x （ 1）若 0 (1 2 ) ( ) 1f x f x ，求 x 的取值范围 （ 2）若 ()gx是以 2 为
6、周期的偶函数，且当 01x时， ( ) ( )g x f x ，求函数 ()y gx （ 1,2x ）的反函数 21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向 建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处， 如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 21249yx ；定位后救援船即刻沿直线 匀速前往救援； 救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t （ 1）当 0.5t 时，写出失事船所在位置
7、 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度 的大小和方向 （ 2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ y P O x A 22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22:2 1C x y （ 1）设 F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点，若 22MF ，求点 M 的坐标； （ 2）过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （ 3） 设斜率为 k （ 2k ）的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点，
8、若 l 与圆 221xy相切，求 证： OP OQ 23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列 na ，记 12m ax , ,.,kkb a a a （ 1,2,.,km ），即 kb 为 12, ,., ka a a 中的最大值，并称数列 nb 是 na 的控制数列，如 1， 3， 2， 5， 5 的控制数列 是 1， 3， 3， 5， 5 （ 1）若各项均为正整数的数列 na 的控制数列为 2， 3， 4， 5， 5，写出所有的 na （ 2）设 nb 是 na 的控制数列，满足 1k m ka b C（ C 为常数， 1,2,.,km ），求证： kkba （ 1,2,.,km ） （ 3）设 100m ，常数 1,1 2a ，若 ( 1)2 2( 1) nnna an n ， nb 是 na 的控制数列， 求 1 1 2 2( ) ( )b a b a 100 100. ( )ba
