1、 D C AE B 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学 （ 理工类 ） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24SRp= 如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B? 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRp= 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , , )k k n knnP k C p p k n-= - = 第一部
2、分 （选择题 共 60 分） 注意事项： 1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、 7(1 )x 的展开式中 2x 的系数是 （ ） A、 42 B、 35 C、 28 D、 21 2、 复数 2(1 )2ii （ ） A、 1 B、 1 C、 i D、 i 3、 函数 2 9 ,3() 3 ln ( 2 ), 3 x x fx x xx 在 3x 处的极限是 （ ） A、 不存在 B、 等于 6 C、 等于 3 D、 等于 0 4、
3、 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E ，使 1AE ，连接 EC 、 ED 则 sin CED（ ） A、 31010 B、 1010 C、 510 D、 515 5、 函数 1 ( 0 , 1)xy a a aa 的图象可能是 （ ） 6、 下列命题正确的是 （ ） A、 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、 设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中， 使
4、 | | | |ab 成立的充分条件是 （ ） A、 ab B、 /ab C、 2ab D、 /ab且 | | | |ab 8、 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 0(2, )My。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ，则 |OM （ ） A、 22 B、 23 C、 4 D、 25 9、 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千 克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每 桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天
5、消耗 A 、 B 原料都 不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得 的最大利润是 （ ） A、 1800 元 B、 2400 元 C、 2800 元 D、 3100 元 10、 如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在 平 面 内，过点 O 作 平面 的垂线交半球面于点 A ，过圆 O 的直径 CD 作平面 成 45 角的平面与半球面相交，所得 交线上到平面 的距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满足 60BOP，则 A 、 P 两点间的球面 距离为 （ ） A、 2arccos 4R B、 4R C、 3arccos 3R D、 3R
6、11、 方程 22ay b x c中的 , , 3 , 2 , 0 ,1 , 2 , 3abc ，且 ,abc互不相同，在所有这些方 程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 （ ） A、 60 条 B、 62 条 C、 71 条 D、 80 条 C A O D B P 12、 设函数 ( ) 2 cosf x x x ， na 是公差为 8 的等差数列， 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a ， 则 23 1 3 ( )f a a a（ ） A、 0 B、 2116 C、 218 D、 21316 第二部分 （非选择题 共 90 分） 注意事项： （ 1）必须使用 0.5 毫
7、米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先 用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （ 2）本部分共 10 个小题，共 90 分。 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、 设全集 , , , U a b c d ，集合 , A ab ， , , B bc d ，则 ( ) ( )UUAB痧 _。 14、 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 、 N 分别是 CD 、 1CC 的中 点 ，则异面直线 1AM 与 DN 所成角的大小是 _。 15、 椭圆
8、 22143xy的左焦点为 F ，直线 xm 与椭圆相交于 点 A 、 B ， 当 FAB 的周长最大时， FAB 的面积是 _。 16、 记 x 为不超过实数 x 的最大整数，例如， 2 2 ， 1.5 1 ， 0.3 1 。 设 a 为正整数，数列 nx 满足 1xa ， 1 ( )2n nn ax xx n N ，现有下列命题： 当 5a 时，数列 nx 的前 3 项依次为 5,3,2； 对数列 nx 都存在正整数 k ，当 nk 时总有 nkxx ； 当 1n 时， 1nxa； 对某个正整数 k ，若 1kkxx ，则 nxa 。 其中的真命题有 _。 （写出所有真命题的编号） 三、解
9、答题（本大 题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤。） 17、 (本小题满分 12 分 ) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A 和 B ，系统 A 和 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为 110 和 p 。 （ ） 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950 ，求 p 的值 ； （ ） 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布 列及数学期望 E 。 18、 (本小题满分 12 分 ) 函数 2( ) 6 c o s 3 c o s 3 ( 0 )2 xf x x 在一个周期内的图
10、象如图所示， A 为图 象的最高点， B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。 （ ） 求 的值及函数 ()fx的值域 ； （ ） 若 0 83() 5fx ，且 0 10 2( , )33x ，求 0( 1)fx 的值。 N M B 1A 1 C 1D 1 B D C A 19、 (本小题满分 12 分 ) 如图，在三棱锥 P ABC 中， 90APB， 60PAB， AB BC CA，平面 PAB 平面 ABC 。 （ ） 求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小 ； （ ） 求二面角 B AP C的大小 。 20、 (本小题满分 12 分 ) 已知数列 na 的前
11、n 项和为 nS ，且 22nna a S S对一切正整数 n 都成立。 （ ） 求 1a ， 2a 的值 ； （ ） 设 1 0a ，数列 110lg n aa 的前 n 项和为 nT ，当 n 为何值时， nT 最大？并求出 nT 的最 大值 。 21、 (本小题满分 12 分 ) 如图，动点 M 到两定点 ( 1,0)A 、 (2,0)B 构成 MAB ，且 2MBA MAB ，设动 点 M 的轨迹为 C 。 （ ） 求轨迹 C 的方程 ； （ ） 设直线 2y x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相交 于点 QR、 ，且 | | | |PQ PR ，求 | |PRPQ 的取值范围 。 22、 (本小题满分 14 分 ) 已知 a 为正实数， n 为自然数，抛物线 2 2nayx 与 x 轴正半轴相交于点 A ，设 ()fn 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 （ ） 用 a 和 n 表示 ()fn； （ ） 求对所有 n 都有 3 3( ) 1( ) 1 1f n nf n n 成立的 a 的最小值 ； （ ） 当 01a时，比较 1 1( ) (2 )n k f k f k 与 27 (1) ( ) 4 (0) (1)f f nff 的大小，并说明理由 。 A B C P y xBA O M
