1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第卷 一、选择题： （ 1） i是虚数单位，计算 23 ii i+= （ A） 1 （ B） 1 （ C） i （ D） i （ 2）下列四个图像所表示的函数，在点 0 x = 处连续的是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3） 55 2log 10 log 0.25+= （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 （ 4）函数 2 () 1f xxmx=+的图像关于直线 1x = 对称的充要条件是 （ A） 2m= （ B） 2m= （ C） 1m= （ D） 1m= （ 5） 设点 M 是线段 B
2、C 的中点， 点 A 在直线 BC 外， 2 16,BCABACABAC=+ = , uuur uuur uuur uuur uuur 则 AM= uuuur （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 （ 6）将函数 siny x= 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （ A） sin(2 ) 10 yx = （ B） sin(2 ) 5 yx = （ C） 1 sin( ) 210 yx = （ D） 1 sin( ) 220 yx = B C D A N M O （ 7）某加工厂用
3、某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品甲车间加工一箱 原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加 工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元甲、 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超 过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （ A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （ B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （ C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （ D）甲车间
4、加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 （ 8）已知数列 n a 的首项 1 0a ，其前 n项的和为 n S ，且 11 2 nn SSa + = + ，则 lim n n n a S = （ A） 0 （ B） 1 2 （ C） 1 （ D） 2 （ 9）椭圆 22 22 1( ) xy ab ab +=0的右焦点 F ，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在 点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 （ A） 2 0, 2 （ B） 1 0, 2 （ C） )21,1 （ D） 1 ,1 2 （ 10）由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没
5、有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 （ A） 72 （ B） 96 （ C） 108 （ D） 144 （ 11） 半径为 R 的球 O的直径 AB 垂直于平面 ， 垂足为 B ， BCDnull 是平面 内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD分别与球面交于点 M， N，那么 M、 N 两点间的球面距离 是 （ A） 17 arccos 25 R （ B） 18 arccos 25 R （ C） 1 3 R （ D） 4 15 R （ 12）设 0abc，则 22 11 21025 () aac ab a a b + + 的最小值是 A B （ A） 2 （ B
6、） 4 （ C） 25 （ D） 5 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上 （ 13） 6 3 1 (2 ) x 的展开式中的第四项是 _ （ 14）直线 250 xy+=与圆 22 8xy+=相交于 A、 B 两点，则 AB=_ （ 15）如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB B l ， AB 与 l所成的角为 30则 AB 与平面 所成 的角的正弦值是 _ （ 16）设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x,y S ，都有 x y,x y,xy S+ ，则称
7、 S 为封闭集。下列命题： 集合 Sabi= + （ a,b为整数， i为虚数单位）为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 STC的任意集合 T 也是封闭集 其中真命题是 _ （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 该饮料。 （）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率
8、； （）求中奖人数的分布列及数学期望 E D A B C D M O A B C （ 18） （本小题满分 12 分） 已知正方体 ABCD A C D的棱长为 1， 点 M 是棱 AA的中点， 点 O是对角线 BD 的中点 （）求证： OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线； （）求二面角 M BC B的大小； （）求三棱锥 M OBC 的体积 （ 19） （本小题满分 12 分） （）证明两角和的余弦公式 C :cos( ) cos cos sin sin + + =； 由 +a C 推导两角和的正弦公式 .sincoscossin)sin(: aaaS a +=+ + （）已知 ABC
9、的面积 1 2 3SABAC= uuur uuur ，且 3 5 cosB = ，求 cosC （ 20） （本小题满分 12 分） 已知定点 10 20A( , ),F( , ) ，定直线 1 2 l:x= ，不在 x轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E ，过点 F 的直线交 E 于 B C、 两点，直线 AB AC、 分别交 l于点 M N、 （）求 E 的方程； （）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，并说明理由 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 满足 12 02a,a=，且对任意 m,n N* 都有 2
10、11212 )(22 nmaa nmnm +=+ + （）求 35 a,a； （）设 21 21nn n ba a (nN*) + = 证明： n b 是等差数列； （）设 *),0()( 1 12 Nnqqaac n nnn = + ，求数列 n c 的前 n项和 n S （ 22） （本小题满分 14 分） 设 1 1 x x a f(x) a + = （ 0a 且 1a ） ， g(x)是 f(x)的反函数 （）设关于 x的方程 2 17 a t log g( x) (x )( x) = 在区间 26, 上有实数解，求 t的取 值范围； （）当 ae= （ e为自然对数的底数）时，证明：
11、 2 2 2 21 n k nn g(k ) n(n ) = + ； （）当 1 2 0 = BB AAAA AAA AbcACAB 得由题意 又 . 10 10 sinsincoscos)(9cos =+ BABABA . 10 10 )cos()(coscos =+=+= BABAC 故 （ 12 分） （ 20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法 及推理运算能力。 解： （）设 则),( yxP , 2 1 2)2( 22 =+ xyx 化简得 ).0(1 3 2 2 = y y x （ 4 分） （）当直线 BC 与 x轴不生直时，设 BC 的方
12、程为 ).0)(2( = kxky 与双曲线方程 得联立消去 y y x 1 3 2 2 = 4)(2)2)(2( , 3 34 *3 4 ),(),( .003, ,0)34(4)3( 2121 2 21 2 21 2 2 21 2 2 212211 2 2222 += + = =+ =+ xxxxkxxkyy k k xx k k xxyxCyxB k kxkxk 则设 且由题意知 . 3 9 )4 3 8 3 34 ( 2 2 2 2 2 2 2 = + + = k k k k k k k 因为 .1, 21 xx ), )1(2 3 , 2 3 ( . )1(2 3 2 3 ( , )
13、1(2 3 , 2 1 (),1( 1 2 2 2 2 1 2 1 1 + = + = + + = = x y FN x y FM x y Mx x y yAB 同理可得 点的坐标为因此的方程为所以直线 因此 += ) 2 3 () 2 3 (FNFM )1)(1(4 9 21 21 + xx yy 0 )1 3 4 3 34 (4 3 81 4 9 2 2 2 2 2 2 = = + + += k k k k k k 当直线 BC 与 x轴垂直时，其方程为 ),3,2(),3,2(,2 = CBx 则 AB 的方程为 点的坐标为因此 Mxy ,1+= ). 2 3 , 2 3 (), 2 3
14、 , 2 1 ( =FM 同理可得 ,0 2 3 ) 2 3 () 2 3 () 2 3 ( =+=FNFM 综上， .,0 FNFMFNFM = 即 故以线段 MN 为直径的圆过点 F。（ 12 分） （ 21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析 与解决问题的能力。 解： （）由题意，令 .6221,2 123 =+= aaanm 可得 再令 .20821,3 135 =+= aaanm 可得 （ 2 分） （） 即于是 可得代替以由已知时当 8)( 82 )2(,* 12121)1(21)1(2 121212 = =+ + += + nnnn nnn
15、 aaaa aaa mnNn .8 1 = + nn bb 所以，数列 .8的等差数列是公差为 n b （ 5 分） （）由（） 、 （）的解答可知 .8,6 131 的等差数列公差为是首项 = aabb n 则 即,28 = nn b .28 1212 = + naa nn 另由已知（令 )1=m 可得， 312 )1( 2 = = + n aa a nn n 那么， 12 2 1212 1 + = + + n aa aa nn nn n n n 2 12 2 28 = + = 于是， 1 2 = n n nqc 当 ).1(2642,1 +=+= nnnSq n K时 当 1246 264
16、2,1 += n n qnqqqSq L时 两边同乘 q可得 .2)1(2642 1222 nn n qnqnqqqqS += + L 上述两式相减即得 nn n nqqqqSq 2)1(2)1( 121 += L = n n nq q q 2 1 1 2 = q nqqn nn + + 1 )1(1 2 1 所以 2 1 )1( 1)1( 2 + = + q qnnq S nn n 综上所述， + =+ = + )12(),1(, )1( 1)1( 2 )1()1( 2 1 分LLLLq q qnnq qnn S nn n （ 22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知
17、识，考查化归、分 类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解： （）由题意，得 ,0 1 1 + = y y a n 故 ).,1()1,(, 1 1 log)( + + = x x x xg a 由 1 1 log )7)(1( log 2 + = x x xx t aa 得 ).5)(1(315183 6,2),7()1( 2 2 =+= = xxxxt xxxt 则 列表如下： x 2 （ 2， 5） 5 （ 5， 6） 6 t 0 t 5 极大值 25 所以 32,5 = 最大值最小值 tt 所以 t 的取值范围为 5， 32（ 5 分） （） 1 1 1 5 3
18、1 4 2 1 3 1 1)( 2 + += = n n nnnnkg n n L 2 )1( 1 ) 1 1 5 3 4 2 3 1 (1 = = + = nn n n n n L .),0()( .0) 1 1( 1 1 2 )( ,0, 1 21 1 1)( 2 2 2 2 上是增函数在所以 则 令 + =+= += = zu zzz zu z z znz z z nzzu )9( )1(2 2 )( ,0 2 )1( 2 )1( 1 )1( 2 1 0)1() 2 )1( (,01 2 )1( 2 2 分即 却 所以又因为 LLLL + + + + = + + = nn nn kg n
19、n nn nn n n nn n nn n n （） 1)1( 2 1 )1( )1( )(,*,2 ,2 .42 2 1)1(,1 3 2 1 1 1 )1(1,1, 1 1 1 1 + += + + = = += + = + = + kk k pp p kfNkk n p fn nn n fp p n 则时设 时当 时当 则设 n PCPCPC 2 4 22 4 2 4 2 1 + += L = = + + + += + + + += + += + + n n n n nnfkfn n n n n nkfn kkkkCC kf 1 2 2 4 1 4 41)1()( .1 1 4 1 1 4 2 4 1)(1 1 44 1 )1( 4 1 2 1)(1 所以 从而 所以 综上，总有 .4)( 1 = n n nk （ 14 分）
