1、绝密启封并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页时量 120 分钟，满分 150 分 参考公式：锥体的体积公式为 1 3 VSh= ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 1, 2, 3M = ， 2,3, 4N = ，则 A M N B NM C 2,3MN=I D 1, 4MN=U 2下列命题中的假命题 是 A Rx ， 1 20 x B Nx ， ()10 x 2 C Rx
2、 lg1 D Rx ， tan 2x = 3极坐标方程 cos = 和参数方程 1, 23 x t y t = = + （ t 为参数）所表示的图形分别是 A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直线、直线 4在 Rt ABC 中， 90C= o ， 4AC = ，则 AB AC uuuruuur null 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 5 4 2 1 dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln 2 D ln 2 6在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c若 120C= o ， 2ca= ，则 A a b B a b C a=b D a 与 b
3、的大小关系不能确定 7在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为 A 10 B 11 C 12 D 15 8用 ,min ba 表示 a， b 两数中的最小值，若函数 |,min|)( txxxf += 的图象关于直 线 2 1 =x 对称，则 t 的值为 A -2 B 2 C -1 D 1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡 中对应题号后的横 线上. 9已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间 .
4、若用 0.618 法安排试验，则第一次试点 的加入量可以是 . 10如图 1 所示，过 O 外一点 P 作一直线与 O 交于 A， B 两点 .已知 PA=2，点 P 到 O 的切线长 PT=4，则弦 AB 的长为 . 11在区间 -1， 2上随机取一个数 x，则 1| x 的概率为 . 12图 2 是求 222 123+ 2 +100 的值的程序框图，则正整数 n = 错误！ 13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 3 cm 的几何体的三视图，则 h = cm 14过抛物线 2 2( 0)xpyp= 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 ,AB两点， ,AB在 x 轴上的正射影
5、分别为 ,DC若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ，则 p = 15若数列 n a 满足：对任意的 nN ，只有有限个正整数 m 使得 m an 成立，记这样的 m 的个数为 () n a ，则得到一个新数列 () n a 例如，若数列 n a 是 1, 2, 3 ,n， ， 则数列 () n a 是 0,1, 2, 1,n， 已知对任意的 Nn ， 2 n an= ，则 5 ()a = ， ( ) ) n a = 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 () 3sin2 2sinf xxx= （）求函数 ()
6、f x 的最大值； （ II）求函数 )(xf 的零点集合 . 17 （本小题满分 12 分） 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 . （ I）求直方图中 x 的值； （ II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样） ，求月均 用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 . 18 （本小题满分 12 分） 如图 5 所示，在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 是棱 DD 1 的中点 . （ I）求直线 BE 和平面 ABB 1 A 1 所成角的正弦值； （ II）在棱 C 1 D 1
7、 上是否存在一点 F，使 B 1 F/平面 A 1 BE？证明你的结论 . 19 （本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A， B 两点各建一个考察 基地视冰川面为平面形，以过 A， B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系（图 6） 在直线 2x = 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过 65 5 km 的区域；在直线 2x = 的左侧，考察范围为到 A， B 两点的距离之和不超过 45km 的区域 （）求考察区域边界曲线的方程； （）如图 6 所示，设线段 12 PP ， 23 PP是冰川的部分边界
8、线（不考虑其他边界） ，当冰 川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时 间 20 （本小题满分 13 分） 已知函数 ),()( 2 Rcbcbxxxf += ，对任意 Rx ，恒有 ).()( xfxf （ I）证明：当 0 x 时， ;)()( 2 cxxf + （ II）若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 )()()( 22 bcMbfcf 恒成立，求 M 的最小值 . 21 （本小题满分 13 分） 数列 )( * Nna n 中， 11 , + = n aaa 是函
9、数 xanxnaxxf nnn 2223 3)3( 2 1 3 1 )( += 的 极小值点 . （ I）当 a=0 时，求通项 ; n a （ II）是否存在 a，使数列 n a 是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请 说明理由 . 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1 4 CBAD 5 8 DABD 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡 中对应题号后的横 线上. 9 171.81 或 48.2 10 6 11 3 2 12 100 13 4 14 2 15 2， 2 n
10、 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16解： （ I）因为 )2cos1(2sin3)( xxxf = ,1) 6 2sin( += x 所以，当 2 2 6 2 +=+ kx ，即 )( 6 Zkkx += 时，函数 )(xf 取得最大值 1. （ II）解法 1 由（ I）及 0)( =xf 得 2 1 ) 6 2sin( =+ x ，所以 6 2 6 2 +=+ kx ，或 , 6 5 2 6 2 +=+ kx 即 3 , += kxkx 或 故函数 )(xf 的零点的集合为 , 3 ,| Zkkxkxx += 或 解法 2 由 0)( =xf
11、得 ,sin2cossin32 2 xxx = 于是 0sin =x ，或 xsincos3 = 即 .3tan =x 由 kxx = 可知0sin ；由 3tan =x 可知 . 3 += kx 故函数 )(xf 的零点的集合为 , 3 ,| Zkkxkxx += 或 17解： （ I）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得 x=0.12. （ II）由题意知， XB（ 3， 0.1） . 因此 ,243.09.01.0)1(,729.09.0)0( 21 3 0 3 = CXPCXP .001.01.0)3(,027.09.01.0)2( 33 3
12、 22 3 = CXPCXP 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0 729 0 243 0 027 0 001 X 的数学期望为 EX=3 0.1=0.3. 18解法 1 设正方体的棱长为 1，如图所示，以 1 , AAADAB 为单位正交基底建立空间直 角坐标系 . （ I）依题意，得 B（ 1， 0， 0） ， E（ 2 1 ,1,0 ） ， A（ 0， 0， 0） ， D（ 0， 1， 0） ，所以 ).0,1,0(), 2 1 ,1,1( = ADBE 在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中，因为 AD平面 ABB 1 A 1 ，所以 AD 是平面 A
13、BB 1 A 1 的一个法向量， 设直线 BE 和平面 ABB 1 A 1 所成的角为 ，则 . 3 2 1 2 3 1 | | sin = = = ADBE ADBE 即直线 BE 和平面 ABB 1 A 1 所成的角的正弦值为 . 3 2 （ II）依题意，得 ) 2 1 ,1,1(),1,0,1(),1,0,0( 11 = BEBAA 设 ),( zyxn = 是平面 A 1 BE 的一个法向量，则由 0,0 1 = BEnBAn ，得 =+ =+ ,0 2 1 0 zyx zx 所以 . 2 1 , zyzx = 取 )2,1,2(,2 = nz 得 设 F 是棱 C 1 D 上的点，
14、则 F（ t， 1， 1） ).10( t 又 ),1,0,1( 1 B 所以 ).0,1,1( 1 = tFB D 而 FB 1 平面 A 1 BE，于是 B 1 F/平面 A 1 BE 01)1(20)2,1,2()0,1,1(0 1 =+= ttnFB Ft = 2 1 为 C 1 D 1 的中点，这说明在棱 C 1 D 1 上存在点 F（ C 1 D 1 的中点） ，使 B 1 F/ 平面 A 1 BE. 解法 2（ I）如图（ a）所示，取 AA 1 的中点 M，连结 EM， BM.因为 E 是 DD 1 的中点， 四边形 ADD 1 A 2 为正方形，所以 EM/AD. 又在正方体
15、 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD平面 ABB 1 A 1 ，所以 EM平面 ABB 1 A 1 ，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB 1 A 1 上的射影， EBM 为 BE 和平面 ABB 1 A 1 所成的角 . 设正方体的棱长为 2，则 EM=AD=2， .3122 222 =+=BE 于是， 在 BEMRt 中， . 3 2 sin = BE EM EBM 即直线 BE 和平面 ABB 1 A 1 所成的角的正弦值为 . 3 2 （ II）在棱 C 1 D 上存在点 F，使 B 1 F/平面 A 1 BE. 事实上，如图（ b）所示，分别取 C 1 D 1
16、和 CD 的中点为 F， G，连结 EG， BG， CD 1 ， FG.因 A 1 D 1 /B 1 C 1 /BC， 且 A 1 D 1 =BC， 所以四边形 A 1 BCD 1 是平行四边形， 因此， D 1 C/A 1 B. 又 E， G 分别为 D 1 D， CD 的中点，所以 EG/D 1 C，从而 EG/A 1 B，这说明 A 1 ， B， G， E，共面，所以 BG平面 A 1 BE. 因四边形 C 1 CDD 1 与 B 1 BCC 1 皆为正方形， F， G 分别为 C 1 D 1 和 CD 的中点，所以 FG/C 1 C/B 1 B，且 FG=C 1 C=B 1 B，因此四
17、边形 B 1 BGF 是平行四边形，所以 B 1 F/BG，而 B 1 F平面 A 1 BE， BG平面 A 1 BE，故 B 1 F/平面 A 1 BE. 19解： （ I）设边界曲线上点 P 的坐标为 ).,( yx 当 2x 时，由 54| =+ PBPA 知，点 P 在以 A， B，为焦点，长轴长为 542 =a 的椭圆上，此时短半轴长 .24)52( 22 =b 因而其方程为 .1 420 22 =+ yx 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 ).2(1 420 :)2( 5 36 )4(: 22 2 22 1 = dd 而 ，所以考察区域边界到冰川边 界的线的最短距离为 3. 设冰
18、川边界线移动到考察区域所需的时间为 n 年，则由题设及等比数列求和公式， 得 3 12 )12(2.0 n ，所以 .4n 故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为 4 年 . 20解： （ I）易知 .2)( bxxf += 由题设，对任意的 ,2, 2 cbxxbxRx + 即 0)2( 2 + bcxbx 恒成立，所以 0)(4)2( 2 bcb ， 从而 .1 4 2 + b c 于是 .0)(2|,|1 4 2,1 2 += bccbcb b cc 因此且 故当 0 x 时，有 0)1()2()()( 2 +=+ ccxbcxfcx 即当 0 x 时， .)()( 2 cxxf +
19、 II）由（ I）知， .| bc 当 | bc 时，有 . 2)()( 22 222 22 cb bc bc bbcbc bc vfcf M + + = + = 令 . 1 1 2 2 ,11, tcb bc t c b t + = + + = 则 而函数 )11( 1 1 2)( 时， M 的取值集合为 ., 2 3 + 当 | bc = 时，由（ I）知， .2,2 = cb 此时 ,0,08)()( 22 = bcbfcf 或 从而 )( 2 3 )()( 22 bcbfcf 恒成立 . 综上所述， M 的最小值为 . 2 3 21解：易知 ).)(3(2)3()( 2222 nxa
20、xanxnaxxf nnnn =+= 令 .,3,0)( 2 21 nxaxxf nn = 得 （ 1）若 ,3 2 na n 时 单调递增； 当 )(,0)(,3 2 xfxfnxa nnn 时 单调递增 . 故 2 )( nxxf n =在 取得极小值 . （ 2）若 ,3 2 na n 仿（ 1）得， )(xf n 在 n ax 3= 取得极小值 . （ 3）若 )(,0)(,3 2 xfxfna nnn = 则 无极值 . （）当 0=a 时， .13,0 2 11 = aa 则 由（ 1）知， .11 2 2 =a 因 ,233 2 2 =a ，则由（ 2）知， 433 34 = a
21、a . 又因为 ,4363 2 4 =a 则由（ 2）知， .433 2 45 = aa 由此猜测：当 3n 时， .34 3 = n n a 下面先用数学归纳法证明：当 3n 时， .3 2 na n 事实上，当 3=n 时，由前面的讨论知结论成立 . 假设当 2 3,)3( kakkn k = 时 成立，则由（ 2）知， 2 1 3 kaa kk = + ，从而 012)2(2)1(3)1(3 222 1 +=+ + kkkkkka k ， 所以 .)1(3 2 1 + + ka k 故当 3n 时， 2 3 na n 成立 . 于是由（ 2）知，当 3n 时， 4,3 31 = + aa
22、a nn 而 ，因此 .34 3 = n n a 综上所述，当 a=0 时， ).3(34,1,0 3 21 = naaa n n （ II）存在 a，使数 列 n a 是等比数列， 事实上，由（ 2）知，若对任意的 n，都有 2 3 na n ，则 .3 1 nn aa = + 即数列 n a 是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且 .3 1 = n n aa 而要使 2 3 na n ，即 *2 3 Nnna n 对一切 都成立，只需 n n a 3 2 对一切 * Nn 都 成立 .记 , 3 1 , 9 4 , 3 1 , 3 321 2 = bbb n b n n 则 令 x x
23、y 3 2 = ，则 )2( 3 1 )3ln2( 3 1 22 xxxxy xx y ，从而函数 x x y 3 2 = 在 )+,2 上单调递减，故当 2n 时， 数列 n b 单调递减，即数列 n b 中最大项为 . 9 4 2 =b 于是当 9 4 a 时，必有 . 3 2 n n a 这说明，当 ), 9 4 ( +a 时，数列 n a 是等比数列 . 当 ,243. 3 4 , 9 4 , 9 4 2 221 = aaaa 而可得时 由（ 3）知， )( 2 xf 无极值，不合题意 . 当 9 4 3 1 a 时，可得 ,12,4,3, 4321 = aaaaaa ，数列 n a 不是等比数列 . 当 ,113, 3 1 2 = aa 时 由（ 3）知， )( 1 xf 无极值，不合题意 . 当 ,12,4,1, 3 1 4321 = aaaaaa 可得时 ，数列 n a 不是等比数列 . 综上所述，存在 a，数列 n a 是等比数列，且 a 的取值范围为 )., 9 4 ( +
