1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学试题 参考公式： 锥体的体积公式 : V 锥体 = 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是高。 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上 . 1、设集合 A=-1,1,3， B=a+2,a 2 +4,A B=3，则实数 a=_ _. 解析 考查集合的运算推理。 3B, a+2=3, a=1. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 _ _. 解析 考查复数运算、模的性质。 z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3
2、i 与 3+2 i 的模相等， z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同 的概率是 _ _. 解析 考查古典概型知识。 31 62 p = 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标） ，所得数据都在区间 5,40中，其频率 分布直方图如图所示， 则其抽样的 100 根中， 有 _ _ 根在棉花纤维的长度小于 20mm。 解析 考查频率分布直方图的知识。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第
3、1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 1
4、00（ 0.001+0.001+0.004） 5=30 5、设函数 f(x)=x(e x +ae -x )(xR)是偶函数，则实数 a=_ _ 解析 考查函数的奇偶性的知识。 g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a= 1。 6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1 124 22 = yx 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到 双曲线右焦点的距离是 _ _ 解析 考查双曲线的定义。 4 2 2 MF e d = ， d 为点 M 到右准线 1x= 的距离， d =2， MF=4。 7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 _ _ 解析 考查流程图理
5、解。 24 1 2 2 2 31 33,+=0)的图像在点 (a k ,a k 2 )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 a k+1 ,k 为正整数， a 1 =16， 则 a 1 +a 3 +a 5 =_ _ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。 在点 (a k ,a k 2 )处的切线方程为： 2 2( ), kkk ya axa= 当 0y = 时，解得 2 k a x= ， 所以 1135 ,16412 2 k k a aaaa + =+=+=。 9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 4 22 =+ yx 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1，则实数 c 的
6、取值范围是 _ _ 解析 考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2， 圆心（ 0， 0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， | 1 13 c ， c的取值范围是（ -13， 13） 。 10、定义在区间 2 0 , 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP 1 x 轴于点 P 1 ，直线 PP 1 与 y=sinx 的图像交于点 P 2 ,则线段 P 1 P 2 的长为 _ _。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P 1 P 2 的长即为 sinx 的值， 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 2
7、3 。线段 P 1 P 2 的长为 2 3 11、已知函数 2 1, 0 () 1, 0 xx fx x + = 的 x 的范围是 _ _。 解析 考查分段函数的单调性。 2 2 12 (1, 2 1) 10 xx x x 12、设实数 x,y 满足 3 2 xy 8， 4 y x 2 9，则 4 3 y x 的最大值是 。 解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 2 2 () 16,81 x y ， 2 111 , 83xy ， 32 2 42 1 () 2,27 xx yyxy =， 4 3 y x 的最大值是 27。 13、在锐角三角形 ABC， A、 B、 C 的对边分别为 a、
8、b、 c， 6cos ba C ab += ，则 tan tan tan tan CC A B + =_ _。 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、 B 和边 a、 b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： 1 cos 3 C = ， 2 1cos 1 tan 21cos 2 CC C = = + ， 2 tan 22 C = ， 1 tan tan 2 tan 2 AB C = =， tan tan tan tan CC A B + = 4。 （方法二） 22 6cos 6 cos b
9、a CabCab ab += =+， 222 2 2222 3 6, abc c ab abab ab + =+= 2 tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) 1 sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin CCCBABACAB C ABC AB CABCAB + += = = 由正弦定理，得：上式 = 22 2 2 22 1 4 1 13cos () 6 62 cc c cCab ab = = = + 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2 ( S =
10、 梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S 的最小值是 _ _。 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设 剪成的 小正 三角形的边长为 x ，则： 22 2 (3 ) 4 (3 ) (0 1) 1 13 3 (1) (1) 22 xx Sx x xx = = + （方法一）利用导数求函数最小值。 2 2 4(3 ) () 1 3 x Sx x = ， 22 22 4(2 6)(1 )(3 )(2) () (1 ) 3 x xxx Sx x = 22 22 22 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 ) 4 2(3 1)( 3) (1 ) (1 ) 33 xxxx xx xx
11、= = 1 () 0,0 1, 3 Sx x x =， 当 1 (0, 3 x 时， () 0,Sx 递增； 故当 1 3 x= 时， S 的最小值是 32 3 3 。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令 111 3,(2,3),(,) 32 xtt t = ，则： 2 2 2 441 86 68 33 1 t S tt tt = = + + 故当 13 1 , 83 x t =时， S 的最小值是 32 3 3 。 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤 . 15、 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xO
12、y 中，点 A( 1, 2)、 B(2,3)、 C( 2, 1)。 (1)求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足 ( OCtAB ) OC =0，求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。 满分 14 分。 （ 1） （方法一） 由题设知 (3,5), ( 1,1)AB AC= uuuruur ，则 (2,6), (4,4).AB AC AB AC+= = uuur uuur uuur uuur 所以 |210,|42.AB AC AB AC+= = uuur uuur uuur uuur 故所求的两条对
13、角线的长分别为 42、 210。 （方法二） 设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 : E 为 B、 C 的中点， E（ 0， 1） 又 E（ 0， 1）为 A、 D 的中点，所以 D（ 1， 4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 42、 AD= 210； （ 2）由题设知： OC uuur =( 2, 1)， (3 2 ,5 )ABtOC t t =+ + uuur uuur 。 由 ( OCtAB ) OC =0，得： (3 2 ,5 ) ( 2, 1) 0tt+ +=， 从而 511,t = 所以 11 5 t = 。 或者： 2 ABOC tOC= uuu
14、r uuur uuur ， (3,5),AB = uuur 2 11 5| AB OC t OC = = uuur uuur uuur 16、 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD平面 ABCD， PD=DC=BC=1， AB=2， AB DC， BCD=90 0 。 (1)求证： PC BC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （ 1）证明：因为 PD平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PD BC。 由 BCD=9
15、0 0 ，得 CD BC， 又 PDI DC=D， PD、 DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD。 因为 PC平面 PCD，故 PC BC。 （ 2） （方法一）分别取 AB、 PC 的中点 E、 F，连 DE、 DF，则： 易证 DE CB， DE平面 PBC， 点 D、 E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（ 1）知： BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC， PF=FC，所以 DF PC，所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2 2 ，故点 A 到平面 PB
16、C 的距离等于 2 。 （方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB DC， BCD=90 0 ，所以 ABC=90 0 。 从而 AB=2， BC=1，得 ABC 的面积 1 ABC S = 。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 11 33 ABC VS PD = =。 因为 PD平面 ABCD， DC平面 ABCD，所以 PD DC。 又 PD=DC=1，所以 22 2PC PD DC=+=。 由 PC BC， BC=1，得 PBC 的面积 2 2 PBC S = 。 由 A PBC P ABC VV = ， 11 3
17、3 PBC ShV= null ，得 2h= ， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 17、 （本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m） ， 如示意图， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m， 仰角 ABE= ， ADE= 。 (1)该小组已经测得一组 、 的值， tan =1.24， tan =1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d （单位： m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？ 解析 本题主要考查解三角形
18、的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （ 1） tan tan HH AD AD =， 同理： tan H AB = ， tan h BD = 。 AD AB=DB，故得 tan tan tan HH h =，解得： tan 4 1.24 124 tan tan 1.24 1.20 h H = 。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （ 2）由题设知 dAB= ，得 tan , tan HHhHh dADDBd =， 2 tan tan tan( ) () 1tan tan ( ) 1 HHh hd h dd HHh HHh dHHh d dd d = = = = + + + + (
19、) 2( ) HH h dHHh d +，（当且仅当 ( ) 125 121 55 5dHHh=时， 取等号） 故当 55 5d = 时， tan( ) 最大。 因为 0 2 ，则 0 2 0, 0,0 21 yy 。 （ 1）设动点 P 满足 4 22 =PBPF ,求点 P 的轨迹； （ 2）设 3 1 ,2 21 = xx ，求点 T 的坐标； （ 3）设 9=t ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关） 。 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （ 1）设点 P（ x， y
20、） ，则： F（ 2， 0） 、 B（ 3， 0） 、 A（ -3， 0） 。 由 4 22 =PBPF ，得 22 22 (2) (3) 4,xyxy+= 化简得 9 2 x= 。 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x= 。 （ 2） 将 3 1 ,2 21 = xx 分别代入椭圆方程， 以及 0,0 21 yy 得： M（ 2， 5 3 ） 、 N（ 1 3 ， 20 9 ） 直线 MTA 方程为： 03 5 23 0 3 yx+ = + ，即 1 1 3 yx= + ， 直线 NTB 方程为： 03 20 1 03 93 yx = ，即 55 62 yx= 。 联立方程组，解得： 7
21、10 3 x y = = ， 所以点 T 的坐标为 10 (7, ) 3 。 （ 3）点 T 的坐标为 (9, )m 直线 MTA 方程为： 03 093 yx m + = + ，即 (3) 12 m yx= + ， 直线 NTB 方程为： 03 093 yx m = ，即 (3) 6 m yx= 。 分别与椭圆 1 59 22 =+ yx 联立方程组，同时考虑到 12 3, 3xx， 解得： 2 22 3(80 ) 40 (,) 80 80 mm M mm + 、 2 22 3( 20) 20 (,) 20 20 mm N mm + 。 （方法一） 当 12 x x 时， 直线 MN 方程为
22、： 2 22 22 22 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 mm yx mm mm mm + + = + + + + 令 0y = ，解得： 1x = 。此时必过点 D（ 1， 0） ； 当 12 x x= 时，直线 MN 方程为： 1x = ，与 x 轴交点为 D（ 1， 0） 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（ 1， 0） 。 （方法二）若 12 x x= ，则由 22 240 3 3 60 80 20 mm = + 及 0m ，得 210m= ， 此时直线 MN 的方程为 1x = ，过点 D（ 1， 0） 。
23、若 12 x x ，则 210m ，直线 MD 的斜率 2 2 2 2 40 10 80 240 3 40 1 80 MD m m m k m m m + = + ， 直线 ND 的斜率 2 2 2 2 20 10 20 360 40 1 20 ND m m m k m m m + = + ，得 MDND kk= ，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过 x轴上的点（ 1， 0） 。 19、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 312 2 aaa += ，数列 n S 是公差为 d 的等差数列。 （ 1）求数列 n a 的通项
24、公式（用 dn, 表示） ； （ 2）设 c为实数，对满足 nmknm =+ 且3 的任意正整数 knm , ，不等式 knm cSSS + 都成立。求证： c的最大值为 2 9 。 解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 （ 1）由题意知： 0d ， 11 (1) (1) n SSndand=+=+ 213 2 3 21 3 23()aaa aS SS S=+ = =， 22 2 111 3( ) ( 2 ) ,ad a a d+= + 化简，得： 22 11 11 20,aadd adad+= = 22 (1) ,
25、nn SdndndSnd=+ = = ， 当 2n 时， 22 2 2 2 1 (1) (21) nnn aSS nd n d nd = = = ，适合 1n= 情形。 故所求 2 (2 1) n and= （ 2） （方法一） 22 22 22 2 2 2 mn k SScS mdndckd mnck+ + +， 22 2 mn c k + += ， 故 9 2 c ，即 c的最大值为 2 9 。 （方法二）由 1 ad= 及 1 (1) n Sand=+，得 0d ， 22 n Snd= 。 于是，对满足题设的 knm , ， mn ，有 2 222 2 22 () 9 9 () 222
26、mn k mn SS mnd d dk S + += + = = 。 所以 c的最大值 max 9 2 c 。 另一方面，任取实数 9 2 a 。设 k 为偶数，令 33 1, 1 22 mknk= +=，则 knm , 符合条件， 且 222 2 2 2 22 331 ( ) ( 1) ( 1) (9 4) 22 mn SS mndd k k dk+= + = + = +。 于是，只要 22 942kak+ 时， 22 1 2 2 mn k SS dakaS+0，使得 )1)()( 2 += axxxhxf ，则称 函数 )(xf 具有性质 )(aP 。 (1)设函数 )(xf 2 ln (
27、 1) 1 b xx x + =+ + ，其中 b 为实数。 (i)求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)求函数 )(xf 的单调区间。 (2)已知函数 )(xg 具有性质 )2(P 。给定 12 1 2 ,(1,), ,x xxx + ， 若 | )()( gg | 时， 2 1 () 0 (1) hx xx = + 恒成立， 函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)（方法一）设 2 22 () 1 ( ) 1 24 bb xxbx x =+= +， ()x 与 )( xf 的符号相同。 当 2 10,22 4 b b ， )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间
28、),1( + 上递增； 当 2b= 时，对于 1x ，有 )( xf 0 ，所以此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； 当 2b 时， ()x 图像开口向上，对称轴 1 2 b x= ，总有 ()x 0 ， )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； （方法二）当 2b 时，对于 1x ， 22 2 () 1 2 1 ( 1) 0 xxbx x x x = += 所以 )( xf 0 ，故此时 )(xf 在区间 ),1( + 上递增； 当 2b 时， ()x 图像开口向上，对称轴 1 2 b x= ，方程 () 0 x = 的两根为： 22 44 , 22 bb
29、 bb+ ，而 22 2 44 1, (0,1) 4 bb bb bb + = + 当 2 4 (1, ) 2 bb x + 时， ()x 0 ， )( xf 0 时， )(xf 在 2 4 (1, ) 2 bb+ 上递减； )(xf 在 2 4 ,) 2 bb+ + 上递增。 (2)（方法一） 由题意，得： 22 ()()( 21)()(1)gx hxx x hxx= += 又 )(xh 对任意的 ),1( +x 都有 )(xh 0， 所以对任意的 ),1( +x 都有 () 0gx ， ()gx在 (1, )+ 上递增。 又 12 12 ,(21)()x xmx +=+ = 。 当 1 ,
30、1 2 mm时， 对于任 意的 ),1( +x 都成立。所以，当 1x 时， 2 ( ) ( )( 1) 0gx hxx= ，从而 ()gx在区间 ),1( + 上单调递增。 当 (0,1)m 时，有 12111 (1 ) (1 )mx mx mx mx x =+ + =， 12222 (1 ) (1 )mx mx mx mx x =+ + =，得 12 (, )x x ，同理可得 12 (, )x x ，所以 由 ()gx的单调性知 ()g 、 ()g 12 ( ),( )gx gx ， 从而有 | )()( gg |及 ()gx 的单调性知 12 () () ( ) ()ggxgxg ，所
31、以 | )()( gg | | )()( 21 xgxg |，与题设不符。 当 1m 时，同理可得 12 ,x x ，进而得 | )()( gg | | )()( 21 xgxg |，与题设 不符。 因此综合、得所求的 m 的取值范围是（ 0， 1） 。 数学（附加题） 21.选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请 选 定其中 两题 ， 并在相应的 答题 区域 内作答 。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 A
32、B 延长线于点 C，若 DA=DC，求证： AB=2BC。 解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证 能力。 （方法一）证明：连结 OD，则： OD DC， 又 OA=OD， DA=DC，所以 DAO= ODA= DCO， DOC= DAO+ ODA=2 DCO， 所以 DCO=30 0 ， DOC=60 0 ， 所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。 （方法二）证明：连结 OD、 BD。 因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ADB=90 0 ， AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线，所以 CDO=90 0 。 又因为 DA=DC，所以 DA
33、C= DCA， 于是 ADB CDO，从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。 故 AB=2BC。 B 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)， B(-2,0)， C(-2,1)。设 k 为非零实数，矩阵 M= 10 0k ,N= 01 10 ，点 A、 B、 C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A 1 、 B 1 、 C 1 ， A 1 B 1 C 1 的面积是 ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点， 考查运算求解能力。 满分 10 分。 解：由题
34、设得 001 0 0110 10 kk MN = B O C A D 由 0 022 00 10001 022 kk = ，可知 A 1 （ 0， 0） 、 B 1 （ 0， -2） 、 C 1 （ k ， -2） 。 计算得 ABC 面积的面积是 1， A 1 B 1 C 1 的面积是 |k ，则由题设知： |212k =。 所以 k 的值为 2 或 -2。 C 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 =2cos与直线 3 cos +4 sin +a=0 相切，求实数 a 的值。 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分
35、10 分。 解： 2 2cos = ，圆 =2cos的普通方程为： 22 22 2,( 1) 1xy xx y+ = +=， 直线 3 cos +4 sin +a=0 的普通方程为： 34 0 xya+ +=， 又圆与直线相切，所以 22 |3 1 4 0 | 1, 34 a+ = + 解得： 2a = ，或 8a = 。 D 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 设 a、 b 是非负实数，求证： 33 22 ()ab abab+ + 。 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。 （方法一）证明： 33 22 2 2 ()()()ab abab
36、 aaa bbbb a+ + = + 55 ( )( ) ( ) aba b= 24 3 22 3 4 ( )()()()()()()()()ab a a b a b ab b= + + + + 因为实数 a、 b 0， 243 22 34 ( ) 0,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0ab a ab a b ab b + + + + 所以上式 0。即有 33 22 ()ab abab+ + 。 （方法二）证明：由 a、 b 是非负实数，作差得 33 22 2 2 ()()()ab abab aaa bbbb a+ + = + 55 ( )( ) ( ) aba
37、b= 当 ab 时， ab ，从而 55 ()()ab ，得 55 ()()()0aba b ； 当 ab 时， ab ，从而 55 ()()ab ，得 55 ()()()0aba b ； 所以 33 22 ()ab abab+ + 。 必做题 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在 答题卡指定 区域 内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、（本小题满分 10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等 品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二
38、等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （ 1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （ 2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分 10 分。 解： （ 1）由题设知， X 的可能取值为 10， 5， 2， -3，且 P（ X=10） =0.8 0.9=0.72， P（ X=5） =0.2 0.9=0.18， P（ X=2） =0.8 0.1=0.08， P（ X=-3） =
39、0.2 0.1=0.02。 由此得 X 的分布列为： X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （ 2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n件，则二等品有 4 n 件。 由题设知 4(4)10nn，解得 14 5 n ， 又 nN ，得 3n= ，或 4n= 。 所求概率为 33 4 4 0.8 0.2 0.8 0.8192PC= + = 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 23、（本小题满分 10 分） 已知 ABC 的三边长都是有理数。 （ 1）求证 cosA 是有理数； （ 2）求证：对任意正整数 n， cosnA 是有
40、理数。 解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 （方法一） （ 1）证明：设三边长分别为 ,abc， 222 cos 2 bca A bc + = ， ,abc是有理数， 222 bca+是有理数， 分母 2bc为正有理数， 又有理数集对于除法的具有封闭性， 222 2 bca bc + 必为有理数， cosA 是有理数。 （ 2）当 1n= 时，显然 cosA 是有理数； 当 2n= 时， 2 cos 2 2cos 1AA=，因为 cosA 是有理数， cos 2A也是有理数； 假设当 (2)nkk时，结论成立，即
41、coskA、 cos( 1)kA 均是有理数。 当 1nk=+时， cos( 1) cos cos sin sinkA kAA kAA+= ， 1 cos( 1) cos cos cos( ) cos( ) 2 kA kAA kAA kAA+= +， 11 cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1) 22 kA kAA kA kA+= + +， 解得： cos( 1) 2cos cos cos( 1)kA kAA kA+= cosA， coskA， cos( 1)kA 均是有理数， 2cos cos cos( 1)kA A k A 是有理数， cos( 1)kA+ 是有理数
42、。 即当 1nk=+时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数 n， cosnA 是有理数。 （方法二）证明： （ 1）由 AB、 BC、 AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 AB AC BC A AB AC + = 是有理数。 （ 2）用数学归纳法证明 cosnA 和 sin sinA nA 都是有理数。 当 1n= 时，由（ 1）知 cos A是有理数，从而有 2 sin sin 1 cosAA A= 也是有理数。 假设当 (1)nkk=时， coskA和 sin sinAkA 都是有理数。 当 1nk=+时，由 cos( 1) cos cos sin sinkA AkA AkA+= ， sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A+= + = + ， 及和归纳假设，知 cos( 1)kA+ 和 sin sin( 1)AkA + 都是有理数。 即当 1nk=+时，结论成立。 综合、可知，对任意正整数 n， cosnA 是有理数。
