1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学 第卷 （选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 (+) ()+()PAB PA PB= S=4R 2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中R表示球的半径 ( ) () ()PA B PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 VR 3 = n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P( ) (1 ) ( 0,1,2, ,
2、 ) kk nk nn kCp p k n =L 一、选择题 （ 1）设全 集 * U6xNx= ，集合 A 1,3 B 3,5=， ,则 U ()AB=U （ ） （） 1,4 （） 1,5 （） 2,4 （） 2,5 （）不等式 3 0 2 x x + 的解集为（ ） （） 23xx （） 2xx （） 23xx x或 （） 3xx （ 3）已知 2 sin 3 = ，则 cos( 2 ) = (A) 5 3 (B) 1 9 (C) 1 9 (D) 5 3 （ 4）函数 1ln( 1)( 1)yxx=+ 的反函数是 (A) 1 1( 0) x ye x + = (B) 1 1( 0) x
3、ye x = + (C) 1 1( R ) x ye x + = (D) 1 1( R ) x ye x =+ (5) 若变量 ,x y满足约束条件 1 32 5 x yx xy + ，则 2zxy= + 的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （ 6）如果等差数列 n a 中， 3 a + 4 a + 5 a =12，那么 1 a + 2 a + + 7 a = (A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （ 7）若曲线 2 y xaxb=+在点 (0, )b 处的切线方程式 10 xy +=，则 （ A） 1, 1ab= （ B） 1, 1ab= （ C） 1,
4、 1ab= （ D） 1, 1ab= （ 8） 已知三棱锥 S ABC 中， 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面 ABC， SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （ A） 3 4 （ B） 5 4 （ C） 7 4 （ D） 3 4 （ 9）将标号为 1 ,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标 号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 （ A） 12 种 （ B） 18 种 （ C） 36 种 （ D） 54 种 （ 10）ABC中，点 D 在边 AB 上，CD平分ACB，若 CB
5、a= ， CA b= ， 1, 2ab=，则 CD= （ A） 12 33 ab+ （ B） 22 33 ab+ （ C） 34 55 ab+ （ D） 43 55 ab+ （ 11）与正方体 111 1 ABCD ABC D 的三条棱 AB、 1 CC 、 11 AD所在直线的距离相等的点 （ A）有且只有 1 个 （ B）有且只有 2 个 （ C）有且只有 3 个 （ D）有无数个 （ 12）已知椭圆 C： 2 2 x a + 2 2 b y =1 (0)ab 的离心率为 2 3 ，过右焦点 F 且斜率为 k（ k0） 的直线与 C 相交于 A、 B 两点，若 AF =3 FB，则 k=
6、（ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 第卷（非选择题） 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 （ 13）已知 是第二象限的角， 1 tan 2 = ，则 cos = _. (14) 9 1 ()x x + 的展开式中 3 x 的系数是 _ (15) 已知抛物线 2 C2(0)ypxp=： 的准线为 l，过 M(1,0)且斜 率为 3 的直线与 l相交 于点 A,与 C 的一个交点为 B,若， AM MB= uuuur uuur ，则 p 等于 _. （ 16）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆与圆 N 的公共
7、弦， AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=_. 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 10 分） ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD=33, 5 sin 13 B = , 3 cos 5 ADC = .求AD. （ 18）（本小题满分 12 分） 已知 n a 是各项均为正数的等比例数列，且 12 12 11 2( )aa aa += + ， 345 345 111 64( )aaa aaa += + . ( ) 求 n a 的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a =+ ,
8、求数列 n b 的前 n项和 n T . （ 19）（本小题满分 1 2 分） 如图，直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， AC BC， AA 1 =AB， D 为 BB 1 的中点， E 为 AB 1 上的一点， AE=3EB 1 . （）证明：DE 为异面直线 AB 1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB 1与CD的夹角为45 o ,求二面角A 1-AC1-B1的大小. （ 20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T 1 ， T 2 ， T 3 ， T 4 ，电流能通过 T 1 ， T 2 ， T 3 的概率都是 p ，电流能
9、通过 T 4 的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立 .已知 T 1 ， T 2 ， T 3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求 p ； （）求电流能在 M 与N 之间通过的概率. （ 21）（本小题 满分 12 分） 已知函数 32 () 3 3 1f xx ax x= + （）设 2a = ，求 ()f x 的单调区间； （）设 ()f x 在区间（ 2,3）中至少有一个极值点，求 a的取值范围 . （22）（本小题满分12分） 已知斜率为 1 的直线 l与双曲线 C： 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M(1
10、,3). （）求 C的离心率； （）设 C的右顶点为 A，右焦点为 F， DF BF =17 ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x轴 相切. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题 13. 25 5 14. 84 15. 2 16. 3 三、解答题 （ 17）解： 由 3 cos 0 52 ADC B = ，故 1 2, 1qa= 所以 1 2 n n a = （）由（）知 2 21 21 11 1 24 2
11、4 n nn n n nn ba a aa =+ =+=+ 因此 () () 1 1 1 1 1 11 41 1 4 1 4 . 4 1 . 2 2 4 4 2 1 1 44 41 3 1 4 n n n nn n n Tnn =+ + + = + + = + + （ 19）解法一： （）连结 1 AB,记 1 AB与 1 AB 的交点为 F.因为面 11 AA BB 为 正方形，故 11 AB AB ，且 1 AF=FB .又 1 AE=3EB ，所 以 1 FE=EB ，又 D 为 1 BB 的中点，故 1 DE BF DE AB， . 作 CG AB ,G 为垂足，由 AC=BC 知，
12、G 为 AB 中点 . 又由底面 ABC 面 11 AA B B，得 CG 11 AA B B. 连结 DG，则 1 DG AB ，故 DE DG ,由三垂线定理，得 DE CD . 所以 DE 为异面直线 1 AB 与 CD的公垂线. （）因为 1 DG AB ，故 CDG 为异面直线 1 AB 与 CD的夹角， CDG=45 o . 设AB=2，则 1 AB 2 2= ， DG= 2 ， CG= 2 ,AC= 3 . 作 111 BH AC ,H 为垂足，因为底面 111 11 ABC AACC面 ,故 111 BH AACC面 ， 又作 1 HK AC ， K 为垂足， 连结 1 BK,
13、由三垂线定理， 得 11 BK AC ， 因此 1 BKH 为二面角 111 AACB的平面角 2 2 11 11 11 1 11 1 2 22 3 AB AC AB BH AC = 22 1111 3 3 HC BC B H= 22 11 1 1 23 2(3) 7, 37 AA HC AC HK AC =+ = = = 1 1 tan 14 BH BKH HK = 所以二面角 111 AACB的大小为 arctan 14 解法二： （）以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz . 设 AB=2，则 A（ 2,0,0,）， 1 B(0,2,0)
14、， D（ 0,1,0）， 13 E( , ,0) 22 ， 又设 C（ 1,0,c） ,则 ()() 1 11 DE 0 B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c 22 = uuur uuuuruur ， . 于是 1 DE B A=0,DE DC=0 uuur uuuur uuur uuur nullnull. 故 1 DE B A DE DC， , 所以 DE 为异面直线 1 AB 与 CD的公垂线. （）因为 1 ,B ADC uuur uuur 等于异面直线 1 AB 与CD的 夹角， 故 11 cos 45BADC BA DC= o uuur uuur uuur uuur nu
15、llnull ， 即 2 2 22 2 4 2 c+=， 解得 2c = ，故 AC ( ,2 2)= uuur -1 ， ， 又 11 AA =BB =(0,2,0) uuuur uuuur ， 所以 11 AC =AC+AA =( 1,2 2) uuuur uuur uuuur ， ， 设平面 11 AAC 的法向量为 (, ,)mxyz= ， 则 11 0, 0mAC mAA= uuuuruur nullnull 即 22020 xy z y+ + = =且 令 2x= ，则 1, 0zy=，故 (2,0,1)m= 令平面 11 ABC 的法向量为 (,)npqr= 则 11 0, 0n
16、AC nBA= uuuur uuur nullnull，即 220,220pq r pq + = = 令 2p = ，则 2, 1qr=，故 (2,2 1)n= 所以 1 cos , 15 mn mn mn = = null . 由于 ,mn等于二面角 111 A-AC-B的平面角， 所以二面角 111 A-AC-B的大小为 15 arccos 15 . （20）解： 记 1 A 表示事件：电流能通过 T , 1, 2,3, 4, i i = A 表示事件： 123 TTT， 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M与 N 之间通过， （） 123 1 2 3 AAAA A A A
17、= nullnull， 相互独立， 3 123 1 2 3 P()( )()()()(1)A PAA A PAPA PA p= =nullnull , 又 P( ) 1 P(A)=1 0.999 0.001A = = ， 故 3 (1 ) 0.001 0.9pp= =， ， （） 4 413 4123 B A+AAA+AAAA= null nullnullnullnull， 4 413 4123 P(B) P(A +A A A +A A A A )= nullnull nullnullnull 4 413 4123 P(A )+P(A A A )+P(A A A A )= nullnull n
18、ullnullnull 4 413 4123 P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )= =0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9 =0.9891 （21）解： （）当 a=2 时， 32 () 6 3 1, () 3( 2 3)( 2 3)fxxxxfx x x= + = + 当 (,2 3)x 时 () 0, ()f xfx 在 (,2 3) 单调增加； 当 (2 3,2 3)x + 时 () 0, ()f xfx 在 (2 3, )+ + 单调增加； 综上所述， ()f x 的单调递增区间是 (,2 3) 和 (2 3, )+ +
19、 ， ()f x 的单调递减区间是 (2 3,2 3)+ （） 22 () 3( ) 1 f xxa a =+， 当 2 10a时， () 0, ()f xfx 为增函数，故 ()f x 无极值点； 当 2 10a时， () 0fx = 有两个根 22 12 1, 1xa a xa a= =+ 由题意知， 22 213,213aa aa +或 式无解，式的解为 55 43 a， 因此 a的取值范围是 55 43 ， . （22）解： （）由题设知， l的方程为： 2yx=+， 代入 C 的方程，并化简，得 222 2 222 ()44 0bax axaab =， 设 11 2 2 B( , )
20、 ( , )x yDxy、 ， 则 222 12 12 22 22 44 , aaab xx xx ba ba + += = 由 (1, 3)M 为BD的中点知 12 1 2 xx+ = ，故 2 22 14 1 2 a ba = 即 22 3ba= ， 故 22 2cab a=+= 所以 C 的离心率 2 c e a = （）由知，C 的方程为： 22 2 33x ya= ， 2 12 12 43 ( ,0), (2 ,0), 2, 0 2 a Aa F a x x xx + += = 故不妨设 12 ,x ax a ， 22 222 111 1 1 BF = ( 2 ) ( 2 ) 3 3
21、 2x ay xa xaax+=+=， 22 222 222 2 2 FD = ( 2 ) ( 2 ) 3 3 2x ay xa xa xa+=+=， 22 12 12 12 BF FD ( 2 )(2 )= 4 2 ( ) 5 4 8axxa xx axxa a a= + + = +null . 又 BF FD 17=null ， 故 2 54817aa+=， 解得 1a = ，或 9 5 a = （舍去）， 故 2 12 12 12 BD = 2 2 ( ) 4 6xx xx xx= + =null ， 连结 MA，则由 A(1,0) ， M(1,3) 知 MA 3= ，从而 MA=MB=MD ,且 MA x 轴，因此以 M 为圆心， MA 为半径 的圆经过 A、 B、 D 三点，且在点 A 处与 x轴相切，所以过 A、 B、 D 三点的圆与 x轴相切 .
