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    2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(江西卷)及答案解析.pdf

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    2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(江西卷)及答案解析.pdf

    1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(江西卷) 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每个小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的。 1.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( ) A.x=-1,y=1 B. x=-1,y=2 C. x=1,y=1 D. x=1,y=2 【答案】 D 【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法,得 2 ()(1)x ixiy + =,没有虚 部,x=1,y=2. 2.若集合 A= | 1x xxR, , 2 B= |yy x x R=, ,则 AB =( ) A. |1 1xx

    2、 B. |0 xx C. |0 1xx D. 【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B; |1 1Ax x=, | 0Byy=,解得 AB=x|0 1x I 。在应试中可采用特值检 验完成。 3.不等式 22xx x x 的解集是( ) A. (0 2), B. (0), C. (2 )+, D. (0 ) +(- ,0) , 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 2 0 x x ,解得 A。 或者选择 x=1 和x=-1,两个检验进行排除。 4. 2 11 1 lim 1 33 3 n x + + =

    3、L ( ) A. 5 3 B. 3 2 C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】 考查等比数列求和与极限知识.解法一: 先求和, 然后对和取极限。 1 1 3 3 lim ( ) 1 2 1 3 n n+ = 5.等比数列 n a 中, 1 2a = , 8 a =4,函数 ( ) 12 8 ()()()f x xxaxa xa= L ,则 () 0f = ( ) A 6 2 B. 9 2 C. 12 2 D. 15 2 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 ( ) 0f 只

    4、与函数 ()f x 的一次项 有关;得: 412 123 8 18 ()2aaa a aa = =L 。 6. () 8 2 x 展开式中不含 4 x 项的系数的和为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难 则反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 4 x 项系数 80 8 8 2( 1) 1C = 即为所求,答案 为 0. 7.E,F 是等腰直角ABC斜边 AB 上的三等分点,则 tan ECF =( ) A. 16 27 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 4 【答案】D 【解析】考

    5、查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1:约定 AB=6,AC=BC= 32,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦 定理得 4 cos 5 ECF=, 解得 3 tan 4 ECF= 解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC= 32,F(1,0),E(-1,0),C(0,3) 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF=,解得 3 tan 4 ECF=。 8.直线 3ykx=+与圆 ()() 22 324xy+=相交于 M,N 两点,若 23MN ,则 k 的取 值范围是 A. 3 0 4 , B. 3 0 4 + U, C. 33 33 , D. 2 0 3 , 【答案】A

    6、【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用 . 解法 1:圆心的坐标为( 3., 2) ,且圆与 y 轴相切 .当 |MN| 2 3= 时 , 由点到直线距离公式,解得 3 ,0 4 ; 解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 +,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 9给出下列三个命题: 函数 11cos ln 21cos x y x = + 与 ln tan 2 x y = 是同一函数; 若函数 ( )yfx= 与 ()ygx= 的图像关于直线 y x= 对称,则函数 () 2yfx= 与 () 1 2 ygx= 的

    7、图像也关于直线 y x= 对称; 若奇函数 ()f x 对定义域内任意 x 都有 ( ) (2 )f xf x= ,则 ( )f x 为周期函数。 其中真命题是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,错误;排除 A、B,验证, () 2 ( ) (2 )f xf x f x =+,又通过奇函数得 ( ) ()f xfx= ,所以 f ( x)是周期为 2 的周期函数,选择 C。 10.过正方体 111 1 ABCD ABC D 的顶点 A作直线 L, 使 L与棱 AB , AD , 1 AA 所成的角都相等,这样的直线 L 可以

    8、作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】D 【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一 类:通过点 A位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC 1, 第二类:在图形外部和每条棱的外 角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条。 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他 用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查 两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1 p 和 2 p ,则 A. 1 p = 2 p B. 1 p 2 p

    9、 D。以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 考查不放回的抽球、 重点考查二项分布的概率。 本题是北师大版新课标的课堂作业, 作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。方法一:每箱的选中的概率为 1 10 ,总概率为 0010 10 1(0.1)(0.9)C ;同理,方法二:每箱的选中的概率为 1 5 ,总事件的概率为 005 5 14 1()() 55 C ,作差得 1 p OB OC ,分别经过三条棱 OA, OB , OC 作一个截面平分三 棱锥的体积,截面面积依次为 1 S , 2 S , 3 S ,则 1 S , 2 S , 3 S 的大小关 系为 。 【答案】 32

    10、1 SSS 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论, 特殊化,令边长为 1,2,3 得 321 SSS。 (1)当 a=1时,求 ()f x 的单调区间。 ( 2)若 ()f x 在 ( 01, 上的最大值为 1 2 ,求 a 的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解:对函数求导得: 11 () 2 f xa xx = + ,定义域为(0,2) ( 1) 单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当 a=1 时,令 2 11 2 () 0 +1=0 0 22 x fx xx xx + = = 得 () 当 (0, 2)

    11、, ( ) 0,xfx为增区间;当 (22), () 0,xfx 0,为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 max 1 (1) 2 ffa=。 20. (本小题满分 12 分) 如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD 平面 BCD,AB 平面BCD, 23AB = 。 (1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值。 1 3 4 6 P 1 3 1 6 1 6 1 3 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面 角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能 力

    12、和推理能力 解法一: ( 1)取 CD 中点 O,连 OB, OM,则 OB CD, OM CD.又平面 MCD 平面 BCD,则 MO平面 BCD,所以 MO AB, A、 B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E,则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 .OB=MO= 3 , MO AB, MO/面 ABC, M、 O 到平面 ABC 的 距离相等,作 OHBC 于 H,连 MH,则 MHBC,求得: OH=OCsin60 0 = 3 2 ,MH= 15 2 , 利用体积相等得: 215 5 AMBC M ABC VV d =。 ( 2) CE 是平面 ACM 与平

    13、面 BCD的交线 . 由( 1)知, O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F,连 AF,则 AF EC, AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,设为 . 因为 BCE=120,所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= = o , tan 2 AB BF =, 25 sin 5 = 所以,所求二面角的正弦值是 25 5 . 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊 位置的元素解决 解法二: 取 CD 中点 O, 连 OB, OM, 则 OB CD, OM CD, 又平面 MCD 平面 BCD, 则 MO平面

    14、BCD. 以 O 为原点,直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间 直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ,则各点坐标分别为 O( 0, 0, 0) , C( 1, 0, 0) , M( 0, 0, 3 ) , B( 0,- 3 , 0) , A( 0,- 3 , 2 3 ) , ( 1)设 (, ,)nxyz= r 是平面 MBC 的法向量,则 BC=(1, 3,0) uuur , (0,3,3)BM = uuuur ,由 nBC r uuur 得 30 xy+ = ;由 nBM r uuuur 得 330yz+=;取 (3,1,1), (0,0,23)nBA=

    15、= ruur ,则距离 y x M D C B O A z 215 5 BA n d n = uuurr r ( 2) (1,0, 3)CM = uuuur , (1, 3,23)CA= uuur . 设平面 ACM 的法向量为 1 (, ,)nxyz= ur ,由 1 1 nCM nCA ur uuuur uruur 得 30 3230 xz xy z + = + = .解得 3x z= , y z= ,取 1 (3,1,1)n = ur . 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n= r ,则 1 1 1 1 cos , 5 nn nn nn = = ur r ur r ur r 设所

    16、求二面角为 ,则 2 125 sin 1 ( ) 5 5 = = . 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见,此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系,便于计算,位置关系明确,以计算代替分析,起到简化的作用,但计 算必须慎之又慎 21. (本小题满分 12 分) 设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab += ,抛物线 22 2 :Cx byb+ = 。 ( 1) 若 2 C 经过 1 C 的两个焦点,求 1 C 的离心率; ( 2) 设 A( 0, b) , 5 33 4 Q , ,又 M、 N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两个交点,若 AMN 的垂

    17、心为 3 4 B b 0, ,且 QMN 的重心在 2 C 上,求椭圆 1 C 和抛物线 2 C 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: 22 cb= ,由 2 222 2 2 12 2, 22 c abc c e a =+= =有 。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称,设 11 11 1 (,),(,)( 0)MxyNxyx,由 AMN 的垂心为 B,有 2 11 1 3 0()()0 4 BM AN x y b y b=+ = uuuur uuur 。 由点 11 (, )Nx y 在抛物线上

    18、, 22 11 x by b+ = ,解得: 11 () 4 b yyb= =或舍去 故 1 55 5 ,( ,),( ,) 22424 bb xbMbNb= ,得 QMN 重心坐标 (3,) 4 b . 由重心在抛物线上得: 2 2 3,=2 4 b bb+=所以 , 11 (5, ),(5, ) 22 MN , 又因为 M、 N 在椭圆上得: 2 16 3 a = ,椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy + = ,抛物线方程为 2 24xy+ = 。 22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数b,c(bc),使得 222 abc, 成等差数列。

    19、 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形 n ,其边长 n nn abc, 为正整数且 222 n nn abc, 成等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 ( 1)考虑到结构要证 22 2 2ac b+= , ;类似勾股数进行拼凑。 证明:考虑到结构特征,取特值 222 1,5,7 满足等差数列,只需取 b=5a, c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当 222 nnn abc, 成等差数列,则 2222 nnnn bacb =, 分解得:

    20、()()()() nnnn nnnn baba cbcb+=+ 选取关于 n的一个多项式, 2 4( 1)nn 做两种途径的分解 222 4 ( 1) (2 2)(2 2 ) (2 2 )(2 2)nn n n n n n n= + = + 2 4( 1)nn 对比目标式,构造 2 2 2 21 1( 4) 21 n n n an n bn n cn n = =+ =+ ,由第一问结论得,等差数列成立, 考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m , n ,若 m , n 相似:则三边对应成比例 222 21 1 21 21 1 21 mm m mm nn n nn + + = + + , 由比例的性质得: 11 11 mm mn nn + = + ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。


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