1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（江西卷） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的。 1.已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=2 【答案】 D 【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 2 ()(1)x ixiy + =，没有虚 部，x=1,y=2. 2.若集合 A= | 1x xxR， ， 2 B= |yy x x R=， ，则 AB =（ ） A. |1 1xx
2、 B. |0 xx C. |0 1xx D. 【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B； |1 1Ax x=， | 0Byy=,解得 AB=x|0 1x I 。在应试中可采用特值检 验完成。 3.不等式 22xx x x 的解集是（ ） A. (0 2)， B. (0)， C. (2 )+， D. (0 ) +（- ，0） ， 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. 2 0 x x ，解得 A。 或者选择 x=1 和x=-1,两个检验进行排除。 4. 2 11 1 lim 1 33 3 n x + + =
3、L （ ） A. 5 3 B. 3 2 C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】 考查等比数列求和与极限知识.解法一： 先求和， 然后对和取极限。 1 1 3 3 lim ( ) 1 2 1 3 n n+ = 5.等比数列 n a 中， 1 2a = ， 8 a =4，函数 ( ) 12 8 ()()()f x xxaxa xa= L ，则 () 0f = （ ） A 6 2 B. 9 2 C. 12 2 D. 15 2 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 ( ) 0f 只
4、与函数 ()f x 的一次项 有关；得： 412 123 8 18 ()2aaa a aa = =L 。 6. () 8 2 x 展开式中不含 4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难 则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4 x 项系数 80 8 8 2( 1) 1C = 即为所求，答案 为 0. 7.E，F 是等腰直角ABC斜边 AB 上的三等分点，则 tan ECF =（ ） A. 16 27 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 4 【答案】D 【解析】考
5、查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1：约定 AB=6,AC=BC= 32,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦 定理得 4 cos 5 ECF=， 解得 3 tan 4 ECF= 解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC= 32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3） 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF=，解得 3 tan 4 ECF=。 8.直线 3ykx=+与圆 ()() 22 324xy+=相交于 M,N 两点，若 23MN ，则 k 的取 值范围是 A. 3 0 4 ， B. 3 0 4 + U， C. 33 33 ， D. 2 0 3 ， 【答案】A
6、【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用 . 解法 1：圆心的坐标为（ 3.， 2） ，且圆与 y 轴相切 .当 |MN| 2 3= 时 ， 由点到直线距离公式，解得 3 ,0 4 ； 解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取 +，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 9给出下列三个命题： 函数 11cos ln 21cos x y x = + 与 ln tan 2 x y = 是同一函数； 若函数 ( )yfx= 与 ()ygx= 的图像关于直线 y x= 对称，则函数 () 2yfx= 与 () 1 2 ygx= 的
7、图像也关于直线 y x= 对称； 若奇函数 ()f x 对定义域内任意 x 都有 ( ) (2 )f xf x= ，则 ( )f x 为周期函数。 其中真命题是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验证, () 2 ( ) (2 )f xf x f x =+,又通过奇函数得 ( ) ()f xfx= ，所以 f （ x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。 10.过正方体 111 1 ABCD ABC D 的顶点 A作直线 L， 使 L与棱 AB , AD , 1 AA 所成的角都相等，这样的直线 L 可以
8、作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】D 【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一 类：通过点 A位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC 1， 第二类：在图形外部和每条棱的外 角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他 用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查 两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1 p 和 2 p ，则 A. 1 p = 2 p B. 1 p 2 p
9、 D。以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 考查不放回的抽球、 重点考查二项分布的概率。 本题是北师大版新课标的课堂作业， 作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为 1 10 ，总概率为 0010 10 1(0.1)(0.9)C ；同理，方法二：每箱的选中的概率为 1 5 ，总事件的概率为 005 5 14 1()() 55 C ，作差得 1 p OB OC ,分别经过三条棱 OA， OB ， OC 作一个截面平分三 棱锥的体积，截面面积依次为 1 S ， 2 S ， 3 S ，则 1 S ， 2 S ， 3 S 的大小关 系为 。 【答案】 32
10、1 SSS 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论， 特殊化，令边长为 1，2，3 得 321 SSS。 （1）当 a=1时，求 ()f x 的单调区间。 （ 2）若 ()f x 在 ( 01， 上的最大值为 1 2 ，求 a 的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得： 11 () 2 f xa xx = + ，定义域为（0，2） （ 1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当 a=1 时，令 2 11 2 () 0 +1=0 0 22 x fx xx xx + = = 得 （） 当 (0, 2)
11、, ( ) 0,xfx为增区间；当 (22), () 0,xfx 0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 max 1 (1) 2 ffa=。 20. （本小题满分 12 分） 如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面 BCD，AB 平面BCD， 23AB = 。 （1） 求点 A 到平面 MBC 的距离； （2） 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值。 1 3 4 6 P 1 3 1 6 1 6 1 3 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面 角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能 力
12、和推理能力 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD.又平面 MCD 平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB， A、 B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 .OB=MO= 3 ， MO AB， MO/面 ABC， M、 O 到平面 ABC 的 距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得： OH=OCsin60 0 = 3 2 ,MH= 15 2 , 利用体积相等得： 215 5 AMBC M ABC VV d =。 （ 2） CE 是平面 ACM 与平
13、面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F，连 AF，则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= = o ， tan 2 AB BF =， 25 sin 5 = 所以，所求二面角的正弦值是 25 5 . 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊 位置的元素解决 解法二： 取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD， OM CD， 又平面 MCD 平面 BCD, 则 MO平面
14、BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间 直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设 (, ,)nxyz= r 是平面 MBC 的法向量，则 BC=(1, 3,0) uuur ， (0,3,3)BM = uuuur ，由 nBC r uuur 得 30 xy+ = ；由 nBM r uuuur 得 330yz+=；取 (3,1,1), (0,0,23)nBA=
15、= ruur ，则距离 y x M D C B O A z 215 5 BA n d n = uuurr r （ 2） (1,0, 3)CM = uuuur ， (1, 3,23)CA= uuur . 设平面 ACM 的法向量为 1 (, ,)nxyz= ur ，由 1 1 nCM nCA ur uuuur uruur 得 30 3230 xz xy z + = + = .解得 3x z= ， y z= ，取 1 (3,1,1)n = ur . 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n= r ，则 1 1 1 1 cos , 5 nn nn nn = = ur r ur r ur r 设所
16、求二面角为 ，则 2 125 sin 1 ( ) 5 5 = = . 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计 算必须慎之又慎 21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab += ，抛物线 22 2 :Cx byb+ = 。 （ 1） 若 2 C 经过 1 C 的两个焦点，求 1 C 的离心率； （ 2） 设 A（ 0， b） ， 5 33 4 Q ， ,又 M、 N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两个交点，若 AMN 的垂
17、心为 3 4 B b 0， ，且 QMN 的重心在 2 C 上，求椭圆 1 C 和抛物线 2 C 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： 22 cb= ，由 2 222 2 2 12 2, 22 c abc c e a =+= =有 。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 11 11 1 (,),(,)( 0)MxyNxyx,由 AMN 的垂心为 B，有 2 11 1 3 0()()0 4 BM AN x y b y b=+ = uuuur uuur 。 由点 11 (, )Nx y 在抛物线上
18、， 22 11 x by b+ = ，解得： 11 () 4 b yyb= =或舍去 故 1 55 5 ,( ,),( ,) 22424 bb xbMbNb= ，得 QMN 重心坐标 (3,) 4 b . 由重心在抛物线上得： 2 2 3,=2 4 b bb+=所以 ， 11 (5, ),(5, ) 22 MN ， 又因为 M、 N 在椭圆上得： 2 16 3 a = ，椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy + = ，抛物线方程为 2 24xy+ = 。 22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1） 对任一正整 a,都存在整数b,c(bc)，使得 222 abc， 成等差数列。
19、 （2） 存在无穷多个互不相似的三角形 n ，其边长 n nn abc， 为正整数且 222 n nn abc， 成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （ 1）考虑到结构要证 22 2 2ac b+= ， ；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值 222 1,5,7 满足等差数列，只需取 b=5a， c=7a，对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当 222 nnn abc， 成等差数列，则 2222 nnnn bacb =， 分解得：
20、()()()() nnnn nnnn baba cbcb+=+ 选取关于 n的一个多项式， 2 4( 1)nn 做两种途径的分解 222 4 ( 1) (2 2)(2 2 ) (2 2 )(2 2)nn n n n n n n= + = + 2 4( 1)nn 对比目标式，构造 2 2 2 21 1( 4) 21 n n n an n bn n cn n = =+ =+ ，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m ， n ，若 m ， n 相似：则三边对应成比例 222 21 1 21 21 1 21 mm m mm nn n nn + + = + + ， 由比例的性质得： 11 11 mm mn nn + = + ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
