1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科) 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 柱体的体积公
2、式 ( ) () ()PA B PA PB+= + VSh= 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 1 3 VSh= 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 k 次的概率 () (1 ) ( 0,1,2, ) kk nk nn Pk Cp p k n = 球的表面积公式 台体的体积公式 2 4SR= ()1122 1 3 VhSS S=+ 球的体积公式 其中 12 ,SS分别表示
3、台体的上、下底面积, 3 4 3 VR= h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分(共 50 分) 一、选择 题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ( 1)设 2 1. 4Pxx Qxx PQ= =pp,则 ( A) 12xx pp ( B) 31xx pp ( C) 14xxpp ( D) 21xx pp ( 2)已知函数 ()() log 1, () 1,f xxfaa=+ =若则 ( A) 0 ( B) 1 ( C) 2 ( D) 3 ( 3)设 i 为虚数单位,则 5 1 i i = + ( A) 2
4、3i ( B) 23i+ ( C) 23i ( D) 23i+ ( 4)某程度框图如图所示,若输出的 57S = ,则判断框内为 ( A) 4?k f ( B) 5?k f ( C) 6?k f ( D) 7?k f ( 5)设 1 S 为等比数列 n a 的前 n 项和, 1 22 2 80 S aa S =,则 ( A) 11 ( B) 8 ( C) 5 ( D) 11 ( 6)设 0, 2 x pp 则“ xsin 2 x1”是“ xsin x1”的 ( A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 ( D)既不充分也不必要条件 ( 7)若实数 x、 y 满足不等
5、式组 330, 230, 10, xy xy xy + + 则 x+y 的最大值为 ( A) 9 ( B) 15 7 ( C) 1 ( D) 7 15 ( 8)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何 体的体积是 ( A) 3 352 3 cm ( B) 3 320 3 cm ( C) 3 224 3 cm ( D) 3 160 3 cm ( 9)已知 x 是函数 1 () 2 1 fx x =+ 的一个零点,若 20 (1, ), 2 ( , ) a xxxx +,则 ( A) 12 () 0,() 0fx fxpp ( B) 12 () 0,() 0fx fxpf ( C) 1
6、2 () 0,() 0fx fxfp ( D) 12 () 0,() 0fx fxff ( 10)设 O 为坐标原点, F 1 , F 2 是双曲线 2 2 x a 2 2 y b ( a 0, b 0)的焦点,若在双曲 线上存在点 P,满足F 1 P F 2 =60, OP = 7 a, 则该双曲线的渐近线方程为 ( A) x 3 y=0 ( B) 3 x y=0 (C) x 2 y=0 (D) 2 x y=0 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分, 共 28 分。 ( 11)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组 数据的中位数分别是 , . ( 12)函
7、数 f(x)=sin 2 (2x 4 )的最小正周期 是 . ( 13)已知平面向量 , , 1, =2, ( 2 ) ,则的值是 . ( 14)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数 是 . ( 15)若正实数 x ,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 . ( 16)某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x ,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等 .若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是
8、 . ( 17)在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交 点, P, Q, M, N 分别是线段 OA、 OB、 OC、 OD 的中点 . 在 A, P, M, C 中任取一点记为 E,在 B, Q, N, D 中 任取一点记为 F.设 G 为满足向量 OG OE OF=+ uuur uuur uuur 的点, 则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ( 18) (本题满分 13 分)在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,
9、b, c,设 S 为 ABC 的面积,满足 S 3 4 ( a 2 b 2 c 2 ) . ()求角 C 的大小 ; ()求 sinA sinB 的最大值 . ( 19) (本题满分 14 分)设 a 1 , d 为实数,首项为 a 1 , z 差为 d 的等差数 a n 的前 n 项 和为 S n ,满足 S 2 S 6 15 0. ()若 S 5 S.求 S n 及 a 1 ; ( )求 d 的取值范围 . ( 20) (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB 2BC, ABC 120, E 为线段 AB 的中线,将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE,使 平 面
10、 A DE平面 BCD, F 为线段 A C 的中点 . ()求证: BF平面 A DE; ()设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与 平面 A DE 所成角的余弦值 . ( 21) (本题满分 15 分)已知函数 f( x)( a) ( a b) ( a, b R, ab) . ()当 a 1, b 2 时,求曲线 y f( x)在点( 2, f ( 2) )处的切线方程 ; ()设 x 1 , x 2 是 f( x)的两个极值点, x 3 是 f( x)的一个零点,且 x 3 x 1 , x 3 x 2 . 证明:存在实数 x 4 ,使得 x 1 , x 2 , x 3 , x 4
11、 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x 4 . ( 22) (本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 C: y 2 2px( p 0)的焦点 F 在直线 l: x my 2 2 m 0 上 . ()若 m 2,求抛物线 C 的方程 ; ()设直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点,过 A, B 分别作抛物线 C 的准线的垂直, 垂足为 A 1 , B 1 , AA 1 F, BB 1 F 的重心分别为 G, H.求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外 . 数学(文科)试题参考答案 一、选择 题:本题考查基本知识和基本运算。每小
12、题 5 分,满分 50 分。 ( 1) D ( 2) B ( 3) C ( 4) A ( 5) A ( 6) B ( 7) A ( 8) B ( 9) B ( 10) D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 ( 11) 45, 46 ( 12) 2 (13) 10 ( 14) n 2 +n ( 15) 18 ( 16) 20 ( 17) 3 4 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 ( 18)本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解 能力。满分 14 分。 ( )解:由题意可知 1 2 absinC= 3 4 ,
13、2abcosC. 所以 tanC= 3 . 因为 0C , 所以 C= 3 . ( )解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin( 2 3 -A) =sinA+ 3 2 A+ 1 2 sinA= 3 sin(A+ 6 ) 3 . 当 ABC 为正三角形时取等号, 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . (19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时 考查运算求解能力及分析问题 解决问题的能力。满分 14 分。 ( )解:由题意知 S 0 = 5 -15 S -3, a=S-S=-8 所以 1 1 10 5, 58. Sa d ad +=
14、= 解得 a 1 =7 所以 S=-3,a 1 =7 ( )解:因为 SS+15=0, 所以 (5a 1 +10d)(6a 1 +15d)+15=0, 即 2a 1 2 +9da 1 +10d 2 +1=0. 故 (4a 1 +9d) 2 =d 2 -8. 所以 d 2 8. 故 d 的取值范围为 d -2 2 或 d 2 2 . (20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面 角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。 满分 14 分。 ( )证明:取 AD 的中点 G,连结 GF, CE,由条件易知 FG CD, FG= 1 2 CD. BE CD,BE= 1 2 CD.
15、所以 FG BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形 , 所以 BF平面 A DE. ( )解:在平行四边形 ABCD 中,设 BC=a, 则 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a, 连 CE. 因为 ABC=120 , 在 BCE 中,可得 CE= 3 a, 在 ADE 中,可得 DE=a, 在 CDE 中,因为 CD 2 =CE 2 +DE 2 ,所以 CE DE, 在正三角形 ADE 中, M 为 DE 中点,所以 A M DE. 由平面 ADE 平面 BCD, 可知 AM平面 BCD,A M CE. 取 A E 的中点 N,连线 NM、 NF, 所以 NF DE,NF A
16、 M. 因为 DE 交 A M 于 M, 所以 NF.平面 A DE, 则 FMN 为直线 FM 与平面 A DE 新成角 . 在 Rt FMN 中, NF= 3 2 a,MN= 1 2 a,FM=a, 则 cos/ = 1 2 . 所以直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值为 1 2 . (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础 知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分 15 分。 ( )解:当 a=1,b=2 时, 因为 f (x)=(x-1)(3x-5). 故 f (2)=1. 又 f( 2) 0, 所以 f( x)在点( 2
17、, 0)处的切线方程为 y x 2. ()证明:因为 f( x) 3( x a) ( x 2 3 ab+ ) , 由于 ab. 故 a 2 3 ab+ . 所以 f( x)的两个极值点为 x a, x 2 3 ab+ . 不妨设 x 1 a , x 2 2 3 ab+ , 因为 x 3 x 1 , x 3 x 2 ,且 x 3 是 f( x)的零点, 故 x 3 b. 又因为 2 3 ab+ a 2( b 2 3 ab+ ) , x 4 1 2 ( a 2 3 ab+ ) 2 3 ab+ , 所以 a, 2 3 ab+ , 2 3 ab+ , b 依次成等差数列, 所以存在实数 x 4 满足题
18、意,且 x 4 2 3 ab+ . ( 22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 ()解:因为焦点 F( 2 P , 0)在直线 l 上,得 p m 2 , 又 m 2,故 p 4. 所以抛物线 C 的方程为 y 2 8x. ()证明:因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上, 所以 p, lm 2 , 所以抛物线 C 的方程为 y 2 2m 2 x. 设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 由 2 22 , 2 2, m xmy y mx =+ = 消去 x
19、得 y 2 2m 3 y m 4 0, 由于 m 0,故 4m 6 4m 4 0, 且有 y 1 y 2 2m 3 , y 1 y 2 m 4 , 设 M, M 2 分别为线段 AA 1 , BB 1 的中 点, 由于 2 12 ,2 ,M CCFMH HF= uuuur uuur uuuuur uuur 可知 G( 11 2 , 33 x y ) , H( 22 2 , 33 x y ) , 所以 242 12 12 () , 6636 xx myy m mm+ =+ 3 12 22 2 , 63 yy m+ = 所以 GH 的中点 M 22 2 2 , 363 mmm + . 设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径, 则 R 2 = 1 4 2 1 9 GH = (m 2 +4)(m 2 +1)m 2 . 设抛物线的准线与 x 轴交点 N( 2 2 m , 0), 则 2 MN = 2 242 3 2 236 3 mmm m + + = 1 9 m 4 (m 4 +8 m 2 +4) = 1 9 m 4 (m 2 +1)( m 2 +4)+3m 2 1 9 m 2 (m 2 +1)( m 2 +4)=R 2 . 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外 .