1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 柱体的体积公
2、式 ( ) () ()PA B PA PB+= + VSh= 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ， 1 3 VSh= 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 k 次的概率 () (1 ) ( 0,1,2, ) kk nk nn Pk Cp p k n = 球的表面积公式 台体的体积公式 2 4SR= ()1122 1 3 VhSS S=+ 球的体积公式 其中 12 ,SS分别表示
3、台体的上、下底面积， 3 4 3 VR= h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 50 分） 一、选择 题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （ 1）设 2 1. 4Pxx Qxx PQ= =pp，则 （ A） 12xx pp （ B） 31xx pp （ C） 14xxpp （ D） 21xx pp （ 2）已知函数 ()() log 1, () 1,f xxfaa=+ =若则 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 3）设 i 为虚数单位，则 5 1 i i = + （ A） 2
4、3i （ B） 23i+ （ C） 23i （ D） 23i+ （ 4）某程度框图如图所示，若输出的 57S = ，则判断框内为 （ A） 4?k f （ B） 5?k f （ C） 6?k f （ D） 7?k f （ 5）设 1 S 为等比数列 n a 的前 n 项和， 1 22 2 80 S aa S =，则 （ A） 11 （ B） 8 （ C） 5 （ D） 11 （ 6）设 0, 2 x pp 则“ xsin 2 x1”是“ xsin x1”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 7）若实数 x、 y 满足不等
5、式组 330, 230, 10, xy xy xy + + 则 x+y 的最大值为 （ A） 9 （ B） 15 7 （ C） 1 （ D） 7 15 （ 8）若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何 体的体积是 （ A） 3 352 3 cm （ B） 3 320 3 cm （ C） 3 224 3 cm （ D） 3 160 3 cm （ 9）已知 x 是函数 1 () 2 1 fx x =+ 的一个零点，若 20 (1, ), 2 ( , ) a xxxx +，则 （ A） 12 () 0,() 0fx fxpp （ B） 12 () 0,() 0fx fxpf （ C） 1
6、2 () 0,() 0fx fxfp （ D） 12 () 0,() 0fx fxff （ 10）设 O 为坐标原点， F 1 ， F 2 是双曲线 2 2 x a 2 2 y b （ a 0， b 0）的焦点，若在双曲 线上存在点 P，满足F 1 P F 2 =60， OP = 7 a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ A） x 3 y=0 （ B） 3 x y=0 (C) x 2 y=0 (D) 2 x y=0 非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分， 共 28 分。 （ 11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组 数据的中位数分别是 ， . （ 12）函
7、数 f(x)=sin 2 (2x 4 )的最小正周期 是 . （ 13）已知平面向量 ， ， 1, =2， （ 2 ） ，则的值是 . （ 14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数 是 . （ 15）若正实数 x ,y 满足 2x+y+6=xy，则 xy 的最小值是 . （ 16）某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元， 七月份销售额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x ,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等 .若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 x 的最小值是
8、 . （ 17）在平行四边形 ABCD 中， O 是 AC 与 BD 的交 点， P， Q， M， N 分别是线段 OA、 OB、 OC、 OD 的中点 . 在 A， P， M， C 中任取一点记为 E，在 B， Q， N， D 中 任取一点记为 F.设 G 为满足向量 OG OE OF=+ uuur uuur uuur 的点， 则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 18） （本题满分 13 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，
9、b， c，设 S 为 ABC 的面积，满足 S 3 4 （ a 2 b 2 c 2 ） . （）求角 C 的大小 ; （）求 sinA sinB 的最大值 . （ 19） （本题满分 14 分）设 a 1 ， d 为实数，首项为 a 1 ， z 差为 d 的等差数 a n 的前 n 项 和为 S n ，满足 S 2 S 6 15 0. （）若 S 5 S.求 S n 及 a 1 ; （ ）求 d 的取值范围 . （ 20） （本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 2BC， ABC 120， E 为线段 AB 的中线，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，使 平 面
10、 A DE平面 BCD， F 为线段 A C 的中点 . （）求证： BF平面 A DE; （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与 平面 A DE 所成角的余弦值 . （ 21） （本题满分 15 分）已知函数 f（ x）（ a） （ a b） （ a， b R， ab） . （）当 a 1， b 2 时，求曲线 y f（ x）在点（ 2， f （ 2） ）处的切线方程 ; （）设 x 1 ， x 2 是 f（ x）的两个极值点， x 3 是 f（ x）的一个零点，且 x 3 x 1 ， x 3 x 2 . 证明：存在实数 x 4 ，使得 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4
11、 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 x 4 . （ 22） （本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 C： y 2 2px（ p 0）的焦点 F 在直线 l： x my 2 2 m 0 上 . （）若 m 2，求抛物线 C 的方程 ; （）设直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，过 A， B 分别作抛物线 C 的准线的垂直， 垂足为 A 1 ， B 1 ， AA 1 F， BB 1 F 的重心分别为 G， H.求证：对任意非零实数 m，抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外 . 数学（文科）试题参考答案 一、选择 题：本题考查基本知识和基本运算。每小
12、题 5 分，满分 50 分。 （ 1） D （ 2） B （ 3） C （ 4） A （ 5） A （ 6） B （ 7） A （ 8） B （ 9） B （ 10） D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （ 11） 45， 46 （ 12） 2 (13) 10 （ 14） n 2 +n （ 15） 18 （ 16） 20 （ 17） 3 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 （ 18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解 能力。满分 14 分。 ( )解：由题意可知 1 2 absinC= 3 4 ,
13、2abcosC. 所以 tanC= 3 . 因为 0C ， 所以 C= 3 . （ )解：由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin( 2 3 -A) =sinA+ 3 2 A+ 1 2 sinA= 3 sin(A+ 6 ) 3 . 当 ABC 为正三角形时取等号， 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . (19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时 考查运算求解能力及分析问题 解决问题的能力。满分 14 分。 ( )解：由题意知 S 0 = 5 -15 S -3, a=S-S=-8 所以 1 1 10 5, 58. Sa d ad +=
14、= 解得 a 1 =7 所以 S=-3,a 1 =7 ( )解：因为 SS+15=0, 所以 (5a 1 +10d)(6a 1 +15d)+15=0, 即 2a 1 2 +9da 1 +10d 2 +1=0. 故 (4a 1 +9d) 2 =d 2 -8. 所以 d 2 8. 故 d 的取值范围为 d -2 2 或 d 2 2 . (20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面 角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。 满分 14 分。 ( )证明：取 AD 的中点 G，连结 GF， CE，由条件易知 FG CD， FG= 1 2 CD. BE CD,BE= 1 2 CD.
15、所以 FG BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形 , 所以 BF平面 A DE. （ )解：在平行四边形 ABCD 中，设 BC=a, 则 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a, 连 CE. 因为 ABC=120 , 在 BCE 中，可得 CE= 3 a, 在 ADE 中，可得 DE=a, 在 CDE 中，因为 CD 2 =CE 2 +DE 2 ，所以 CE DE, 在正三角形 ADE 中， M 为 DE 中点，所以 A M DE. 由平面 ADE 平面 BCD, 可知 AM平面 BCD,A M CE. 取 A E 的中点 N，连线 NM、 NF， 所以 NF DE,NF A
16、 M. 因为 DE 交 A M 于 M, 所以 NF.平面 A DE, 则 FMN 为直线 FM 与平面 A DE 新成角 . 在 Rt FMN 中， NF= 3 2 a,MN= 1 2 a,FM=a, 则 cos/ = 1 2 . 所以直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值为 1 2 . (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础 知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分 15 分。 ( )解：当 a=1,b=2 时， 因为 f (x)=(x-1)(3x-5). 故 f (2)=1. 又 f（ 2） 0， 所以 f（ x）在点（ 2
17、， 0）处的切线方程为 y x 2. （）证明：因为 f（ x） 3（ x a） （ x 2 3 ab+ ） ， 由于 ab. 故 a 2 3 ab+ . 所以 f（ x）的两个极值点为 x a， x 2 3 ab+ . 不妨设 x 1 a ， x 2 2 3 ab+ ， 因为 x 3 x 1 ， x 3 x 2 ，且 x 3 是 f（ x）的零点， 故 x 3 b. 又因为 2 3 ab+ a 2（ b 2 3 ab+ ） ， x 4 1 2 （ a 2 3 ab+ ） 2 3 ab+ ， 所以 a， 2 3 ab+ ， 2 3 ab+ ， b 依次成等差数列， 所以存在实数 x 4 满足题
18、意，且 x 4 2 3 ab+ . （ 22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识， 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 （）解：因为焦点 F（ 2 P ， 0）在直线 l 上，得 p m 2 ， 又 m 2，故 p 4. 所以抛物线 C 的方程为 y 2 8x. （）证明：因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上， 所以 p， lm 2 ， 所以抛物线 C 的方程为 y 2 2m 2 x. 设 A（ x 1 ， y 1 ） ， B（ x 2 ， y 2 ） ， 由 2 22 , 2 2, m xmy y mx =+ = 消去 x
19、得 y 2 2m 3 y m 4 0， 由于 m 0，故 4m 6 4m 4 0， 且有 y 1 y 2 2m 3 ， y 1 y 2 m 4 ， 设 M， M 2 分别为线段 AA 1 ， BB 1 的中 点， 由于 2 12 ,2 ,M CCFMH HF= uuuur uuur uuuuur uuur 可知 G（ 11 2 , 33 x y ） ， H（ 22 2 , 33 x y ） ， 所以 242 12 12 () , 6636 xx myy m mm+ =+ 3 12 22 2 , 63 yy m+ = 所以 GH 的中点 M 22 2 2 , 363 mmm + . 设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径， 则 R 2 = 1 4 2 1 9 GH = (m 2 +4)(m 2 +1)m 2 . 设抛物线的准线与 x 轴交点 N( 2 2 m ， 0)， 则 2 MN = 2 242 3 2 236 3 mmm m + + = 1 9 m 4 (m 4 +8 m 2 +4) = 1 9 m 4 (m 2 +1)( m 2 +4)+3m 2 1 9 m 2 (m 2 +1)( m 2 +4)=R 2 . 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外 .
