1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷 ) 数学 (理工农医类 ) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只有 一项是满足题目要求的。 1若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数 1 z i+ 的点是 A E B.F C.G D.H 2设集合 () 22 , | 1 416 xy Axy=+=， ( , ) | 3 x Bxyy=，则 A B 的子集的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 3.在 ABC 中， a=15,b=10,A=60，则 cos B = A 22 3 B 22 3 C 6 3 D 6
2、 3 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点 数是 3”为事件 B,则事件 A， B 中至少有一件发生的概率是 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 3 4 5已知 ABC 和点 M 满足 0MA MB MC +=+ .若存在实数 m 使得 AB AC AMm += 成 立，则 m= A 2 B 3 C 4 D 5 6将参加夏令营的 600 名学生编号为： 001， 002， 600，采用系统抽样方法抽取一个容 量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第营区，从 301 到4
3、95 住在第营区，从 496 到600 在第营区，三个营区被抽中的人 数一次为 A 26, 16, 8 B 25， 17， 8 C 25， 16， 9 D 24， 17， 9 7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作 内接正六边形，如此无限继续下去，设 n s 为前 n 个圆的面积之和，则 lim n n s = A 2 2 r B. 8 3 2 r C.4 2 r D.6 2 r 8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他 三
4、项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A 152 B.126 C.90 D.54 9.若直线 y=x+b 与曲线 2 34y xx= 有公共点，则 b 的取值范围是 A. 1,1 2 2 + B. 122,122 + C. 122,3 D. 12,3 10.记实数 1 x ， 2 x ， n x 中的最大数为 max 12 , ,. n x xx，最小数为 min 12 , ,. n x xx。 已知 ABC 的三边长位 a,b,c （ abc ），定义它的亲倾斜度为 max , , .min , , , abc abc l bca bca = 则“ l =1”是“ ABC
5、为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。 11、在（ x+ 4 3y ） 20 的展开式中，系数为有理数的项共有 _项。 12.已知 2zxy=，式中变量 x ， y 满足约束条件 , 1, 2, yx xy x + ，则 z 的最大值 为 _. 13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与 圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没
6、最上面的球（如图所示） ，则球的半径 是 cm。 14某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E =8.9，则 y 的值为 . 15.设 a0,b0,称 2ab ab+ 为 a， b 的调和平均数。如图， C 为线段 AB 上 的点，且 AC=a， CB=b， O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD， AD， BD。过点 C 作 OD 的垂 线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a， b 的算术平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。
7、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= 11 cos( )cos( ), ( ) sin 2 33 24 xxgx x += （）求函数 f(x)的最小正周期； （）求函数 h（ x） =f(x) g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 17 （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔
8、热层厚度 x（单位： cm）满足关系： C（ x） = (0 10), 35 k x x + 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（ x）为隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和。 （）求 k 的值及 f(x)的表达式。 （）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 18 (本小题满分 12 分 ) 如图， 在四面体 ABOC 中 , , , 120OC OA OC OB AOB= 。 , 且 1OA OB OC= （）设为 P 为 AC 的中点， 证明： 在 AB 上存在一点 Q，使 PQ OA ，并计算 AB AQ 的 值； （）求二面角 OACB 的
9、平面角的余弦值。 19(本小题满分 12 分 ) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边， C 上每一点到点 F（ 1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. ( )求曲线 C 的方程； （）是否存在正数 m，对于过点 M（ m， 0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都 有 0FA FB uuuruur ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 n+1 n n1 n+1 n nn+1 22 nn1n nn n 20.( 13 ) 3a a1 aa a0(1),b 21a 1a ba an ab b. 21. b fx ax ca ,f yx x n + = 0）的图
10、象在点（1 （1）处的切线方程为 = -1. () abc fx lnx a 用 表示出 ， ； （ ）若 （ ） 在1，+ ）上恒成立，求 的取值范围； （） 11 1 n 1ln 23 2nn + 证明： （ +1）+ （ 1） （ +1） 2010 年高考试题数学理 （湖北卷）答案与解析 1 【答案】 D 【解析】观察图形可知 3z i=+,则 3 2 11 zi i ii + = = + ，即对应点 H（ 2， 1） ，故 D 正确 . 2 【答案】 A 【解析】画出椭圆 22 1 416 xy +=和指数函数 3 x y = 图象，可知其有两个不同交点，记为 A 1 、 A 2 ，则
11、 A BI 的子集应为 1212 ,A AAA 共四种，故选 A. 3 【答案】 D 【解析】根据正弦定理 sin sin ab A B = 可得 15 10 sin 60 sin B = o 解得 3 sin 3 B = ，又因为 ba ，则 BA + + + + 2 ln( 1) 2( 1) k k k + =+ + 由（）知：当 1 2 a 时，有 () ln ( 1)fx xx 令 1 2 a = ，有 11 () ( ) ln ( 1) 2 fx x xx x = 令 2 1 k x k + = + ，得： 12 1 2 ( ) ln ln( 2) ln( 1) 21 2 1 kk
12、k kk kk k + + =+ + + ln( 1) ln( 2) 2( 1) 2( 2) kk kk + + + + + + 11 1 1 1 . ln( 2) 23 1 2( 1) k k kk k + + + + + 就是说， 当 1nk= + 时，不等式也成立。 根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任何 nN 都成立。 11 22 1 32 32 12 11 43 43 43 nnn nn n ba a + = = （）用反证法证明 假设数列 n b 存在三项 , rst bbb()rst ，则只有可 能有 2 rst bbb=+ 成立 321 12 12 12 2 43 43 4
13、3 s rt =+ 两边同乘 3 t t 2 t-r ，化简得 3 t-r +22 t-r =2*2 t-r 3 t-s 由于 rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立， 导致矛盾。故数列 n b 中任意三项不可能成等差数列。 21本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识 进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 （满分 14 分） 解： （） 2 ( ) b fx a x = ，则有 () 0 ( ) 1 fl abc fl ab = += = ，解得 1 2 ba cl a = = （）由（）知， 1 () 1 2 a f xax a x =+
14、 +， 令 1 () () ln 1 2 ln a gx f x x ax a x x =+， ) 1,x + 则 () 0gl = ， 2 22 2 1 (1)( ) 11 ( 1) ( ) a ax x aaxxa a gx a xx x x = = = （ i）当 1 2 oa 若 1 1 a x a ，则 ( ) 0gx ， ()gx是减函数，所以 () ()gx gl o ，故 () lnf xx 在 ) 1, + 上恒不成立。 （ ii） 1 2 a 时， 1 a l a 若 () lnf xx ，故当 1x 时， () lnf xx 综上所述，所求 a 的取值范围为 1 , 2 +
