1、 绝密启用前 解密时间：2010 年 6 月 7 日 17：00 【考试时间：6 月 7 日 15：0017：00】 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 数学试题卷（理工农医类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题
2、卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）在等比数列 n a 中， 20072010 8aa = ，则公比 q的值为（ ） A、2 B、3 C、4 D、8 （2）已知向量 ba, 满足 2|,1|,0 = baba ，则 = |2| ba （ ） A、0 B、 22 C、4 D、8 （3） = 2 1 4 4 lim 2 2 xx x （ ） A、 1 B、 4 1 C、 4 1 D、1 （4）设变量 yx, 满足约束条件 + + ,03 ,01 ,
3、0 yx yx y 则 yxz += 2 的最大值为（ ） A、 2 B、4 C、6 D、8 （5）函数 x x xf 2 14 )( + = 的图象（ ） A、关于原点对称 B、关于直线 xy = 对称 题（ 6）图 1 12 7 3 y x O C、关于 x轴对称 D、关于 y 轴对称 （6）已知函数 ) 2 |,0)(sin( += xy 的部分图象如题（6）图所示，则（ ） A、 6 ,1 = B、 6 ,1 = C、 6 ,2 = D、 6 ,2 = （7）已知 822,0,0 =+ xyyxyx ，则 yx 2+ 的最小值是（ ） A、3 B、4 C、 2 9 D、 2 11 （8
4、）直线 2 3 3 += xy 与圆心为 D 的圆 )2,0( ,sin31 ,cos33 += += y x 交于 A、B 两 点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（ ） A、 6 7 B、 4 5 C、 3 4 D、 3 5 （9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天. 若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排 方案共有（ ） A、504种 B、960种 C、108种 D、108种 （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线
5、的平面内的轨迹是（ ） A、直线 B、椭圆 C 、抛物线 D、双曲线 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数 ,1 iz += 则 =z z 2 _. （12）设 0|,3,2,1,0 2 =+= mxxUxAU ，若 2,1=AC U ，则实数 =m _. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为 25 16 ，则该队员每次罚球的命中率为_. （14）已知以 F 为焦点的抛物线 xy 4 2 = 上的两点 BA、 满足 FBAF 3= ，则弦 AB 的中 点到准线的距离为_.
6、 （15）已知函数 )(xf 满足： ),)()()()(4, 4 1 )1( Ryxyxfyxfyfxff += ，则 =)2010(f _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16） （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分.） 设函数 Rx x xxf += , 2 cos2) 3 2 cos()( 2 . （）求 )(xf 的值域； （）记 ABC 的内角 CB、A 的对边长分别为 cba 、 ，若 3,1,1)( = cbBf ，求 a的值. （17） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小
7、问 8 分.） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在 一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1，2，6） ，求： （）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （）甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望. 题（ 19）图 C B A D E P （18） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分.） 已知函数 )1ln( 1 )( + + = x ax x xf ，其中实数 1a . （）若 2=a ，求曲线 )(xfy = 在点 )0(,0( f 处的切线方程； （）若 )(xf 在 1=x
8、处取得极值，试讨论 )(xf 的单调性. （19） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 如题（19）图，四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ， 6= ABPA ，点 E 是棱 PB的中点. （）求直线 AD与平面 PBC 的距离； （）若 3=AD ，求二面角 DECA 的平面角的余弦值. x M 题（ 20）图 2 l 1 l y G E N H O （20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 已知以原点 O为中心， )0,5(F 为右焦点的双曲线 C 的离心率 2 5 =e . （）求双曲
9、线 C 的标准方程及其渐近线方程； （）如题（20）图，已知过点 ),( 11 yxM 的直线 44: 111 =+ yyxxl 与过点 ),( 22 yxN （其中 12 xx ）的直线 44: 222 =+ yyxxl 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐近 线分别交于 HG、 两点，求 OGH 的面积. （21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.） 在数列 n a 中， )(12(,1 1 11 + + += Nnnccaaa n nn ，其中实数 0c . （）求 n a 的通项公式； （）若对一切 Nk 有 122 kk aa ，求 c的
10、取值范围. 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一选择题：每小题 5 分，满分 50 分. （1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）D （7）B （8）C （9）C （10）D 二填空题：每小题 5 分，满分 25 分. （11） i2 （12） 3 （13） 5 3 （14） 3 8 （15） 2 1 三解答题：满分 75 分. （16） （本题 13 分） 解：（） 1cos 3 2 sinsin 3 2 coscos)( += xxxxf 1cossin 2 3 cos 2 1 += xxx 1sin 2 3 cos
11、 2 1 += xx 1) 6 5 sin( += x ， 因此 )(xf 的值域为 2,0 . （）由 1)( =Bf 得 11) 6 5 sin( =+ B ，即 0) 6 5 sin( =+ B ，又因 B0 ， 故 6 =B . 解法一：由余弦定理 Baccab cos2 222 += ，得 023 2 =+ aa ，解得 1=a 或 2 . 解法二：由正弦定理 C c B b sinsin = ，得 3 , 2 3 sin = CC 或 3 2 . 当 3 =C 时， 2 =A ，从而 2 22 =+= cba ； 当 3 2 =C 时， 6 =A ，又 6 =B ，从而 1=ba
12、. 故a的值为 1 或 2. （17） （本题 13 分） 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. （）设 A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数” ，则 A表示“甲、乙的序号为偶 数” ，由等可能性事件的概率计算公式得 5 4 5 1 11)(1)( 2 6 2 3 = C C APAP . （） 的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 5 13 )2(, 15 44 )1(, 3 15 )0( 2 6 2 6 6 2 = C P C P C P ， 15 11 )4(, 15 22 )3( 2 6 2 6 = C P C P . 从而知 有分布列 0 1 2 3 4
13、 P 3 1 15 4 5 1 15 2 15 1 所以， 3 4 15 1 4 15 2 3 5 1 2 15 4 1 3 1 0 =+=E . （18） （本题 13 分） 解：（） 1 1 )( 1 1 1 )( )1( )( 22 / + + + + = + + + + = xax a xax xax xf . 当 1=a 时， 4 7 10 1 )20( 12 )0( 2 / = + + + + =f ，而 2 1 )0( =f ，因此曲线 )(xfy = 在点 )0(,0( f 处的切线方程为 )0( 4 7 ) 2 1 ( = xy 即 0247 = yx . （） 1a ，由（
14、）知 2 1 1 1 11 1 )1( 1 )( 2 / + + = + + + + = aa a xf ， 即 0 2 1 1 1 =+ +a ，解得 3=a . 此时 )1ln( 3 1 )( + = x x x xf ，其定义域为 ),3()3,1( + U ，且 G F 答（ 19）图 1 C B A D E P )1()3( )7)(1( 1 1 )3( 2 )( 22 / + = + + = xx xx xx xf ，由 0)( / =xf 得 7,1 21 = xx .当 11 x 时， 0)( / xf ；当 71 x 且 3x 时， 0)( / = ba b y a x ，则
15、由题意 2 5 ,5 = a c ec ， 因此 1,2 22 = acba ， C的标准方程为 1 4 2 2 = y x . C的渐近线方程为 xy 2 1 = ，即 02 = yx 和 02 =+ yx . （）解法一：如答（20）图，由题意点 ),( EE yxE 在直线 44: 111 =+ yyxxl 和 44: 222 =+ yyxxl 上，因此有 44 11 =+ EE yyxx ， 44 22 =+ EE yyxx ， 故点 M、N 均在直线 44 =+ yyxx EE 上，因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxx EE . 设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 02
16、 = yx 及 02 =+ yx 的交点， 由方程组 = =+ 02 ,44 yx yyxx EE 及 =+ =+ ,02 ,44 yx yyxx EE 解得 EE H EE G yx y yx y 2 2 , 2 2 = + = . 设MN与 x轴的交点为 Q，则在直线 44 =+ yyxx EE 中，令 0=y 得 E Q x x 4 = （易知 )0 E x . 注意到 44 22 = EE yx ，得 2 |4| |2 | 4 | 2 1 2 1 | | 4 | 2 1 22 = = + + = EE E EEEEEE HGOGH yx x xyxyxx yyOQS . 解法二：设 )
17、,( EE yxE ，由方程组 =+ =+ ,44 ,44 22 11 yyxx yyxx 解得 1221 21 1221 12 , )(4 yxyx xx y yxyx yy x EE = = ， 因 12 xx ，则直线 MN 的斜率 E E y x xx yy k 4 12 12 = = . 故直线 MN 的方程为 )( 4 11 xx y x yy E E = ， 注意到 44 11 =+ EE yyxx ，因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxx EE . 下同解法一. （21） （本题 12 分） （）解法一：由 ccccccaaa +=+=+= 2222 121 )12(3
18、3,1 ， 232333 23 )13(85 ccccccaa +=+=+= ， 342344 34 )14(157 ccccccaa +=+=+= ， 猜测 += Nnccna nn n ,)1( 12 . 下用数学归纳法证明. 当 1=n 时，等式成立； 假设当 kn = 时，等式成立，即 12 )1( += kk k ccka ，则当 1+= kn 时， )12()1()12( 1121 1 +=+= + + kccckckccaa kkkk kk kkkk cckcckk +=+= + 1212 1)1()2( ， 综上， 12 )1( += nn n ccna 对任何 Nn 都成立.
19、 解法二：由原式得 )12( 1 1 += + + n c a c a n n n n . 令 n n n c a b = ，则 )12(, 1 11 += + nbb c b nn ，因此对 2n 有 112211 )()()( bbbbbbbb nnnnn += L c nn 1 3)32()12( += L c n 1 1 2 += ， 因此 12 )1( += nn n ccna ， 2n . 又当 1=n 时上式成立. 因此 += Nnccna nn n ,)1( 12 . （）解法一：由 122 kk aa ，得 221221222 1)12(1)2( + kkkk cckcck
20、， 因 0 22 k c ，所以 01)144()14( 222 ckkck . 解此不等式得：对一切 Nk ，有 k cc 或 / k cc ，其中 )14(2 )14(4)144()144( 2 2222 + = k kkkkk c k ， )14(2 )14(4)144()144( 2 2222 / + = k kkkkk c k . 易知 1lim = k k c ， 又由 144)14(4)14()14(4)144( 2222222 +=+ kkkkkk ， 知 1 28 48 )14(2 14)144( 2 2 2 22 = + 对一切 Nk 成立得 1c . 又 0 )14(4)
21、144()144( 2 2222 / + = kkkkk c k ，易知 / k c 单调递增， 故 / 1 / cc k 对一切 Nk 成立，因此由 / k cc 对一切 Nk 成立得 6 131 / 1 + = kk aa ，得 221221222 1)12(1)2( + kkkk cckcck ， 因 0 22 k c ，所以 014)(4 222 + ccckkcc 对 Nk 恒成立. 记 14)(4)( 222 += cccxxccxf ，下分三种情况讨论. （）当 0 2 =cc 即 0=c 或 1=c 时，代入验证可知只有 1=c 满足要求. （）当 0 2 cc 时，抛物线 )(xfy = 开口向下，因此当正整数 k 充分大时， 0)( cc 即 0c 时，抛物线 )(xfy = 开口向上，其对称轴 )1(2 1 c x = 必在直线 1=x 的左边. 因此， )(xf 在 ),1 + 上是增函数. 所以要使 0)( kf 对 Nk 恒成立，只需 0)1( f 即可. 由 013)1( 2 += ccf 解得 6 131 c . 结合 0c 得 6 131+ c . 综合以上三种情况， c的取值范围为 ),1) 6 131 ,( + + U .
