1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 考生注意： 1.答卷前，考生务必在 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上 条形码 2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1.已知集合 1, 3,A m= ， 3, 4B = ， 1, 2, 3, 4AB= U 则 m= 。 2.不等式 2 0 4 x x + 的解集是 。 3.行列式 cos sin 66 sin cos 66
2、的值是 。 4.若复数 12zi= （ i为虚数单位） ，则 zz z += 。 5.将一个总体分为 A、 B 、 C 三 层，其个体数之比为 5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为 100 的样本，则应从 C 中抽取 个个体。 6.已知四棱椎 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形， 侧棱 PA底面 ABCD， 且 8PA= ， 则该四棱椎的体积是 。 7.圆 22 :2440Cx y x y+=的圆心到直线 3440 xy+ +=的距离 d = 。 8.动点 P 到点 (2,0)F 的距离与它到直线 20 x+ = 的距离相等，则点 P 的轨迹方程 为 。 9.函数 3 () log(
3、 3)fx x=+的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 。 10. 从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃” 的概率为 （ 结果用最简分数表示） 。 11. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园， 20:00 停止入园。 在右边的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a表示整点报道前 1 个 小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。 12.在 n行 m列矩阵 123 2 1 234 1 1 345 1 2 12 3 2 1 nn n nn n nnnn 中， 记位于第 i行第 j列的数为 (, 1,2 , ) i
4、j aij n=。当 9n= 时， 11 22 33 99 aaa a+ += 。 13.在平面直角坐标系中， 双曲线 的中心在原点， 它的一个焦点坐标为 (5,0)， 1 (2,1)e = r 、 2 (2, 1)e = r 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 上的点 P ，若 1 2 OP ae be=+ uuuruur uuur （ a、 bR ） ，则 a、 b满足的一个等式是 。 14.将直线 1 :10lxy+=、 2 :0lnxyn+ =、 3 :0lxnyn+ =（ * nN ， 2n ）围成 的三角形面积记为 n S ，则 lim n n S = 。 二选择题（本大题满分
5、 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。 15.满足线性约束条件 23, 23, 0, 0 xy xy x y + + 的目标函数 zxy= + 的最大值是 答 （ ） （ A） 1. （ B） 3 2 . （ C） 2. （ D） 3. 16.“ ()2 4 x kkZ =+”是“ tan 1x= ”成立的 答 （ ） （ A）充分不必要条件 . （ B）必要不充分条件 . （ C）充要条件 . （ D）既不充分也不必要条件 . 17.若 0 x 是方程式 lg 2xx+=的解，则 0
6、x 属于区间 答 （ ） （ A） （ 0， 1） （ B） （ 1， 1.25） （ C） （ 1.25， 1.75） （ D） （ 1.75， 2） 18.若 ABC 的三个内角满足 sin:sin:sin 5:11:13ABC= ，则 ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12 分） 已知 0 2 x 成立的最小正整数 n. 22.（本题满分 16 分）本题共有 3
7、 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分8分。 若实数 x、 y 、 m满足 x mym， (0, )A b 、 (0, )B b 和 (,0)Qa 为 的三个顶 点. （1）若点 M 满足 1 () 2 AMAQAB=+ uuuur uuur uuur ，求点 M 的坐标； （2）设直线 11 :lykxp= + 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 22 :lykx= 于点 E .若 2 12 2 b kk a =，证明： E为 CD的中点； （3）设点 P在椭圆 内且不在 x轴上，如何构作过 PQ中点 F 的直线 l，使得 l与椭圆 的 两个交点 1
8、 P、 2 P 满足 12 PP PP PQ= uuur uuur uuur ？令 10a = ， 5b= ，点 P的坐标是（-8，-1） ，若 椭圆 上的点 1 P、 2 P 满足 12 PP PP PQ= uuur uuur uuur ，求点 1 P、 2 P 的坐标. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科）参考答案 一、填空题 1、 2；2；（ -4， 2）；3、 0.5；4、 6-2i; 5、 20；6、 96；7、 3；8、y 2 =8x;9、(0,-2);10、 3 51 11、 ssa=+； 12、 45； 13、 1 4 ab= ； 14、 1 2 二
9、、选择题 15、 C； 16、 A 17、 C；18、 C； 三、解答题 19、 2 2 log(cos tan 1 2sin ) log 2 cos( ) log(1 sin 2 ) 4 log(sin cos ) log(cos sin ) log(1 sin 2 ) log(sin cos ) log(1 sin 2 ) log1 0 x xx x x xx xx x xx x + + + =+ =+= 20、 (1)圆柱体的高为 1.2 2r ，故 22 2(1.22) (3 2.4)Sr r r r r =+ =+ 当 0.4r = 时， 2 max 1.5080 1.51( )Sm
10、= ； （ 2）略； 21、解： (1)由 * 585, nn Sna nN= （ 1） 可得： 11 1 15 85aS a= ，即 1 14a = 。 同时 11 (1)5 85 nn Sn a + =+ （ 2） 从而由 (2) (1) 可得： 11 15( ) nnn aaa + = 即： * 1 5 1(1), 6 nn aanN + = ，从而 1 n a 为等比数列，首项 1 115a = a，公比为 5 6 ， 通项公式为 1 5 115*() 6 n n a = ，从而 1 5 15*( ) 1 6 n n a =+ （ 2） 1nn SS + 即 1 0 n a + ， 5
11、 15*( ) 1 0 6 n +， 51 () 615 n ，从而 min 15n = 。 22、 （ 1）解：由题意可得 2 (1)030 x 即 2 13x ，解得 22x （ 2）证一： 22 2 222 ()2 ( )( )()2a b ab ab ab a b b a a b b a a b ab ab ab+ = = =+ 而 33 33 33 2 2 33 22 22 ()2 ( )( )()2a b ab ab a b a b a b ab ab+ = = =+ 从而 22 33 22 33 332 2 2 ()2 ()2 ( ) 2 ( ) 2 () ()()0 a b a
12、b ab ab a b ab ab a b ab ab ab a b ab ab ababab ab ab + + =+ + = + = + 即 22 33 ()2 ()2a b ab ab ab a b ab ab+ + 命题得证。 证法二：等价于证明 22 33 ()2 ()2a b ab ab ab a b ab ab+ +=所以 同理 ，于是待证不 等式直接去掉绝对值符号即可，变形为 22 33 ()2()2a b ab ab ab a b ab ab+ + ，因为 ab ，且都是整数，所以 该式显然成立。 （ 3）根据定义知道 sinx0，那么 sinx0 时， f(x)=1-sin
13、x， sinx0 时， f(x)=1-sinx； x (-+2k, 2k)(k Z)时， sinx0 时， f(x)=1+sinx， 1sin , (2 ,(2 1) ) 1sin , (2 1) ,(2 2) ) () 1 sin , xx k k xx k k f xk + + + = ()f x 为偶函数，最小正周期为 ，最小值为 0，在 1 (,( ), 2 kk kZ+ 上单调递减，在 1 ( ) ,( 1) ), 2 kkkZ+上单调递增。 23、 （ 1）解： 3 ( , ), (0, 2 ), ( , ) 22 a AQabAB b AM b= = = 。 （ 2）证：设 11
14、 2 2 (, ),(, )Cx y Dx y ，则由 22 11 22 22 22 1 1 xy ab xy ab + = + = 可得 1212 121 2 22 ()()()( ) 0 xxxx yyyy ab + + +=， 又 12 1 12 y y k x x = ， 故可得 2 12 2 1 12 1yy b x xak + = + 而由题意知 2 2 2 1 1b k ak = ，所以 12 2 12 yy k xx + = + ，即 12 2 12 2 2 yy k xx + = + 即线段 CD的中点 1212 (, ) 22 x xyy+ 在直线 2 y kx= 上，也即
15、直线 1 l 与 2 l 的交点 E为线段 CD的中点。 （ 3）椭圆方程为 22 1, (10, 0) 100 25 xy Q+= ，从而线段 PQ的中点为 (1, 0.5)Q ， 若 12 PP PP PQ+=，则 12 PPQP 为平行四边形，从而线段 PQ与线段 12 PP 互相平分，故直线 l的斜率存在，可设为 k ，直线 l为 (1)0.5ykx= 。 设 111 2 2 2 (, ), (, )Pxy Px y ，则由 22 11 22 1 100 25 1 100 25 xy xy + = + = 可得 1212 121 2 ()()()( ) 0 100 25 xxxx yyyy+ + += 可得 12 12 12 12 12 1 2 11 111 2 44 40.52 2 xx yy xx k yy xx yy + + = = = + 所以直线 l方程为 1 1 2 yx= 。
