1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考公式： 样本数据 12 , L n x xx的标准差 锥体体积公式 22 2 12 1 ()() () n sxxxx xx n =+ L = 1 3 V sh 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 VSh= 23 3 4, 4 SRV R = 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （ 1）已知集合 2, , | 4, |Axx xRBxx xZ= ，则 A
2、B=I （ A） （ 0， 2） （ B） 0， 2 （ C） |0， 2| （ D） |0， 1， 2| （ 2） a， b 为平面向量，已知 a=（ 4， 3） ， 2a+b=（ 3， 18） ，则 a， b 夹角的余弦值等于 （ A） 8 65 （ B） 8 65 （ C） 16 65 （ D） 16 65 （ 3）已知复数 2 3 (1 3 ) i z i + = ，则 i = (A) 1 4 （ B） 1 2 （ C） 1 （ D） 2 （ 4）曲线 2 y21x x=+在点（ 1,0）处的切线方程为 （ A） 1yx= （ B） 1yx=+ （ C） 22yx= （ D） 22yx
3、=+ （ 5）中心在远点，焦点在 x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 6 2 （ D） 5 2 （ 6）如图，质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置 为 0 p （ 2 ， 2 ） ，角速度为 1，那么点 p 到 x轴距离 d 关 于时间 t的函数图像大致为 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、 a、 a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ A） 3 a 2 （ B） 6 a 2 （ C） 12 a 2 （ D） 24 a 2 （ 8）如果执 行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于 （ A） 5
4、 4 （ B） 4 5 （ C） 6 5 （ D） 5 6 (9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 x -4 (x0） ，则 () 20 xf x = （A） 24xx x或 （B） 0 4 xx x或 （C） 0 6 xx x或 （D） 2 2 xx x或 （ 10）若 sin a = - 4 5 ， a 是第一象限的角，则 sin( ) 4 a + = （ A） - 72 10 （ B） 72 10 （ C） 2 - 10 （ D） 2 10 （ 11）已知 null ABCD 的三个顶点为 A（ -1， 2） ， B（ 3， 4） ， C（ 4， -2） ，点（ x， y）在 nul
5、l ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是 （ A） （ -14， 16） （ B） （ -14， 20） （ C） （ -12， 18） （ D） （ -12， 20） （ 12）已知函数 f(x)= lg 1 ,0 10 1 6, 0 2 x x xx 若 a， b， c 均不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，则 abc 的取值范围是 （ A） （ 1， 10） （ B） (5， 6) （ C） (10， 12) （ D） (20， 24) 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答。第（ 22）题 第（ 24
6、）题为选考题，考生根据要求做答。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）圆心在原点上与直线 20 xy+=相切的圆的方程为 -。 （ 14） 设函数 ()y fx= 为区间 ( 0,1 上的图像是连续不断的一条曲线， 且恒有 ()01fx， 可以用随机模拟方法计算由曲线 ()yfx= 及直线 0 x = ， 1x = ， 0y = 所围成部分的面积， 先产生两组 i每组 N 个，区间 ( 0,1 上的均匀随机数 1, 2. n x xx和 1, 2. n y yy，由此得到 V 个点 ()( ), 1, 2.x yi N 。再数出其中满足 1 ( )( 1,2. )y fx
7、i N = 的点数 1 N ，那么由随机模拟 方法可得 S 的近似值为 _ (15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 _(填入 所有可能的几何体前的编号 ) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 (16)在 ABCnull 中， D 为 BC 边上一点， 3BCBD= , 2AD = , 135ADB =.若 2ACAB= ,则 BD=_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 设等差数列 n a 满足 3 5a = ， 10 9a = 。 （）求 n a 的通项公式； （）求 n a 的前 n项和 n
8、S 及使得 n S 最大的序号 n的值。 （ 18） （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD, ACBD ,垂足为 H ， PH 是四棱锥的高。 n a （）证明：平面 PAC 平面 PBD ; （）若 6AB = , APB ADB = =60,求四棱锥 P ABCD 的体积。 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 19） （本小题满分 12 分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区
9、调查了 500 位老人，结果如下： 男 女 您是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 （）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例； （）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由。 附： P(K k) k 0.050 3.841 0.010 6.625 0.001 10.828 K 2 = n (ad-bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) （ 20） （本小题满分 12 分） 设 1 F , 2 F 分别是椭圆
10、 E： 2 x + 2 2 y b =1（0b1）的左、右焦点，过 1 F 的直线 l 与 E 相交 于 A、 B 两点，且 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列。 （）求 AB （）若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值。 （ 21）本小题满分 12 分） 设函数 () () 2 1 x x f xe ax= （）若 a= 1 2 ，求 ()x f 的单调区间； （）若当 x0 时 ()x f 0，求 a 的取值范围 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧 null null AC BD= ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E
11、点，证明： （） ACE = BCD 。 （） 2 BC =BE x CD。 （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线 1 C ： t 为参数。图 2 C ： 为参数 （）当 a= 3 时，求 1 C 与 2 C 的交点坐标： （）过坐标原点 O 做 1 C 的垂线，垂足为 A、P 为 OA 的中点，当 a 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24） （本小题满分 10分）选修 45：不等式选讲 设函数 ()x = 24x + 1。 （）画出函数 y= ()x 的图像： （）若不等式 ()x ax 的解集非空，求 n的取值范围 X=1+
12、tcosa y=tsina X= cos y= sin 2010 年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案 一：选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。 （ 1） D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共 4 小题，每小题五分，共 20 分。 （ 13） x 2 +y 2 =2 (14) 1 N N (15) (16)2+ 5 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）解： （ 1
13、）由 a m = a 1 +（ n-1） d 及 a 1 =5， a w =-9 得 1 1 25 99 ad ad += += 解得 1 9 2 a d = = 数列 a m 的通项公式为 a n =11-2n。 .6分 (2)由 (1) 知 S m =na 1 + (1) 2 nn d=10n-n 2。 因为 S m =-(n-5) 2 +25. 所以 n=5 时， S m 取得最大值。 12分 (18)解： (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 ACPH,又 ACBD,PH,BD 都在平 PHD 内 ,且 PHIBD=H. 所以 AC平面 PBD. 故平面 PAC 平面
14、 PBD. .6分 (2)因为 ABCD 为等腰梯形， ABnullCD,ACBD,AB= 6 . 所以 HA=HB= 3 . 因为 APB=ADR=60 0 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S= 1 2 AC x BD = 2+ 3 . .9分 所以四棱锥的体积为 V= 1 3 x（ 2+ 3） x 3 = 323 3 + .12 分 （ 19）解： （ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 ,因此该地区老年人中需要帮 助的老年人的比例的估计值为 70 14% 500 = . 4 分 (2) 2 2 50
15、0 (40 270 30 160) 9.967 200 300 70 430 k = 由于 9.967 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有 关 . 8 分 （ 3）由于（ 2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 ,因此在调查时 ,先确定 该地区老年人中男 ,女的比例，再把老年人分成男 ,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反 随即抽样方法更好 . 12 分 （ 20）解： （ 1）由椭圆定义知 22 F+ F| | |+| |=4 又 2AB=AF F AB 22 4 |
16、+|,|= 3 得 （ 2） L 的方程式为 y=x+c,其中 2 1cb= 设 11 11 (),B()Ax x，y ，y ,则 A， B 两点坐标满足方程组 2 2 2 y=x+c x1 y b += 化简得 22 2 (1 ) 2 1 2 0.bx cx b+= 则 2 12 1222 21 ,. 11 cb xx xx bb += = + 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 21 xx|= 2| | 即 21 4 2 3 x x=| . 则 224 2 12 12 22 2 2 8 4(1 ) 4(1 2 ) 8 ()4 9(11 bbb xx xx =+ = = + 解得 2 2 b
17、 = . （ 21）解： （） 1 2 a = 时， 2 1 () ( 1) 2 x f xxe x=， ( ) 1 ( 1)( 1) xx x fx e xe x e x= + = + 。当 (),1x 时 ( )fx0;当 ()1, 0 x 时， ( ) 0fx 。故 ()f x 在 (),1 ， ( )0,+ 单调增加，在（ -1， 0）单调减少。 （） () ( 1 ) a f xxx ax=。令 () 1 a gx x ax= ，则 ( ) x gx e a= 。若 1a ，则当 ()0,x+时， ( )gx0， ()gx为减函数， 而 (0) 0g = ， 从而当 x 0 时 ()
18、gx 0， 即 ()f x 0. 若 a 1， 则当 ()0,lnx a 时， ( )gx0， ()gx为减函数， 而 (0) 0g = ， 从而当 ()0,lnx a 时 ()gx0，即 ()f x 0. 综合得 a的取值范围为 ( ,1 （ 22）解 : （）因为 null null AC BD= , 所以 BCD ABC=. 又因为 EC 与圆相切于点 C ，故 ACE ABC= 所以 ACE BCD=. 5 分 （）因为 ECB CDB=, EBC BCD=, 所以 BDC ECBnullnullnull,故 BCCD BEBC = . 即 2 BCBECD=. 10 分 （ 23）解
19、： （ I）当 3 = 时， C 1 的普通方程为 3( 1)yx= ， C 2 的普通方程为 22 1xy+=. 联立方程组 22 3( 1), 1, yx xx y = =+= 解得 C 1 与 C 2 的交点为（ 1,0） ， 13 (, ) 22 （ II） C 1 的普通方程为 sin cos sin 0 xy = . A 点坐标为 2 (sin , cos sin )aaa ，故当 a变化时， P 点轨迹的参数方程为 2 1 sin 2 1 sin cos 2 xa yaa = = （ a为参数） P 点轨迹的普通方程为 22 11 () 416 xy+= 故 P 点是圆心为 1 (,0) 4 ，半径为 1 4 的圆 （24）解： （）由于 ()x f = 25, 23,2. xx xx + 2. 则函数 ()x yf= 的图像如图所示。 5 分 （）由函数 ()x yf= 与函数 y ax= 的图像可知，当且仅当 2a 时，函数 ()x yf= 与函数 y ax= 的图像有交点。故不等式 ()x f ax 的解集非空时， a 的取值范围为 () 1 ,2 , 2 + 。 10 分
