1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式 2 0 4 x x + 的解集是 （-4,2） 。 解析：考查分式不等式的解法 2 0 4 x x + 等价于（ x-2） (x+4)0,所以 -4x2 2.若复数 12zi= （ i为虚数单位） ，则 zz z += 6-2i 。 解析：考查复数基本运算 zz z+= iiii 2621)21)(21( =+ 3. 动点 P 到点 (2,0)F 的距离与它到直线 20 x+
2、= 的距离相等，则 P 的轨迹方程为 2 8y x= 。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知 P的轨迹是以 (2,0)F 为焦点的抛物线， p=2 所以其方程为 y 2 =8x 4.行列式 cos sin 36 sin cos 36 的值是 0 。 解析：考查行列式运算法则 cos sin 36 sin cos 36 = 0 2 cos 6 sin 3 sin 6 cos 3 cos = 5. 圆 22 :2440Cx y x y+=的圆心到直线 l: 3440 xy+ += 的距离 d = 3 。 解析：考查点到直线距离公式 圆心（ 1,2）到直线 3440 xy+=距离为 3 5 42
3、413 = + 6. 随机变量 的概率分布率由下图给出： 则随机变量 的均值是 8.2 解析：考查期望定义式 E =70.3+80.35+90.2+100.15=8.2 7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中， S 表示上海 世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则 空白的执行框内应填入 S S+a 。 8.对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= log ( 3) a x+ 的反函数的图像都经过点 P，则点 P 的 坐标是 （0，-2） 解析：f(x)= log ( 3) a x+ 的图像过定
4、点（-2,0） ，所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1张，事件 A 为“抽得红桃 K” ，事件 B 为“抽 得为黑桃” ，则概率 P（A B）= 7 26 （结果用最简分数表示） 解析：考查互斥事件概率公式 P（A B）= 26 7 52 13 52 1 =+ 10在 n行 n列矩阵 123 2 1 234 1 1 345 1 2 12 3 2 1 nn n nn n nnnn 中， 记位于第 i 行第 j 列的数为 (, 1,2 , ) ij aij n= 。当 9n= 时， 11 22 33 99 aaa a+ + + = 45 。 解析：
5、 11 22 33 99 aaa a+ + + =1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线 2 :0lnxyn+=、 3 :0lxnyn+ =（ * nN ， 2n ）x 轴、y 轴围成的封闭 图形的面积记为 n S ，则 lim n n S = 1 。 解析： B ) 1 , 1 ( + n n n n 所以 BOAC， n S = 1 2 1 2 2 1 + = + n n n n 所以 lim n n S = 1 2 12如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O,剪去 AOBnull ,将剩余 部分沿 OC、OD 折叠，使OA、OB
6、重合，则以 A、 （B） 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 82 3 解析：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 22 的正三棱锥， 高为 3 62 所以该四面体的体积为 3 28 3 62 2 3 16 2 1 3 1 = 13。如图所示，直线 x=2 与双曲线 2 2 :1 4 y =的渐近线交于 1 E , 2 E 两点，记 11 2 2 ,OE e OE e= uuuur uuuuruv uuv ，任取双曲线 上的点P，若 12 ,( )OP ae be a b R= + uuur uuuvuuv 、 ，则 a、b 满足 的一个等式是 4ab=1 解析： )1,2(),1,2(
7、 21 EE 1 2 OP ae be=+ uuuruur uuur = ),22( baba + ，点 P 在双曲线上 1)( 4 )22( 2 2 = + ba ba ，化简得 4ab=1 14.以集合 U= abcd， 的子集中选出 2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b 都要选出； （2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 ABBA或 ，那么共有 36 种不同的选 法。 解析：列举法 共有 36 种 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。 15
8、“ ()2 4 x kkZ =+”是“ tan 1x = ”成立的 答（ A ） （A）充分不必要条件. （ B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析： 1 4 tan) 4 2tan( =+ k ，所以充分； 但反之不成立，如 1 4 5 tan = ，所以不必要 16.直线l 的参数方程是 x=1+2t () y=2-t tR ，则l 的方向向量是 d 可以是 【答】 （C） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析：直线 l 的一般方程是 052 =+ yx ， 2 1 =k ，所以 C 正确 17.若 0 x 是
9、方程 1 3 1 () 2 x x= 的解，则 0 x 属于区间 【答】 （C） (A)( 2 3 ,1) (B)( 1 2 , 2 3 ) (C)( 1 3 , 1 2 ) (D)(0, 1 3 ) 解析：结合图形 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 , 3 1 2 1 Q ， 0 x 属于区间( 1 3 , 1 2 ) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 111 , 13 11 5 ，则此人能 【答】 （D） （A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为 a,b,c，利用面积相
10、等可知 5:11:13:, 5 1 11 1 13 1 = cbacba 由余弦定理得 0 1152 13115 cos 222 + =A ，所以角 A 为钝角 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12 分） 已知 0 2 x ，化简： 2 lg(cos tan 1 2sin ) lg 2 cos( ) lg(1 sin 2 ) 24 x x xxx + + + . =0 20. (本题满分 13 分)本题共有2 个 小题，第一个小题满分5 分，第2 个小题满分8分。 已知数列 n a 的前 n项和
11、为 n S ，且 585 nn Sna= ， * nN （1）证明： 1 n a 是等比数列； （2）求数列 n S 的通项公式，并求出 n为何值时， n S 取得最小值，并说明理由。 （2） n S = 1 5 75( ) 90 6 n n + n=15 取得最小值 解析： (1) 当 n=1 时， a 1 =14；当 n2 时， a n =S n S n1 =5a n +5a n1 +1，所以 1 5 1( 1) 6 nn aa = ， 又 a 1 1=150，所以数列 a n 1是等比数列； (2) 由 (1)知： 1 5 115 6 n n a = ，得 1 5 115 6 n n a
12、 = ，从而 1 5 75 90 6 n n Sn = + (nN*)； 解不等式 S n S n+1 ，得 1 52 65 n +，当 n15 时，数列 S n 单调递增； 同理可得，当 n15 时，数列 S n 单调递减；故当 n=15 时， S n 取得最小值 21、 （本大题满分13分）本题共有2个小题，第1 小题满分5分，第2 小题满分8 分. 如图所示， 为了制作一个圆柱形灯笼， 先要制作 4个全等的矩形骨架， 总计耗用 9.6 米铁丝， 骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？
13、并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼 的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线 13 AB与 35 AB所在异面直线 所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析： (1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l=1.22r(0r ， 22 2a b ab ab ab+ ， 因为 33 2 2 2 |2| |()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b+ + =+ ， 所以 33 2 2 |2| |a b ab ab a b ab ab ab+ + ，即 a 3 +b 3 比 a 2 b+ab 2
14、 远离 2ab ab ； (3) 3 sin , ( , ) 44 () cos , ( , ) 44 xxk k fx xxk k + + = + ， 性质： 1f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称， 2f(x)是周期函数，最小正周期 2 T = ， 3函数 f(x)在区间 (, 242 kk 单调递增，在区间 , ) 22 4 kk + 单调递减， kZ， 4函数 f(x)的值域为 2 (,1 2 23（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6 分，第3 小 题满分9 分. 已知椭圆 的方程为 22 22 1( 0) xy ab ab +=，点 P 的坐标
15、为（-a，b）. （1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足 1 PM = ( PA + PB) 2 ,求点 M 的坐标； （2）设直线 11 :lykxp= + 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 22 :lykx= 于点 E .若 2 12 2 b kk a =，证明： E 为 CD的中点； （3）对于椭圆 上的点Q（a cos，b sin） （0） ，如果椭圆 上存在不同的两 个交点 1 P 、 2 P 满足 12 PP + PP = PQ ,写出求作点 1 P 、 2 P 的步骤，并求出使 1 P 、 2 P 存在的 的取值范围. 解析： (1) (, ) 22
16、 ab M ； (2) 由方程组 1 22 22 1 ykxp xy ab =+ += ，消 y 得方程 22 2 2 2 2 2 2 11 () ()0ak b x akpx a p b+ +=， 因为直线 11 :lykxp= + 交椭圆 于 C、 D两点， 所以 0，即 22 2 2 1 0ak b p+， 设 C(x 1 ,y 1 )、 D(x 2 ,y 2 )， CD 中点坐标为 (x 0 ,y 0 )， 则 2 12 1 0 22 2 1 2 010 22 2 1 2 x xakp x ak b bp ykxp ak b + = + =+= + ， 由方程组 1 2 ykxp yk
17、x =+ = ，消 y 得方程 (k 2 k 1 )x=p， 又因为 2 2 2 1 b k ak = ，所以 2 1 022 2 21 1 2 2022 2 1 akpp x x kk akb bp ykx y ak b = = + = = + ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 求作点 P 1 、 P 2 的步骤： 1求出 PQ 的中点 (1 cos ) (1 sin ) (, 22 ab E + ， 2求出直线 OE 的斜率 2 (1 sin ) (1 cos ) b k a + = ， 3由 12 PPPPPQ+= uuur uuur uuur 知 E为 CD的中点， 根据 (2)
18、可得 CD的斜率 2 1 2 2 (1 cos ) (1 sin ) bb k ak a = = + ， 4从而得直线 CD 的方程： (1 sin ) (1 cos ) (1 cos ) () 2(1sin) 2 bb a yx a + = + + ， 5将直线 CD 与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点 P 1 、 P 2 的坐标 欲使 P 1 、 P 2 存在，必须点 E 在椭圆内， 所以 22 (1 cos ) (1 sin ) 1 44 + + ，化简得 1 sin cos 2 ， 2 sin( ) 44 ， 又 0 ，即 3 444 ，所以 2 arcsin 44 4 ， 故 的取值范围是 2 (0, arcsin ) 44 +
