1、绝密 使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理） （北京卷） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考 试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试 卷和答题卡。 第卷 （选择题 共140分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （ 1） 集合 2 03, 9PxZ x MxZx= = ，则 PMI = (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)x|0 x ，可得 3 5 p = ， 2 5 q = . （ II
2、I）由题意知 123 123 123 (1) ( )( )( )a P PAAA PAAA PAAA= + + = 41 (1 )(1 ) (1 ) (1 ) 555 p qpq pq+ + 37 125 = (2)1(0)(1)(3)bP P P P = = 58 125 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)EP P P P = = + =+ = + = = 9 5 （ 18） （共 13 分） 解： （ I）当 2k = 时， 2 () ln(1 )f xxxx=+， 1 ( ) 1 2 1 f xx x = + + 由于 (1) ln 2f = ， 3 (1) 2 f
3、= ， 所以曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 3 ln 2 ( 1) 2 yx= 即 322ln230 xy+ = （ II） (1) ( ) 1 xkx k fx x + = + ， (1, )x +. 当 0k = 时， ( ) 1 x fx x = + . 所以，在区间 (1,0) 上， ( ) 0fx ；在区间 (0, )+ 上， ( ) 0fx . 故 ()f x 得单调递增区间是 (1,0) ，单调递减区间是 (0, )+ . 当 01k 所以，在区间 (1,0) 和 1 (,) k k + 上， ( ) 0fx ；在区间 1 (0, ) k k 上， (
4、 ) 0fx 时， (1) ( ) 0 1 xkx k fx x + = + ，得 1 1 (1,0) k x k =， 2 0 x = . 所以没在区间 1 (1, ) k k 和 (0, )+ 上， ( ) 0fx ；在区间 1 (,0) k k 上， ( ) 0fx 故 ()f x 得单调递增区间是 1 (1, ) k k 和 (0, )+ ，单调递减区间是 1 (,0) k k （ 19） （共 14 分） （ I）解：因为点 B 与 A(1,1) 关于原点 O对称，所以点 B得坐标为 (1, 1) . 设点 P的坐标为 (, )x y 由题意得 111 113 yy xx + = +
5、 null 化简得 22 34(1)xy x+=. 故动点 P的轨迹方程为 22 34(1)xy x+ = （ II）解法一：设点 P的坐标为 00 (, )x y ，点 M ， N 得坐标分别为 (3, ) M y ,(3, ) N y . 则直线 AP 的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x = + + ， 直线 BP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x + += 令 3x= 得 00 0 43 1 M yx y x + = + ， 00 0 23 1 N yx y x + = . 于是 PMNnull 得面积 2 00 0 0 2 0 |(3)1 |(3) 2|1|
6、 PMN M N x yx Syyx x + = null 又直线 AB的方程为 0 xy+=， |22AB = ， 点 P到直线 AB 的距离 00 | 2 x y d + = . 于是 PABnull 的面积 00 1 | | 2 PAB SABdxy=+ null null 当 PAB PMN SS= nullnull 时，得 2 00 0 00 2 0 |(3) | |1| x yx xy x + += 又 00 |0 xy+， 所以 2 0 (3 )x = 2 0 |1|x ，解得 0 5 | 3 x = 。 因为 22 00 34xy+=，所以 0 33 9 y = 故存在点 P使
7、得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，此时点 P的坐标为 533 (, ) 39 . 解法二：若存在点 P使得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，设点 P的坐标为 00 (, )x y 则 11 |sin | | |sin 22 PA PB APB PM PN MPN= nullnull. 因为 sin sinAPB MPN= , 所以 | | | PA PN PM PB = 所以 00 0 |1|3| |3 | | 1| x x xx + = 即 22 00 (3 ) | 1|xx=，解得 0 x 5 3 = 因为 22 00 34xy+=，所以 0 33 9 y
8、 = 故存在点 P S 使得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，此时点 P 的坐标为 533 (, ) 39 . （ 20） （共 13 分） 证明： （ I）设 12 ( , ,., ) n Aaa a= ， 12 ( , ,., ) n B bb b= ， 12 ( , ,., ) n Ccc c= n S 因为 i a ， 0,1 i b ，所以 0,1 ii ab ,( 1,2,., )in= 从而 11 2 2 (| |,| |,.,| |) nn n AB a b a b a b S= 又 1 (,)| | | n ii ii i dA CB C a c b c =
9、= 由题意知 i a ， i b ， i c 0,1 ( 1,2,., )in= . 当 0 i c = 时， | | | | | | ii ii ii ac b c a b =; 当 1 i c = 时， | | | | | (1 ) (1 ) | | | ii i i i i i i ac b c a b a b = 所以 1 (,)| |(,) n ii i dA CB C a b dAB = = = (II)设 12 ( , ,., ) n Aaa a= ， 12 ( , ,., ) n B bb b= ， 12 ( , ,., ) n Ccc c= n S (,)dAB k= ， (
10、,)dAC l= ， (,)dBC h= . 记 (0,0,.,0) n OS=，由（ I）可知 (,) ( , ) (, )dAB dA AB A dOB A k= = (,) ( , ) (, )dAC dAACA dOCA l= = = (,) ( , )dBC dB AC A h= 所以 | | ( 1,2,., ) ii bai n = 中 1 的个数为 k ， | | ( 1,2,., ) ii cai n = 的 1 的 个数为 l。 设 t是使 |1 ii ii ba ca=成立的 i的个数，则 2hlk t= + 由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数， 即 (,)dAB, (,)dAC, (,)dBC三个数中至少有一个是偶数。 （ III） 2 , 1 () (,) AB P m dP dAB C = ,其中 , (,) AB P dAB 表示 P中所有两个元素间距离的总和， 设 P种所有元素的第 i个位置的数字中共有 i t 个 1， i mt 个 0 则 , (,) AB P dAB = 1 () n ii i tmt = 由于 i t () i mt 2 ( 1,2,., ) 4 m in= 所以 , (,) AB P dAB 2 4 nm 从而 2 22 , 1 () (,) 42(1) AB P mm nm mn dP dAB CCm =
