1、 A B D C 图 2 2010 年广西南宁市中等学校招生考试数学试题 数 学 本试卷分第卷和第卷，满分 120 分，考试时间 120 分钟 . 注意：答案一律填写在答题 卷上，在试题卷上作答无效 .考试结束，将 本试卷和答题卷一并交回 . 第卷（选择题，共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出代号为（ A） 、 （ B） 、 （ C） 、 （ D） 四个结论，其中只有一个是正确的 .请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑 . 1.下列所给的数中，是无理数的是： （） 2 （） 2 （） 1 2 （） 0.1 2.下图所示的几何
2、体中，主视图与左视图不相同的几何体是： 3.下列计算结果正确的是： （） 257+= （） 32 2 3 = （） 2510= （） 2 510 5 = 4.图 1 中，每个小正方形的边长为 1， ABC null 的三边 a， b， c 的大小关系是： （） acb （） abc （） cab （） cba 5.有“华南第一湖”美称的青狮潭，风光秀丽，气候宜人， 2010 年 6 月第一周每天的最高气温（单 位： ）分别是： 23， 24， 23， 24， x， 25， 25，这周的平均最高气温为 24 ，则这组数据的众数 是： （） 23 （） 24 （） 24.5 （） 25 6.不等式
3、组 24, 24 1 x x x x + +的图象分别交于点 1 B 、 2 B 、 3 B ， 分别过点 1 B， 2 B， 3 B 作 x轴的平行线，分别与 y 轴交于点 1 C， 2 C， 3 C ， 连接 1 OB， 2 OB， 3 OB ，那么图中阴影部分的面积之和为 _. 18.古希腊数学家把数 1， 3， 6， 10， 15， 21叫做三角形数，它有 一定的规律性 .若把第一个三角形数记为 1 a ，第二个三角形数记为 2 a ，第 n 个三角形数记为 n a ，计算 213243 aaaaaa，由此推算， 100 99 aa =_， 100 a =_. 考生注意：第三至第八大题
4、为解答题，要求在答题卷上写出解答过程 .如果运算含有根号，请保留 根号 . 三、 （本大题共 2 小题，每小题满分 6 分，共 12 分） 19计算： ()( ) () 01 1 2010 3tan60 + +2 . 20.先化简，再求值： ()() ( ) 322 48 4abab ab ab ab+ ，其中 a=2， 1b= . 四、 （本大题共 2 小题，每小题满分 8 分，共 16 分） 21.某厂房屋顶呈人字架形 （等腰三角形） ， 如图 8所示， 已知 8AC BC= = m， 30A= ， CD AB ， 于点 D （ 1）求 ACB 的大小 . （2）求 AB的长度. 22.2
5、010 年世界杯足球赛在南非举行 .赛前某足球俱乐部组织了一次竞猜活动，就哪一支球队将在本 届世界杯足球赛中夺冠进行竞猜，并绘制了两幅不完整的统计图（如图 9和 9所示） .请你根 据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）求出参加这次竞猜的总人数； （ 2）请你在图 9中补全频数分布直方图，在图 9中分别把“阿根廷队”和“巴西队”所对应 A C D 图 8 B 的扇形图表示出来 . 五、 （本大题满分 8 分） 23如图 10，已知 ABC ADERt Rt ， 90ABC ADE = = ， BC与 DE 相交于点 F ， 连接 CD， EB （ 1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举
6、. （ 2）求证： .CF EF= 六、 （本大题满分 10 分） 24 2010 年 1 月 1 日，全球第三大自贸区中国东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易 区开始步入“零关税”时代 .广西某民营边贸公司要把 240 吨白砂糖运往东盟某国的 A、 B两地， 现用大、小两种货车共 20 辆，恰好能一次性装完这批白砂糖 .已知这两种货车的载重量分别为 15 吨 /辆和 10 吨 /辆，运往 A地的运费为：大车 630 元 /辆，小车 420 元 /辆；运往 B地的运费为：大 车 750 元 /辆，小车 550 元 /辆 . （ 1）求这两种货车各用多少辆； （ 2）如果安排 10 辆货车前往
7、A地，某余货车前往 B地，且运往 A地的白砂糖不少于 115 吨 .请你 设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费 . 七、 （本大题满分 10 分） 25如图 11， AB为 O的直径， AD与 O相切于点 A DE， 与 O相切于点 E，点 C为 DE 延长线上一点，且 .CE CB= （ 1）求证： BC为 O的切线； （ 2）连接 AE， AE的延长线与 BC的延长线交于点（如图 11所示） .若 25 2AB AD=， ， 求线段 BC和 EG 的长 . A C E B D F 图 10 O A D E O A D E 八、 （本大题满分 10 分） 26如图 12，把抛物
8、线 2 y x= （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度， 得到抛物线 1 l ，抛物线 2 l 与抛物线 1 l 关于 y轴对称 .点 A、 O、 B分别是抛物线 1 l 、 2 l 与 x轴的交点， D、 C分别是抛物线 1 l 、 2 l 的顶点，线段 CD交 y轴于点 E . （ 1）分别写出抛物线 1 l 与 2 l 的解析式； （ 2）设 P是抛物线 1 l 上与 D、 O两点不重合的任意一点， Q点是 P点关于 y轴的对称点，试判断 以 P、 Q、 C、 D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由 . （ 3）在抛物线 1 l 上是否存在点 M ，
9、使得 ABM AOED SS = 四边形 ，如果存在，求出 M 点的坐标，如 果不存在，请说明理由 . A C D E B O 2 l 1 l 图 12 y x 2010 年南宁市中等学校招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C C B C A B D A C D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 1 14 70 15 4 4.65 10 16 67 5 17 49 9 18 100（ 1 分） 5050（ 2 分） 三
10、、 （本大题共 2 小题，每小题满分 6 分，共 12 分） 19解： ()( ) () 01 1 2010 3 tan60 + +2 = 1 11 3 3 2 + + （ 4 分） = 1 23 2 +（ 5 分） = 1 2 （ 6 分） 20解： （ 1） ()()() 322 48 4a b a b ab a b ab+ = 222 2abb ab+ （ 3 分） = 2 2aab （ 4 分） 当 2a= ， 1b= 时，原式 = 2 2221（ 5 分） =44 =0（ 6 分） 四、 （本大题共 2 小题，每小题满分 8 分，共 16 分） 21解： （ 1） 30AC BC A
11、= = ， 30AB= （ 1 分） 180ABACB+ = （ 2 分） 180ACB A B= - =180 30 30 =120 （ 4 分） （ 2） ACBCCDAB= ， 2AB AD = （ 5 分） 在 Rt ADC 中， 30AAC= = ，8 cosAD AC A = ，（ 6 分） =8 cos 30 = 3 843 2 = ( )283mAB AD = .（ 8 分） 22 （ 1）参加这次竞猜的总人数是 500 人 .（ 2 分） （ 2）补充图（ 4 分） 补充图（ 8 分） A C D B 五、 （本大题满分 8 分） 23 （ 1） ADC ABE CDF EB
12、F， （ 2 分） （ 2）证法一：连接 CE （ 3 分） Rt ABC ADE Rt AC AE = （ 4 分） ACE AEC= （ 5 分） 又 Rt RtABC ADE ACB AED= （ 6 分） ACE ACB AEC AED= 即 BCE DEC= （ 7 分） CF EF = （ 8 分） 证法二： Rt RtABC ADE AC AE AD AB CAB EAD =， CAB DAB EAD DAB= 即 CAD EAB= （ 3 分） ()ACD AEB SAS （ 4 分） CD EB ADC ABE =， （ 5 分） 又 ADE ABC= CDF EBF= （
13、6 分） 又 DFC BFE= ()CDF EBF AAS （ 7 分） CF EF = （ 8 分） 证法三：连接 AF （ 3 分） Rt RtABC ADE， 90AB AD BC DE ABC ADE =， 又 AF AF= A C E B D F A C E B D F A B D F ( )Rt RtABF ADF HL （ 5 分） BFDF = （ 6 分） 又 BCDE= BCBFDEDF =, （ 7 分） 即 CF EF= （ 8 分） 六、 （本大题满分 10 分） 24解（ 1）解法一：设大车用 x辆，小车用 y辆 .依据题意，得 20 xy xy += ， 15 +
14、10 =240 （ 2 分） 解得 8 12 x y = = ， 大车用 8 辆，小车用 12 辆 .（ 4 分） 解法二：设大车用 x辆，小车用 ( )20 x 辆 .依题意，得 ()15 10 20 240 xx+=（ 2 分） 解得 8x= . 20 20 8 12x = = 大车用 8 辆，小车用 12 辆 .（ 4 分） （ 2）设总运费为 W 元，调往 A地的大车 a辆，小车 ( )10 a 辆；调往 B地的大车 ()8 a 辆， 小车 ()2a+ 辆 .则（ 5 分） ()( ) ( )630 420 10 750 8 550 2Wa a a a= + + + +， 即： 10
15、11300Wa=+ （ 0 aa8， 为整数） ，（ 7 分） ()15 10 10aa+ 115 a 3 （ 8 分） 又 W 随 a的增大而增大， 当 3a= 时， W 最小 . 当 3a = 时， 10 3 11300 11330W =+ = （ 9 分） 因此，应安排 3 辆大车和 7 辆小车前往 A地；安排 5 辆大车和 5 辆小车前往 B地 .最少运费为 11330 元 .（ 10 分） 七、 （本大题满分 10 分） 25 （ 1）连接 OE OC， （ 1 分） CB CE OB OE OC OC= ， ()OBC OEC SSS ， OBC OEC= （ 2 分） 又 DE
16、与 O 相切于点 E， 90OEC= （ 3 分） 90OBC= BC 为 O 的切线 .（ 4 分） （ 2）过点 D作 DF BC 于点 F ， AD DC BG ， 分别切 O 于点 AEB， DA DE CE CB =， （ 5 分） 设 BC为 x，则 22CF x DC x= =+， . 在 Rt DFC 中， ()() ( ) 2 22 25xx+= ， 解得： 5 2 x= （ 6 分） AD BG ， DAE EGC= DA DE= ， DAE AED=. AED CEG= ， EGC CEG=， 5 2 CG CE CB =， （ 7 分） 5BG = () 2 2 25
17、5 45 35AG =+= （ 8 分） 解法一：连接 BE， 1 2 ABG =S AB BG AG BE= 1 ， 2 255 35BE = ， 10 3 BE = （ 9 分） B O A D E C B G O A D E C F 在 Rt BEG 中， 2 222 10 5 55 33 EG BG BE = （ 10 分） 解法二： DAE EGC AED CEG= = ， ADE GCE， （ 9 分） 35AD AE EG CG EG EG = 2 ， 2.5 解得： 55 3 EG = （ 10 分） 八、 （本大题满分 10 分） 26解： （ 1） () 2 1 :11ly
18、 x=+（或 2 2y xx=+ ） ；（ 1 分） () 2 2 :11ly x=+（或 2 2y xx= ） ；（ 2 分） （ 2） 以 P、 Q、 C、 D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形 .（ 3 分） 理由： 点 C与点 D，点 P与点 Q关于 y轴对称， CD PQ x 轴 . 当 P点是 2 l 的对称轴与 l 1 的交点时，点 P、 Q的坐标分别为（ 1， 3）和（ 1， 3） ，而 点 C 、 D的坐标分别为（ 1 ， 1）和（ 1， 1） ，所以 CD PQ CP CD= ，四边形 CPQD是矩 形 .（ 4 分） 当 P点不是 2 l 的对称轴与 1 l 的交点时，根据轴
19、对称性质， 有： CP DQ= （或 CQ DP= ） ，但 CD PQ . 四边形 CPQD（或四边形 CQPD）是等腰梯形 .（ 5 分） （ 3）存在 .设满足条件的 M 点坐标为 ( )x y， ，连接 MAMBAD， 依题意得： () ( ) ( )20AB E， -2，0 ， 0，1 ， ()12 1 3 22 AOED S + = 梯形 .（ 6 分） 当 0y 时， 13 4 22 ABM Sy =， 3 4 y = （ 7 分） 将 3 4 y = 代入 1 l 的解析式，解得： 1 3 2 x = ， 2 x 1 = 2 1 3 2 M 3 ， 4 ， 2 1 2 M 3 ， 4 （ 8 分） 当 0y 时， () 13 4 22 ABM Sy =， 3 4 y = （ 9 分） 将 3 4 y = 代入 1 l 的解析式，解得： 7 1 2 x= 3 27 2 M + 3 ，- 4 ， 4 27 2 M 3 ，- 4 （ 10 分）
