1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案 数学（文史类） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 2 log 2 的值为 【 D 】 A - 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 2. 抛物线 2 y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】 A（ 2， 0） B. （ - 2， 0） C. （ 4， 0） D. （ - 4， 0） 3设 n s 是等差数列 n a 的前 n 项和，已知 1 a =3， 5 a =11，则 7 s 等于 【 C 】 A 13 B. 35 C. 49 D. 63 4
2、如图 1 D， E， F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 【 A 】 A AD uuur + BE uuur + CF uuur =0 B BDCEDF+ uuur uuur uuur =0 C ADCECF+ uuur uuur uuur =0 D BDBEFC uuur uuur uuur =0 图 1 5某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人 到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A 14 B. 16 C. 20 D. 48 6平面六面体 ABCD - 1 A
3、1 B 1 C 1 D 中，既与 AB 共面也与 1 CC 共面的棱的条数为【 C 】 A 3 B. 4 C.5 D. 6 7若函数 y=f(x)导函数在区间a,b是增函数，则函数 y=f(x)在区间a,b上的图象可 能是（A） 8. 设函数 ()yfx= 在 (,) + 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 (), () ,() () f xfx k kk fx = 取函数 () 2 x fx = 。当 K = 1 2 时，函数 () k f x 的单调递增区间为 【 C】 A (,0) B (0, )+ C (,1) D (1, )+ 二 填空题：本大题共七小题，没小题 5 分，共 35
4、 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 9 . 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动， 10 人喜爱乒乓球运动， 8 人对这两项运都 不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 10. 若 0 x ，则 2 x x + 的最小值为 22. 11. 在 4 (1 )x+ 的展开式中， x 的系数为 6 (用数字作答 )。 12 . 一个总体分为 A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已 知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 1 12 ，则总体中的个体数为 120 13. 过双曲线 C： 22 22 1 xy ab =(0,0)ab的一个
5、焦点作圆 222 x ya+ = 的两条切线， 切点分别为 A.B，若 120AOB= o （ O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 2 。 14. 在锐角 ABC 中， 6bxlyB= 则 cos AC A 的值等于 2 ， AC 的取值范围 为 (2,3)。 15. 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若 ADxAByAC=+ uuur uuuruur ，则 3 1 2 x =+ , 3 2 y = 图 2 三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分 12 分） 以知向量 (sin ,cos 2sin ),
6、(1, 2)ab = =。 （）若 a / b ，求 tan 的值； （）若 ,0 ,ab = 求 的值。 解（） 因为 /ab，所以 2sin cos 2sin = ，于是 sin cosa = ，故 tan = 1 4 （）由 a = b 知， 2 sin +（ cos -2sin 2 ) =5，所以 1-2sin2 +4 2 sin =5. 从而 -2sin2 +2（ 1-cos2 =4，即 sin2 +cos2 = -1，于是 Sin（ 2 + 4 ） = - 2 2 又由 0 知， 4 2 + 4 0， ()f x 在区间（ ， 1 x ）内为增函数； 当 1 x x 2 x 时，
7、f （ x ） 0， ()f x 在区间（ 1 x ， 2 x ）内为减肥函数 当 1 x 2 x 时， f （ x ） 0， ()f x 在区间（ +， 2 x ）内为增函数 所以 ()f x 在 x = 1 x 处取极大值，在 x = 1 x 处取极小值 因此，当且仅当 12c 于是 ()gt的定义域为 (2, )+ 由 /2 () 3 12 0ft t tc=+=得 2 312ct t= + 于是 32 32 () () 6 2 6 , (2, )gt f t t t ct t t t=+=+ 当 2t 时， /2 () 6 12 6(2 ) 0,gt t t t t=+= 焦距为 2c
8、，由题设条件 知， 2 8, ,abc= 所以 22 1 4. 2 ba= = 故椭圆 C 的方程式为 22 1 84 xy += （ 3） 椭圆 C 的左准线方程为 4,x = 所以点 P 的坐标 (4,0) ，显然直线 l 的斜 率 k 存在，所以直线 l 的方程为 (4)ykx= + 。 如图，设点 M， N 的左边分别为 11 2 2 (, ),(, ),x yxy线段 MN 的中点 G 00 (, )x y ， 由 22 (4) 1 84 ykx xy = + += 得 22 2 2 (1 2 ) 16 32 8 0kx kx k+= 由 22 2 2 (16 ) 4(1 2 )(3
9、2 8) 0kkk= + 解得 22 22 k 因为 12 ,x x 是方程的两根，所以 2 12 2 16 12 k xx k += + ，于是 0 x = 12 2 x x+ = 2 2 8 12 k k + ， 00 2 4 (4) 12 k ykx k =+= + 因为 0 x = 2 2 8 12 k k + 0，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，有直线 12 FB , 1 F 1 B 方程分 别为 2, 2,yx y x=+ =所以点 G 在正方形 Q内（包括边界）的充要条件为 00 00 2 2 yx yx + 既 2 22 2 22 48 2 12 12 48 2 12 12
10、 kk kk kk + + + 亦即 2 2 2210 2210 kk kk + 解得 31 31 22 k ，此时也成立 故直线 l 斜率的取值范围是 31 2 , 31 2 ) 21.（本小题满分 13 分） 对于数列 n u 若存在常数 M 0,对任意的 nN ，恒有 1121nnnn uuuu uuM + + + 则称数列 n u 为 B数列 (I) 首项为 1，公比为 1 2 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由 ; (II) 设 S n 是数列 x n 的前 n 项和。给出下列两组判断： A 组：数列 x n 是 B-数列。 数列 x n 不是 B-数列。 数列 S n 是 B-
11、数列。 数列 S n 不是 B-数列 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； ( )若数列 a n 是 B 数列，证明：数列 a 2 n 也是 B 数列。 解（I）设满足题设的等比数列为 n a ,则 1 1 () 2 n n a = ，于是 12 2 1 1131 () () *(), 2 2222 nn n nn aa n = = 1n a + - n a + n a - 1n a + 2 a - 1 a = 2n 311 1 1 222 2 + + L -1 （） （） =3 n 1 1 2 （） 3 所以首项为 1，公比为
12、 1 2 的等比数列是 B-数列 （）命题 1：若数列 n x 是 B-数列，则数列 n s 是 B-数列 此命题为假命题 事实上设 n x =1，n N，易知数列 n x 是 B-数列，但 n s =n， 1n s + - n s + n s - 1n s + 2 s - 1 s =n 由 n 有的任意性知，数列 n s 不是 B-数列。 命题 2：若数列 n s 是 B-数列，则数列 n x 不是 B-数列。 此命题为真命题。事实上，因为数列 n s 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 n N， 有 1n s + - n s + n s - 1n s + 2 s - 1 s M 12
13、 . , nn xx xM +既于是 1121 . nnnn x xxx xx + + + 11211 2 2 . 2 2 2 nnn x xx xxMx + + + 所以数列 n x 是 B数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法） 若数列 n a 是 B数列，则存在正数 M，对任意的 ,nN 有 1121 . nnnn aaaa aaM + + + 因为 112 211 . nnnnn aaaaa aaa = + + + 112 211 1 . nn n n aa a a aa a Ma + + 1 KMa=+，则有 22 111 ()() nn nnnn aa aaaa + = + 11 1 () 2 n nnn nn aaaaKaa + + + 因此 2 2 22 22 1121 . 2 nnnn a a aa aa KM + + + 故数列 2 n a 是 B数列
