1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） （ 1）已知集合 M=x| 3x 5,N=x| 5x0,V=S T (B) A0, V=S+T （ D） A 。 （ 1）讨论函数 ()f x 的单调性； （ 2）证明：若 5a 。 (21)解： (1) ()f x 的定义域为 (0, )+ 。 2 11(1)(1) () axaxa xxa fx xa xx + =+ = = 2 分 （ i）若 11a=即 2a = ,则 2 (1) () x fx x = 故 ()f x 在 (0, )+ 单调增加。 (ii)若 11a ,
2、故 12a,则当 (1,1)xa 时， () 0fx 故 ()f x 在 (1,1)a 单调减少，在 (0, 1),(1, )a + 单调增加。 (iii)若 11a,即 2a ,同理可得 ()f x 在 (1, 1)a 单调减少，在 (0,1),( 1, )a+单调增 加 . (II)考虑函数 () ()gx fx x= + 2 1 (1)ln 2 x ax a x x=+ + 则 2 11 () ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1) aa gx x a x a a xx = + = g 由于 1a ，即 g(x) 在 (4, + ) 单调增加，从而当 12 0 xx时有 12 () (
3、) 0gx gx，即 1212 () () 0fx fx x x+，故 12 12 () () 1 fx fx xx ，当 12 0 x x 12 分 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明讲 已知 ABC 中， AB=AC, D 是 ABC 外接圆劣弧 null AC 上的点（不与点 A,C 重合） ， 延长 BD 至 E。 （ 1） 求证： AD 的延长线平分 CDE； （ 2） 若 BAC=30， ABC 中
4、BC 边上的高为 2+ 3 ，求 ABC 外接圆的面积。 （ 22）解： （）如图，设 F 为 AD 延长线上一点 A， B， C， D 四点共圆， CDF=ABC 又 AB=AC ABC=ACB, 且ADB=ACB, ADB=CDF, 对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF, 即 AD 的延长线平分CDE. （）设 O为外接圆圆心，连接 AO交 BC 于 H,则 AHBC. 连接 OC,A 由题意OAC=OCA=15 0 , ACB=75 0 , OCH=60 0 . 设圆半径为 r,则 r+ 2 3 r=2+ 3 ,a 得r=2,外接圆的面积为 4 。 （ 23） （本小题满分 10 分
5、）选修 4 4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为 极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（ 3 ） =1， M,N 分 别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。 （ 1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （ 2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 （23）解： （）由 得1) 3 cos( = 1)sin 2 3 cos 2 1 ( =+ 从而 C 的直角坐标方程为 ) 2 , 3 32 ( 3 32 2 )0,2(20 23 1 2 3 2 1 N M yx yx ，所以时， ，所以时， 即 = = =+
6、 =+ （）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为 ) 3 32 ,0( 所以 P 点的直角坐标为 ), 6 , 3 32 (), 3 3 .1( 点的极坐标为则 P 所以直线 OP的极坐标方程为 ),(, += （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 设函数 () | 1| | |f xx xa=+。 （ 1）若 1,a = 解不等式 () 3fx ； （ 2）如果 x R , () 2fx ,求 a 的取值范围。 （24）解： （）当 a= 1 时， f(x)=x1+x+1. 由f(x)3得 x1+x+1|3 x1 时，不等式化为 1x1x3 即2x3 不等式组 1 () 3 x fx 的解集为 3 2 ，+), 综上得， () 3fx 的解集为 33 (,) 22 +U 5 分 （）若 1, ( ) 2 | 1|afx x=，不满足题设条件 若 1, ( )afx= 21, 1, 1, 2(1),1 x axa aa x xa x + = 21,1 11,1 , 2(1), xa x xa x axa + + ， ()f x 的最小值为 1a 所 以 ,()2xRfx 的充要条件是| a -1| 2 ， 从 而 a 的取值范围为 (,13,) +U
