1、绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 4 页，共 150 分。 第卷 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题
2、卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件 ,A B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()()()PAB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1若复数 2 (1)(1)zx xi=+为纯
3、虚数，则实数 x的值为 A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 2函数 2 ln( 1) 34 x y xx + = + 的定义域为 A (4, 1) B (4,1) C (1,1) D (1,1 3已知全集 U = ABU 中有 m 个元素， ()() UU ABU痧中有 n 个元素若 ABI 非空，则 ABI 的元素个数为 A mn B mn+ C nm D mn 4若函数 () (1 3tan )cosf xxx=+ ， 0 2 x )的左焦点 1 F 作 x轴的垂线交椭圆于点 P ， 2 F 为右焦点， 若 12 60FPF= o ，则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2
4、 D 1 3 7 (1 ) n ax by+ 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数绝对值 的和为 32，则 ,abn的值可能为 A 2, 1, 5ab n= B 2, 1, 6abn= C 1, 2, 6abn= = = D 1, 2, 5abn= = 8数列 n a 的通项 22 2 (cos sin ) 33 n nn an =，其前 n项和为 n S ，则 30 S 为 A 470 B 490 C 495 D 510 9如图，正四面体 ABCD的顶点 A， B ， C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz上，则在下列命题中，错误 的为 A
5、OABC 是正三棱锥 y x z O A B C D B直线 OB 平面 ACD C直线 AD与 OB 所成的角是 45 o D二面角 DOBA为 45 o 10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡 片，集齐 3种卡片可获奖，现购买该种食品 5袋，能获奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 11一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到 右依次记为 1234 , ，则下列关系中正确的为 A 143 B
6、312 C 423 D 341 12设函数 2 () ( 0)f x ax bx c a=+ ，求不等式 () (1 ) () 0fx k xfx+ 的解集 18（本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案 进行评审 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 1 2 .若某人获得两个“支持”， 则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支 持”，则不予资助， 令 表示该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 E 19（本小题满分 12 分） ABC 中， ,ABC所对
7、的边分别为 ,abc， sin sin tan cos cos A B C A B + = + ,sin( ) cosB AC= . （1）求 ,A C ； （2）若 33 ABC S =+ ,求 ,ac. 20（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA平面 ABCD， 4PA AD=， 2AB= . 以 AC 的中点 O为球心、 AC 为直径的球面交 PD于点 M ，交 PC 于点 N （ 1）求证：平面 ABM 平面 PCD； （ 2）求直线 CD与平面 ACM 所成的角的大小； （ 3）求点 N 到平面 ACM 的距离 21（本小题满分 12 分）
8、 已知点 10 0 (, )Px y 为双曲线 22 22 1 8 xy bb =（ b 为正常数）上任一 点 , 2 F 为双曲线的右焦点 ,过 1 P 作右准线的垂线 ,垂足为 A ,连接 2 FA并延长交 y 轴于 2 P . N O D M C B P A 2 F 1 F O y x A 2 P 1 P P (1) 求线段 1 P 2 P 的中点 P 的轨迹 E 的方程 ; (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B D、 两点 ,在 E 上任取一点 11 1 ,( 0)Qx y y（） ,直线 QB QD， 分 别交 y 轴于 M N， 两点 .求证 :以 MN 为直径的圆过两定点 .
9、22（本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 n a ， 12 ,aaab=，且对满足 mn pq+ =+的正整数 , ,mnpq都有 . (1 )(1 ) (1 )(1 ) pq mn mn pq aa aa aa aa + + = + + （ 1）当 14 , 25 ab=时，求通项 ; n a （ 2）证明：对任意 a，存在与 a有关的常数 ，使得对于每个正整数 n，都有 1 . n a 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B A B D B D C B 1.由 2
10、10 1 10 x x x = = 故选 A 2.由 2 10 1 11 41340 x x x xxx + .故选 C 3.因为 ( ) ( ) UU U AB A B=IU痧 ，所以 ABI 共有 mn 个元素 ,故选 D 4.因为 () (1 3tan )cosf xxx=+ = cos 3 sinx x+ = 2cos( ) 3 x 当 3 x = 是，函数取得最大值为 2. 故选 B 5. 由已知 (1) 2g = ，而 () () 2f xgx x=+，所以 (1) (1) 2 1 4fg = +=故选 A 6. 因为 2 (, ) b Pc a ，再由 12 60FPF= o 有
11、 2 3 2, b a a = 从而可得 3 3 c e a = ，故选 B 7. 5 (1 ) 243 3 n b+=， 5 (1 ) 32 2 n a+=，则可取 1, 2, 5abn= =，选 D 8. 由于 22 cos sin 33 nn 以 3 为周期 ,故 22 22 2 2 22 2 30 1 2 4 5 28 29 (3)( 6)( 30)S + + = + + + + + +L 2210 10 2 11 (3 2) (3 1) 5 9 10 11 (3 ) 9 25 470 2 kk kk kk = + = + = = = 故选 A 9.将原图补为正方体不难得出 B 为错误
12、，故选 B 10 55 5 3(323)50 381 P =故选 D 11前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以 1 22 = 、 2 = 、 3 3 = ，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之 间的距离之比，所以 4 23 = ，则 4231 ，选 C 12 12 max |()x xfx= ， 22 2 44 4 bac acb aa = ， |2aa= ， 4a = ，选 B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13. 5 14.8 15. 2 16. ,B C 13. 36 5 13 k k = 14.由
13、条件可得 2 AOB =，所以 22AB= ， O到平面 ABC 的距离为 23 3 ，所以所求 体积等于 8 15.由数形结合，直线 (2) 2ykx=+在半圆 2 9y x= 之下必须 3, 1ba= = ，则直线 (2) 2ykx=+过点（ 1, 2 2 ），则 2k = 16.因为 cos ( 2)sin 1xy + =所以点 (0,2)P 到 M 中每条直线的距离 22 1 1 cos sin d = + 即 M 为圆 C : 22 (2)1xy+ =的全体切线组成的集合 ,从而 M 中存在两条平行直线 ,所以 A 错误 又因为 (0,2)点不存在任何直线上 ,所以 B 正确 对任意
14、 3n ,存在正 n边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确 M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误 , 故命题中正确的序号是 B,C 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17.解： (1) 22 11 1 () x xx x f xeee xxx = + = , 由 () 0fx= ,得 1x = 因为 当 0 x 时, () 0fx ； 当 01x 时, () 0fx 时, () 0fx ； 所以 ()f x 的单调增区间是: 1, )+ ； 单调减区间是: (,0)(0,1 ， . (2) 由 2 2 1 () (1 ) () x xkxkx
15、f xk xfx e x + + = 2 (1)( 1) 0 x xkx e x + = , 得： (1)( 1)0 xkx. 故：当 01k时 , 解集是： 1 1 xx k 时 , 解集是： 1 1xx k + ,则在定义域上有 1 ,1 1 1 () () , 1 2 ,0 1 1 a a fx ga a a a a + = = + 故对 * nN ， 1 () n bga + 恒成立 又 2 2 2 () (1 ) n n n a bga a = + , 注意到 1 0() 2 ga,解上式得 1()12() 1()12()() , () () 1()12() n ga ga ga gaga a ga ga ga ga + = + 取 1()12() () ga ga ga + = ,即有 1 . n a
