1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学（理工农医类） 本试卷共4页，满分150 分，考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在 试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小
2、题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的。 1、 已知 | (1, 0) (0,1), , | (1,1) ( 1,1), Paa m mRQbb n nR=+ =+是两个向量集 合，则 PQ=I A 1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1 2.设a 为非零实数，函数 11 (, ) 1 ax yxRx ax a = + 且 的反函数是 A、 11 (, ) 1 ax yxRx ax a = + 且 B、 11 (, ) 1 ax yxRx ax a + = 且 C、 1 (, 1) (1 ) x yxRx ax + = 且 D、 1 (, 1
3、) (1 ) x yxRx ax = + 且 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、 1 3 B、 1 4 C、 1 6 D、 1 12 4. 函数 cos(2 ) 2 6 yx =+的图象 F 按向量 a平移到 F , F 的函数解析式为 (),yfx= 当 ()yfx= 为奇函数时，向量 a可以等于 .( , 2) 6 A .( ,2) 6 B .( , 2) 6 C .( , 2) 6 D 5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A
4、 .24B .30C .36D 6. 设 22212 01 2 21 2 2 ) . 2 nnn nn x aaxax ax ax +=+ +（ ，则 024 2 135 21 lim( . ) ( . ) nn n aaa a aaa a + + = A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2 7. 已知双曲线 22 1 22 xy = 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b + = 的焦点，则直线 2ykx=+与椭圆至 多有一个交点的充要条件是 A. 11 , 22 K B. 11 , 22 K + U C. 22 , 22 K D. 22 , 22 K + U 8. 在“家电下乡”活
5、动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货 车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输 费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 9. 设球的半径为时间 t的函数 ( )Rt。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长 速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2 C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2 C 10. 古希腊人常用小石子在沙
6、滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图 1 中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数； 类似的，称图 2 中的1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 11. 已知关于 x的不等式 1 1 ax x + 0 的解集是 1 (,1)( ,) 2 +U .则 a= . 12. 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布
7、直方图估计,样本数 据落在 6,10)内的频数为 ，数据落在 2,10)内的概率约为 . 13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为 这个卫星的覆盖区域.为了转播 2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直 播卫星，它离地球表面的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中星九号” 覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符 号). 14.已知函数 () ( )cos sin , 4 f xf x x =+则 () 4 f 的值为 . 15已知数列 n a 满足： 1 am （m 为正整数）
8、 ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa + = + 当 为偶数时， 当 为奇数时。 若 6 a1 ， 则 m 所有可能的取值为_。 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张 卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 xy ，求 的分布列和数学期望。 1
9、7 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知向量 (cos ,sin ), (cos ,sin ), ( 1,0)aaab c = = （）求向量 bc+ 的长度的最大值； （）设 a 4 = ，且 ()abc+，求 cos 的值。 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD=2a， 2ADa= 点E是 SD 上的点，且 (0 2)DE a = 的对称轴上一点 ( )( ),0 0Aa a 的直线与抛物线相交于 M、 N 两点，自 M、N 向直线 :lx a= 作垂线，垂足分别为 1
10、 M 、 1 N 。 （）当 2 p a = 时，求证： 1 AM 1 AN ； （）记 1 AMM 、 11 AM N 、 1 ANN 的面积分别为 1 S 、 2 S 、 3 S ，是否存在 ， 使得对任意的 0a ，都有 2 212 SSS= 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 21.(本小题满分 14 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 在 R 上定义运算 ()() 1 :4 3 pq pcqb bc= + （b、c 为实常数） 。记 () 2 1 2f c=， () 2 2f b=， R .令 ( ) ( ) ( ) 2 1 fff =. （）如果函数 ( )f 在 1
11、 = 处有极什 4 3 ,试确定b、c 的值； （）求曲线 ()yf= 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； （）记 () ()( )|1 1gx f x x = 的最大值为 M .若 M k 对任意的 b、c 恒成立， 试示 k的最大值。 2009 年高考湖北理科数学卷解析 1 【答案】A 【解析】因为 (1, ) (1 ,1 )amb nn=+ rr 代入选项可得 ( ) 1,1PQ= 故选 A. 2 【答案】D 【解析】同文 2 3 【答案】C 【解析】因为 22 ()()2( )mninmi mn n mi+=+为实数 所以 22 nm= 故 mn= 则可以取 1、2 6，共 6 种
12、可能，所以 11 66 61 6 P CC = = 4 【答案】B 【解析】同文科 7 5 【答案】C 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 2 4 C ，顺序有 3 3 A 种， 而甲乙被分在同一个班的有 3 3 A 种，所以种数是 23 3 43 3 30CA A = 6 【答案】B 【解析】令 0 x= 得 2 0 21 () 22 n n a = 令 1x= 时 2 012 2 2 (1) 2 n n aaa a+=+ 令 1x= 时 2 012 2 2 (1) 2 n n aaa a = + + 两式相加得： 22 02 2 22 (1)(1) 2 nn n
13、aa a + + = 两式相减得： 22 13 21 22 (1)(1) 2 nn n aa a + + + = 代入极限式可得，故选 B 7 【答案】A 【解析】易得准线方程是 2 2 1 2 a x b = = = 所以 222 2 41cab b= 即 2 3b = 所以方程是 22 1 43 xy + = 联立 2 ykx=+ 可得 22 3 +(4k +16k) 4 0 xx+ = 由 0 可解得 A 8 【答案】B 【解析】同文 8 9.【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 3 4 () () 3 Vt R t= ，则 2 () 4 () ()cVt RtRt= ，由此可得 4
14、() () () c R t RtR t = ，而球的表面积为 2 () 4 ()St R t= ， 所以 2 () 4 () 8 () ()vSt Rt RtRt= 表 ， 即 22 8 ()()24 ()() () () () () cc vRtRt RtRt Rt R tRt Rt 表 ，故选 D 10.【答案】C 【解析】同文 10 11.【答案】-2 【解析】由不等式判断可得 a0 且不等式等价于 1 (1)( )0ax x a + 由解集特点可得 11 02 2 aa a =且 12.【答案】64 0.4 【解析】同文 15 13.【答案】12800arccos 8 53 【解析】
15、如图所示，可得 AO=42400，则在 RtABO 中可得cosAOB= 8 53 所以 8 2 12800arccos 53 lRAOBR= = = 14.【答案】1 O B C A 【解析】因为 ( ) ( ) sin cos 4 f xf x x = + 所以 ( ) ( ) sin cos 4444 ff = + ( ) 2 1 4 f =故 () ()cos sin ()1 44444 ff f = += 15.【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am= 为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a 224 amm a = = 当 4 m 仍为偶数时， 46 832 m
16、m aa= = 故 132 32 m m= = 当 4 m 为奇数时， 43 3 31 1 4 aa m= += + 6 3 1 4 4 m a + = 故 3 1 4 1 4 m+ = 得m=4。 （2）若 1 am= 为奇数，则 21 3131aa m=+=+为偶数，故 3 31 2 m a + = 必为偶数 6 31 16 m a + = ，所以 31 16 m+ =1 可得m=5 16.解析：依题意，可分别取 5 = 、6、 11取，则有 11 2 3 (5) ,(6) ,(7) 4 4 16 16 16 43 2 1 ( 8) , ( 9) , ( 10) , ( 11) 16 16
17、 16 16 ppp ppp p = = = = = = = = = = 的分布列为 5 6 7 8 9 10 11 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 12343 2 1 56789101 8 16 16 16 16 16 16 16 E = + + + + + + =. 17.解析： （1）解法 1： (cos 1,sin ), +bc= 则 222 |(cos1)sin2(1cos). += + =bc 2 1cos 1,0| | 4 + Q bc ，即 0| |2. +bc 当 cos 1 = 时，有 |2,+=bc 所以向量 +bc的长度的最大值
18、为 2. 解法2： |1Qb|= ， |1=c ， |2+ =|b c| b + c 当 cos 1 = 时，有 |(2,0)+bc|= ，即 |2+bc|=， +bc的长度的最大值为 2. （2）解法 1：由已知可得 (cos 1,sin ), +bc= ( ) cos cos sin sin cos cos( ) cos += + = nullabc 。 aQ (b+c) ， ()0abc +=，即 cos( ) cos = 。 由 4 = ，得 cos( ) cos 44 = ，即 2() 44 kkz =。 22() 4 kkkz =+ = 或， ,于是 cos 0 cos 1 = =
19、或 。 解法 2：若 4 = ，则 22 (,) 22 a = ，又由 (cos ,sin )b = ， (1,0)c = 得 22 2 2 2 ()(,)(cos1,sin) cos sin 22 2 2 2 abc += = + aQ (b+c) ， ()0abc +=，即 cos (cos 1) 0 = sin 1 cos = ，平方后化简得 cos (cos 1) 0 = 解得 cos 0 = 或 cos 1 = ，经检验， cos 0 cos 1 = =或 即为所求 18.（）证法 1：如图1，连接 BE、BD，由地面 ABCD 是正方形可得 ACBD。 QSD平面ABCD， BD
20、是BE 在平面ABCD 上的射影， ACBE （）解法 1：如图 1，由 SD平面ABCD 知，DBE= , QSD平面ABCD，CD 平面ABCD, SDCD。 又底面 ABCD 是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD. 连接AE、CE，过点D 在平面SAD 内作DEAE 于F，连接CF，则CFAE， 故CDF 是二面角 C-AE-D的平面角，即CDF= 。 在RtBDE中， QBD=2a，DE= a tan 2 DE BD = 在RtADE中, 2 2, , 2AD a DE a AE a=+Q 从而 2 2 2 AD DE a DF AE = + 在 Rt CDF 中，
21、2 2 tan CD DF + = . 由 tan tan 1 =，得 2 22 2 .1 22 2 2 + = +=. 由 (0,2 ，解得 2 = ，即为所求. （I） 证法 2：以D为原点， ,DA DC DS uuuruuuruuur 的方向分别作为 x，y，z轴的正方向建立如 图2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ，A（ 2 ，0，0） ，B（ 2a， 2a，0） ，C（0， 2a，0） ，E（0，0 a ） ， (2,2,0), (2,2,)ACaaBEaaa= = uuur uuur 22 220 0AC BE a a a=+= uuur uuur ， 即 ACBE
22、。 （II） 解法2： 由（I）得 (2,0, ), (0,2, ), ( 2, 2, )EA a aEC a aBE a a a = uuur uuur uuur . 设平面 ACE的法向量为 n=(x，y，z)，则由 nEA EC uuur uuur ，n 得 0, 2x z 0, z2 n(,2) 0, 2y z 0, nEA nEC = = = = = uuur uuur 即取，得 。 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 (0,0,2 ) DC aDS a= uuur uuur 与 （0，2 ,0） . 22 sin ,cos 422 DC n DS BE DS B
23、E DC n = = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur . Q0 ， ,0 2 ， 2 22 tan tan sin cos 2 2 422 += = = + . 由于 (0,2 ，解得 2 = ，即为所求。 19.解析： （I）在 1 1 () 2 2 n nn Sa = + 中，令 n=1，可得 11 12 n Sa a=+=，即 1 1 2 a = 当 2n 时， 21 11 1 1 () 2 () 22 nn nn nnnnn Sa aSSaa = + = = + +， ， 11 n1 1 1 2a ( ) , 2 1 2 nn nnn aaa =+
24、= + n 即2 . 2, 1, n2 1 n nnnn n babb b=+ =Q n 即当 时，b . 又 11 21,ba=数列 n b 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 1( 1)1 2 , 2 n nn n n bn naa=+ = = . (II)由（I）得 11 (1)() 2 n nn n can n + =+，所以 23 11 1 1 2 3() 4() ( 1)() 22 2 2 n n Tn=+ + + + +K 234 1 1111 1 2() 3() 4() ( 1)() 2222 2 n n + = + + + + +K 由-得 23 1 111 1 1 1
25、() () () ( 1)() 222 2 2 nn n Tn + =+ + + + +K 1 1 1 11 1 ( ) 133 42 1(1)( 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T + + + =+ + = + = 535(3)(21) 3 21 2 21 2(21) n n nn nn nn n T + + = + 于是确定 5 21 n n T n+ 与 的大小关系等价于比较 221 n n+与 的大小 由 2345 2 2 1 1;2 2 2 1;2 2 3 1;2 2 4 1;2 2 5;+ + + + +时， 证明如下： 证法1： （1）当 n=3
26、时，由上验算显示成立。 （2） 假设 1nk=+时 1 2 2 2 2(2 1) 4 2 2( 1) 1 (2 1) 2( 1) 1 kk kkk k k + =+=+=+g 所以当 1nk=+时猜想也成立 综合（1） （2）可知 ，对一切 3n 的正整数，都有 221. n n+ 证法 2：当 3n 时 012 1 01 1 2(11) 2221 n n nn nn nnn n nnnn n CCC C CCCC C n n =+=+ + +=+K 综上所述，当 1, 2n= 时 5 21 n n T n + 20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运
27、 用数学知识进行推理运算的能力。 （14 分） 解：依题意，可设直线 MN 的方程为 11 2 2 ,(,),(,)x my a M x y N x y= + ，则有 12 (,),(,)M ay N ay 由 2 2 x my a ypx =+ = 消去 x 可得 2 220y mpy ap= 从而有 12 12 2 2 yy mp yy ap += = 于是 2 12 12 ()22( )x xmyy a mpa+= + += + 又由 2 11 2ypx= ， 2 12 2ypx= 可得 22 212 12 22 ()(2) 44 yy ap x xa pp = = （）如图 1，当 2
28、 p a = 时，点 (,0) 2 p A 即为抛物线的焦点， l为其准线 2 p x= 此时 1112 (,),(,), 22 PP MyNy并由 可得 2 12 yy p= 证法1： 1112 (,), (,)AMpyANpy= = uuuuvuuv Q 222 11 12 1 1 0,AM AN p y y p p AM AN =+= uuuuv uuuv 即 证法2： 11 12 , AM AN y y KK p p = =Q 11 2 12 1122 1, AM AN yy p K K AM AN pp = = = 即. ()存在 4 = ，使得对任意的 0a ，都有 2 213 4
29、SSS= 成立，证明如下： 证法 1：记直线 l与 x 轴的交点为 1 A ,则 1 OA OA a= = 。于是有 11111 211112 311 22 ) 22 1 2 11 ) 22 SMMAMxay SMNAayy SNNANxay = = + = = = = + （ （ 213 12 1 12 2 22 12 12 12 12 12 4( )()() ( ) 4 ( ) SSSayy xayxay ayy yy xxaxx ayy =+ +=+ 将、代入上式化简可得 222 2 2 2 2 (4 8 ) 2 (2 4 ) 4 ( 2 )amp ap apampa apmpa+= +
30、 + 上式恒成立，即对任意 2 213 0, 4aSS=成立 证法 2：如图 2，连接 11 ,MNNM,则由 2 12 1 1 2, 2yy apy px= = 可得 1 1222 11 12 222 2 OM ON ypypyyp KK xyyy apa = = = = ,所以直线 1 MN 经过原点 O， 同理可证直线 1 NM 也经过原点 O 又 1 OA OA a=设 11 1 11 2 1 1 1 2 , ,M AhNAhMMdN d= =则 1112 12 123 2 1 ,2()(), . 22 SdhS ahhahhSdh=+=+= （2）当 1()byfx=时，函数 得对称
31、轴 x=b 位于区间 1,1 之外 此时 max ( 1), (1), ( )M gggb= 由 2 (1) ( 1) 4 , ( ) ( 1) ( 1) 0ff bfbf b = = m有 若 10, max(1),()bggb 则f(1) f(-1) f(b), g(-1) 于是 2 111 max ( 1) , ( ) ( (1) ( ) ) ( (1) ( ) ) ( 1) 222 Mffbffbffbb = += 若 01b，则 f(=1) f(1) f(b)， max ( 1), ( )ggb g(1) 于是 2 1111 max (1), () ( (1) () ( (1) () ( 1) 222 Mffbffbffbb = +=+ 综上，对任意的 b、c 都有 1 2 M 而当， 1 0, 2 bc=时， 2 1 () 2 gx x= + 在区间 1,1 上的最大值 1 2 M = 故 M K 对任意的 b，c 恒成立的 k 的最大值为 1 2
