1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修）(陕西卷) 第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12 小题， 每小题5 分，共60分） 1设不等式 2 0 xx的解集为 M，函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 N，则 M N 为 （A）0，1） （B） （0，1） （C）0，1 （D） （-1，0 答案：A 解析：不等式 2 0 xx 的解集是 01x ，而函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 11x ”是“方程 22 1mx ny+=表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充
2、分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C 解析： 0mn说明 0ba 8.在 ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学 2APPM= uuur uuuur ,则 科网 ()PA PB PC+ uuuruur uuur 等于 （A） 4 9 （B） 4 3 （C） 4 3 (D) 4 9 答案：A 2 2 22 4 4 () () 33 9 9 PA PM P AM PA PB PC PA PH AM AM AM = += = = uuur uuuur uuuruur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur nul
3、lnull 解析： 是 的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP, 9从 0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位 数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C 解析：分类讨论思想： 第一类：从 1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数 为 24 34 72CA= 第二类：取 0，此时 2 和 4 只能取一个，0 还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数 的个数为 21 4 3 32 4 3 108CC A A= 共有，180 个数 10若正方体的棱长为 2 ，则以该正方体各个面
4、的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A) 2 6 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 2 3 答案：B 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体 高的一半， 底面面积是正方体一个面面积的一半， 11 1 2 222 2 32 2 3 V = = 11若 x，y 满足约束条件 1 1 22 xy xy xy + ，目标函数 2zax y= + 仅在点（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围是 (A) （ 1 ，2 ） (B) （ 4 ，2 ） (C) (4,0 (D) (2,4) 答案：B 解析：根据图像判断，目标函数需要和 1x y+ ， 22xy
5、 平行， 由图像知函数 a 的取值范围是（ 4 ，2 ） 12定义在R 上的偶函数 ()f x 满足：对任意 的 12 1 2 ,(,0( )x xxx ，有 21 2 1 ()()()0 x x fx fx . 则当 * nN 时,有 (A) () ( 1) ( 1)f n fn fn + (B) (1) () (1)fn f n fn + (C) (C) (1)()(1)fn f n fn+ (D) (1) (1) ()f nfnfn+ + + +nn-10, 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 +选修）(陕西卷) 第卷 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上
6、(本大题共 4小题，每小题4 分，共 16 分). 13设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ,若 63 12aS= = ,则 2 lim n n S n = . I 1 3 2 1 -2 -1 S R 31 20 y G I 4 4 B 1 C 1 D 1 F 1 G 1 H 1 答案：1 6 1 1 22 31 12 512 2 11 (1) lim lim 1 12 12 2 nn n nn a ad a SS Snn sadd nn n n = += = + =+= =+= 解析： 14某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组， 已知参加数学
7、、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8 15如图球O 的半径为2，圆 1 O 是一小圆， 1 2OO= ，A、B 是圆 1 O 上两点，若 A，B 两点间的球面距离为 2 3 ，则 1 AO B = . 答案： 2 16 设曲线 1* () n y xnN + =在点 （1， 1） 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x ,令 lg nn ax= ， 则 12 9 aa a+L 的值为 . 答案：-2 1* 1 1 12 9 129 () ( 1) | 1 1( 1
8、)( 1) 1 1 2 98 99 1 . lg . lg . lg 2 2 3 99 100 100 n nn x n yx nN yx y n x y n y n x n x n aa a xxx + + = = =+=+ = + + = = = =nullnullnull null 解析：点（1，1）在函数 的图像上，（1，1）为切点， 的导函数为 切线是： 令y=0得切点的横坐标： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共74 分） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 () sin( ),f xA x xR =+（其中 0, 0,0 2 A ）的图
9、象与 x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为 2 ，且图象上一个最低点为 2 (,2) 3 M . ()求 ()f x 的解析式； （）当 , 12 2 x ，求 ()f x 的值域. 17、解（1）由最低点为 2 (,2) 3 M 得A=2. A B O1 O 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 得 2 T = 2 ，即 T = ， 22 2 T = = 由点 2 (,2) 3 M 在图像上的 24 2sin(2 ) 2, ) 1 33 += +=即sin( 故 4 2, 32 kkZ += 11 2 6 k = 又 (0, ), , ( ) 2sin(2 ) 26 6 fx x
10、 = = +故 （2） 7 , 2 , 12 2 6 3 6 xx +Q 当 2 6 x + = 2 ，即 6 x = 时， ()f x 取得最大值 2；当 7 2 66 x += 即 2 x = 时， ()f x 取得最小值-1，故 ()f x 的值域为-1,2 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABC ABC 中， AB=1， 1 3AC AA=，ABC=60 0 . ()证明： 1 AB AC ； （）求二面角 A 1 ACB的大小。 18.（本小题满分 12 分） 解答一（1）证： Q三棱柱 111 ABC ABC 为直三棱柱， 1 AB AA 在 ABC 中，
11、 0 1, 3, 60AB AC ABC=,由正弦定理 0 30ACB= 0 90BAC= AB AC即 11 AB ACC A平面 ,又 1 AC平面 11 ACC A 1 AB AC即 （2）解如图，作 1 AD AC 交 1 AC于点 D 点，连结BD， 由三垂线定理知 1 BDAC C B A C1 B1 A1 ADB 为二面角 1 AAC B的平面角 在 1 1 1 33 6 2 6 AA AC Rt AAC AD AC =中， 1 6 3 66 , 33 Rt BAD AAC B = AB 中,tanADB= AD ADB=arctan 即二面角 的大小为arctan 解答二（1）
12、证 Q三棱柱 111 ABC ABC 为直三棱柱， 11 AB AA AC AA ， Rt ABC ， 0 1, 3, 60AB AC ABC=， 由正弦定理 0 30ACB= 0 90BAC= AB AC即 如图，建立空间直角坐标系， 则 1 (0,0,0), (1,0,0) (0, 3,0), (0,0, 3)ABC A 1 1 1 (1,0,0), (0, 3, 3) 1*0 0* 3 0*( 3) 0 AB AC AB AC AB AC = =+ += uuuv uuuv uuuv uuuv Q (2) 解，如图可取 (1,0,0)mAB= uuuv 为平面 1 AAC 的法向量 设平
13、面 1 ABC的法向量为 (, , )nlmn= ， 则 1 0, 0, 1 3 0BC n AC n BC= = = uuuv uuuv uuuv 又（， ） 30 3, 330 lm lmnm mn + = = = = 不妨取 1, ( 3,1,1)mn=则 222 222 311010 15 cos , 5 (3) 1 1 1 0 0 mn mn mn + = = = + + 1 AACBD 15 二面角 的大小为arccos 5 19(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，椐统计，随机变量 的概率分布如 下： 0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a
14、 ()求a 的值和 的数学期望； （） 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消 费者投诉 2次的概率。 19 题，解（1）由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2 的概率分布为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 0*0.1 1*0.3 2*0.4 3*0.2 1.7E =+= （2）设事件A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 1 A 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次， 另外一个月被投诉 0 次” ；事件 2 A 表示“两个月内每月均被投诉 12 次” 则由事件的独立性得 1 12 22 2 12 ( ) ( 0
15、) 2*0.4*0.1 0.08 ( ) ( 1) 0.3 0.09 ( ) ( ) ( ) 0.08 0.09 0.17 PA CP PA P PA PA PA = = = =+=+= 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 () ln( 1) , 0 1 x fx ax x x = + + ，其中 0a ( ) 若 ()f x 在 x=1 处取得极值，求 a 的值； () 求 ()f x 的单调区间； （）若 ()f x 的最小值为 1，求 a 的取值范围。 20. 解（） 2 22 ( ) , 1(1) ( 1)(1)
16、aaxa fx ax x ax x + = = + + ()f x 在 x=1 处取得极值， 2 (1) 0, 1 2 0,faa= +=null即 解得 1.a = （） 2 2 2 ( ) , (1)(1) ax a fx ax x + = + 0, 0,xa 10.ax+ 当 2a 时，在区间 (0, ) ( ) 0,fx+ 上， ()f x 的单调增区间为 (0, ).+ 当 02a 解得 由 解得 () ), aa fx + 2- 2- 的单调减区间为（0， 单调增区间为（ ， ）. （）当 2a 时，由（）知， () (0) 1;fx f =的最小值为 当 02a时， 由 （） 知
17、， ()f x 在 2 a x a = 处取得最小值 2 ()(0)1, a ff a ，离心率 5 2 e= ，顶点到渐近线的 距离为 25 5 。 （I）求双曲线 C 的方程； (II)如图，P是双曲线 C上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐 近线上，且分别位于第一、二象限，若 1 ,2 3 AP PB= uuuruur ， 求 AOB 面积的取值范围。 21 （本小题满分 14 分） 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1( 0, 0), yx ab ab = 离心率 5 , 2 e= 顶点到渐近线的距离为 25 . 5 （）求双曲线 C 的方程； （）如图，P 是双曲线C上一点
18、，A,B两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第 一，二象限.若 1 ,2, 3 AP PB= uuuruur 求AOB 面积的取值范围. 解答一（）由题意知，双曲线 C的顶点 (,)Oa到渐近线 0ax by= 25 的距离为 ， 5 22 25 25 , 55 ab ab c ab = + 即 由 222 25 , 5 5 , 2 ab c c a cab = = =+ 得 2, 1, 5, a b c = = = 双曲线 C 的方程为 2 2 1. 4 y x = （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2.yx= 设 (,2),( ,2), 0, 0.Am m B n n m
19、 n 由 AP PB= uuuruur 得 P 点的坐标为 2( ) (, , 11 mnmn + + 将 P 点坐标代入 2 2 1, 4 y x=化简得 2 (1 ) . 4 n mn + = 设AOB 11 4 2 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 . 22 5 =Q 又 4 |5|5OA m OB n + = 111 |sin22 ( )1. 22 AOB SOAOB mn =+ null nullnull 记 11 1 () ( ) 1, ,2, 23 S =+ 由 89 ( ) 0 1, ) , (2) , 34 SS= = = 1 得 又S(1)=2,S(
20、3 当 1 = 时，AOB的面积取得最小值 2，当 1 3 = 时，AOB 的面积取得最大值 8 3. AOB 面积的取值范围是 8 2, . 3 解答二（）同解答一 （）设直线 AB的方程为 ,ykxm= + 由题意知 |2, 0.km 由 2 y kx m yx =+ = 得 A 点的坐标为 2 (,), 22 mm kk 由 2 y kx m y x =+ = 得 B 点的坐标为 2 (,). 22 mm kk + 由 AP PB= uuuruur 得 P 点的坐标为 121 ( ( ), ( ), 12 212 2 mm kk kk + + + + 将P点坐标代入 22 2 2 4(1
21、) 1. 44 ym x k + = = 得 设 Q 为直线AB 与y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）. 111 |8| ( ) 222 AOB AOQ BOQ SSS OQXAOQxmxAxB= + = nullnullnull nullnullnull = 2 2 1141 () ()1. 22 2 24 2 mm m m kk k += =+ + null 以下同解答一. 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 n x 满足， * 11 , 21 n n x xnN x + . ( ) 猜想数列 n x 的单调性，并证明你的结论； ()证明： 1 1 12 |() 65 n n
22、n xx + -| 。 22 题 证（1）由 1n+1 244 n 11 513 21 3821 xx xxx x = =+= + 及得 ， 由 246 x xx猜想：数列 2n x 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即 222kk x x + 易知 2 0 k x ，那么 23 21 22 24 21 23 21 23 11 11 (1)() kk kk kk kk xx xx xx xx + + + + = = + + = 222 2212 23 0 (1 )(1 )(1 )(1 ) kk kk k k xx xx x x
23、 + + + + + 即 2( 1) 2( 1) 2kk xx + 也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当 n=1时， 121 1 6 nn xxxx + =，结论成立 当 2n 时，易知 11 1 11 01,12, 12 nnn n xxx x + + 111 1 15 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 12 nn n n n xx x x x +=+ +=+ + 1 1 11 11 11 (1)(1) nn nn nn nn xx xx x xxx + = = + + 2n-1 112 21 n-1 22 2 55 5 12 65 nn n n x xxx xx = K（） （） （）
