1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（文史类） 第I卷 一、选择题： （本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符 合题目要求的。 （1） 已知集合 1,3,5,7,9 , 0,3,6,9,12AB=,则 AB=I (A) 3,5 (B) 3,6 (C) 3,7 (D) 3,9 （2） 复数 32 23 i i + = （A） 1 （B） 1 （C） i (D) i （3）对变量 ,x y 有观测数据（ 1 x ， 1 y ） （ 1,2,.,10i = ） ，得散点图 1；对变量 ,uv有观测 数据（ 1 u ， 1 v ） （i=1,2
2、,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。 （A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 （C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 （4）有四个关于三角函数的命题： 1 p ： xR, 2 sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 2 2 p : ,x yR , sin( ) sin sinx yxy = 3 p : x 0, , 1cos2 sin 2 x x = 4 p : sin cos 2 xyxy = += 其中假命题的是 （A） 1 p ， 4 p
3、 （B） 2 p ， 4 p （3） 1 p ， 3 p （4） 2 p ， 3 p （5）已知圆 1 C ： 2 (1)x+ + 2 (1)y =1，圆 2 C 与圆 1 C 关于直线 10 xy =对称，则圆 2 C 的 方程为 （A） 2 (2)x+ + 2 (2)y =1 （B） 2 (2)x + 2 (2)y+ =1 （C） 2 (2)x+ + 2 (2)y+ =1 （D） 2 (2)x + 2 (2)y =1 （6）设 ,x y满足 24, 1, 22, xy xy xy + 则 zxy= + （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值 （C）有最大值 3，无最小
4、值 （D）既无最小值，也无最大值 （7）已知 ()()3, 2 , 1,0ab= = ，向量 ab + 与 2ab 垂直，则实数 的值为 （A） 1 7 （B） 1 7 （C） 1 6 （D） 1 6 （8）等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 2 11 0 mmm aaa + + =， 21 38 m S = ,则 m= （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 （9） 如图，正方体 111 1 ABCD ABC D 的棱线长为 1，线段 11 B D 上有两个动点 E，F，且 1 2 EF = ，则下列结论中错 误的是 （A） AC BE （B） /EFABCD平面 （C
5、）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D） AEF BEF的面积与 的面积相等 （10）如果执行右边的程序框图，输入 2, 0.5xh=，那么输出 的各个数的和等于 （A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： 2 cm ）为 （A） 48 12 2+ （B） 48 24 2+ （C） 36 12 2+ （D） 36 24 2+ （12）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值。设 () min2, 2,10 x f xxx=+ (x 0),则 ( )f x 的 最大值为 （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
6、 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）第（21）题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第（22 题）第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5分。 （13）曲线 21 x y xe x=+在点（0,1）处的切线方程为 。 （14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两 点，若 ()2,2P 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 。 （15）等比数列 n a 的公比 0q , 已知 2 a =1， 21 6 nn n aa a + + = ，则 n a 的前 4 项和 4 S =
7、。 （16）已知函数 () 2sin( )fx x =+的图像如图所示，则 7 12 f = 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知 50ABm= ， 120BCm= ，于 A 处测得水深 80ADm= ，于 B 处测得水深 200BEm= ，于 C 处测得水深 110CF m= ，求 DEF 的余弦值。 （18） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PAB是等边三角形， PAC= PBC=90 （）证明： AB PC （）若 4PC
8、 = ，且平面 PAC 平面 PBC ，求三棱锥 PABC 体积。 （19） （本小题满分 12 分） 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？ （）从 A类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1和表 2 表1： 生产能力分 组 ) 100,110 ) 110,120 ) 120,130 ) 1
9、30,140 ) 140,150 人数 4 8 x 5 3 表2： 生产能力分组 ) 110,120 ) 120,130 ) 130,140 ) 140,150 人数 6 y 36 18 （1） 先确定 ,x y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通 过观察直方图直接回答结论） (ii)分别估计 A类工人和 B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平 均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） 。 （20）(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy的原点
10、，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个焦 点的距离分别是 7 和1 （）求椭圆 C 的方程 （）若 P为椭圆 C 的动点， M 为过 P且垂直于 x轴的直线上的点， OP e OM = （e 为椭圆C的离心率） ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 3223 () 3 9f xx ax axa= +. (1) 设 1a = ，求函数 ()f x 的极值； (2) 若 1 4 a ，且当 1, 4x a 时， )( xf 12a 恒成立，试确定 a的取值范围. 请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所
11、做的第一题 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （22） （本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲 如图， 已知 ABC 中的两条角平分线 AD和 CE相交于 H ， B=60 o ， F 在 AC 上，且 AE AF= 。 （1）证明： ,B DHE四点共圆； （2）证明：CE平分 DEF。 （23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1 ： 4cos, 3sin, x t y t = + =+ （t为参数） ， C 2 ： 8cos , 3sin , x y = = （ 为参数） 。 （1）化 C 1 ，C 2 的方程为
12、普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 2 t = ，Q为 C 2 上的动点，求 PQ中点 M 到直线 3 32, : 2 x t C y t =+ = + （t 为参数）距离的最小值。 （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图， O为数轴的原点， ,A BM为数轴上三点， C为线段 OM 上的动点，设 x表示 C与 原点的距离， y 表示 C到 A距离 4 倍与 C到 B距离的 6 倍的和. （1）将 y 表示为 x的函数； （2）要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？ 参考答案 一、选择题 （1）D （2
13、）C （3）C （4）A （5）B (6)B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C 二、填空题 (13) 31y x=+ (14) 2 4y x= (15) 15 2 (16)0 三、解答题 (17) 解： 作 /DM AC交 BE 于 N，交 CF 于 M 2222 30 170 10 198DF MF DM=+=+= ， 22 22 50 120 130DE DN EN=+=+=， 22 22 ( ) 90 120 150EF BE FC BC=+=+= 6 分 在 DEF 中，由余弦定理， 222 222 130 150 10 298 16 cos 2 2 1
14、30 150 65 DE EF DF DEF DE EF + + = = = . 12 分 （18）解： （）因为 PAB 是等边三角形， 90PAC PBC=, 所以 Rt PBC Rt PAC,可得 ACBC= 。 如图，取 AB中点 D，连结 PD,CD, 则 PD AB ,CD AB , 所以 AB平面 PDC , 所以 ABPC 。 6 分 （）作 BEPC ，垂足为 E，连结 AE 因为 Rt PBC Rt PAC， 所以 AEPC ， AEBE= 由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故 90AEB = 8 分 因为 Rt AEB Rt PEB，所以 ,AEB PEB CEB都是
15、等腰直角三角形。 由已知 4PC = ，得 2AEBE=， AEB 的面积 2S = 因为 PC 平面 AEB， 所以三角锥 P ABC 的体积 18 33 VSPC= = 12 分 （19）解： （） A类工人中和 B类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 4 分 （）()由 48 5325x+= ，得 5x= ， 6361875y+ + = ，得 15y = 。 频率分布直方图如下 8 分 从直方图可以判断： B类工人中个体间的差异程度更小。 9 分 （ii） 48553 105 115 125 135 145 123 25 25 25 25 25 Ax =+ = ， 6153618 1
16、15 125 135 145 133.8 75 75 75 75 B x =+ = ， 25 75 123 133.8 131.1 100 100 x=+ = A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 估计值分别为 123，133.8 和131.1. （20）解： （）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 1 7 ac ac = += 解得a=4,c=3, 所以椭圆 C的方程为 22 1. 16 7 xy += （）设 M（x,y）,P(x, 1 y ),其中 4,4 .x 由已知得 22 21 22 . xy e xy + = + 而 3 4
17、e= ，故 22 22 1 16( ) 9( ).x yxy+= + 由点 P 在椭圆 C 上得 2 2 1 112 7 , 16 x y = 代入式并化简得 2 9112,y = 所以点 M 的轨迹方程为 47 (4 4), 3 yx= 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 （21）解： （）当 a=1 时，对函数 ()f x 求导数，得 2 () 3 6 9.fx x x= 令 12 () 0, 1, 3.fx x x=解得 列表讨论 (), ()f xfx的变化情况： x (,1) 1 （-1，3） 3 (3, )+ ()f x + 0 0 + ()f x null 极大值 6 null 极小
18、值-26 null 所以， ()f x 的极大值是 (1) 6f =，极小值是 (3) 26.f = （） 2 2 () 3 6 9f xxaxa=的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称. 若 1 1, ( ) 4 afx1,则 2 | ( ) | 12 12 . 1,4 | ( ) | 12f aaaxafxa= 故当 时 不恒成立. 所以使 |()|12( 1,4)f xaxa 恒成立的 a 的取值范围是 14 (,. 45 （22）解： （）在ABC 中，因为B=60， 所以BAC+BCA=120. 因为 AD,CE是角平分线， 所以HAC+HCA=60， 故AHC=120 于
19、是EHD=AHC=120. 因为EBD+EHD=180， 所以 B,D,H,E 四点共圆。 （）连结 BH，则 BH 为 ABC 的平分线，得 HBD =30 由（）知 B，D，H，E 四点共圆， 所以 CED HBD=30 又 AHE EBD=60，由已知可得 EFAD ， 可得 CEF=30 所以 CE 平分 DEF （23）解： （） 22 22 12 :( 4) ( 3) 1, : 1 64 9 xy Cx y C+= += 1 C 为圆心是 (4,3) ，半径是 1 的圆。 2 C 为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。 （）当 2 t = 时， (4,4).(8cos,3sin)PQ ，故 3 (2 4cos,2 sin) 2 M + + 3 C 为直线 270 xy=， M到 3 C 的距离 5 |4cos 3sin 13| 5 d = 从而当 43 cos ,sin 55 =时， d 取得最小值 85 5 （24）解： （） 4| 10| 6| 20|,0 30yx x x=+ （）依题意， x满足 4| 10| 6| 20| 70, 030 xx x + 解不等式组，其解集为 9,23 所以 9,23x
