1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位， 5 2 i i = （A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。 解析： i ii i i 21 5 )2(5 2 5 += + = ，故选择 D。 （2）设变量x，y 满足约束条件： 3 1 23 xy xy xy + .则目标函数 23zxy= + 的最小值为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。 解析：画出不等式 3
2、 1 23 xy xy xy + 表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线 33 2 zx y += 在可行域上平移，知 在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组 = =+ 32 3 yx yx 得 )1,2( ，所以 734 min =+=z ，故选择 B。 （3）命题“存在 0 x R， 0 2 x 0”的否定是 （A）不存在 0 x R, 0 2 x 0 （B）存在 0 x R, 0 2 x 0 （C）对任意的 xR, 2 x 0 （D）对任意的 x R, 2 x 0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 Rx 0 ，使 02 0 x ” ，故选择 D
3、。 （4）设函数 1 () ln( 0), 3 fx x xx= 则 ()y fx= 6 4 2 2 5 2x-y=3 x-y=1 x+y=3 A B A. 在区间 1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B. 在区间 1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C. 在区间 1 (,1) e 内有零点，在区间 (1, )e 内无零点。 D. 在区间 1 (,1) e 内无零点，在区间 (1, )e 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析： 由题得 x x x xf 3 31 3 1 )( = ， 令 0)( xf 得 3x ； 令 0)( xf 得 30 x ； 0)
4、( =xf 得 3=x ，故知函数 )(xf 在区间 )3,0( 上为减函数，在区间 ),3( + 为增函数， 在点 3=x 处有极小值 03ln1 +=若 11 33 3 ab ab +是 与 的等比中项，则 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 【解析】因为 333 = ba ，所以 1=+ba ， 4222) 11 )( 11 =+=+=+ b a a b b a a b ba ba ba ， 当且仅当 b a a b = 即 2 1 = ba 时 “=”成立，故选择 C （7）已知函数
5、 ( ) sin( )( , 0) 4 fx x x R =+的最小正周期为 ，为了得到函数 () cosgx x= 的图象，只要将 ()yfx= 的图象 A. 向左平移 8 个单位长度 B. 向右平移 8 个单位长度 C. 向左平移 4 个单位长度 D. 向右平移 4 个单位长度 【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。 解析：由题知 2= ，所以 ) 8 (2cos) 4 2cos() 4 2( 2 cos) 4 2sin()( =+=+= xxxxxf ，故选择 A。 （8）已知函数 2 2 4, 0 () 4,0 xxx fx xxx + = 则实数 a的取值范围是 A
6、 (,1)(2,) + B (1,2) C (2,1) D (,2)(1,) + 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知 )(xf 在 R上是增函数，由题得 aa 2 2 ，解得 12 a ，故选择 C。 （9）设抛物线 2 2y x= 的焦点为 F，过点 M（ 3，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点， 与抛物线的准线相交于C， BF =2， 则 BCF与 ACF的面积之比 BCF ACF S S = （A） 4 5 （B） 2 3 （C） 4 7 （D） 1 2 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和 综合运算数学的
7、能力，中档题。 解析：由题知 12 12 2 1 2 1 + + = + + = A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S ， 又 3 2 3 2 2 1 | =+= BBB yxxBF 由 A、B、M 三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy = 即 2 3 3 30 3 20 + = A A x x ，故 2= A x ， 4 2 -2 5 x=-0.5 ) A B F C 5 4 14 13 12 12 = + + = + + = A B ACF BCF x x S S ，故选择 A。 （10） ab + 10 ,若关于 x 的不等式 2 ()
8、x b 2 ()ax 的解集中的整数恰有 3 个，则 （A） 01 a （B） 10 a （C） 31 a （D） 63 a 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式， 解析：由题得不等式 2 ()x b 2 ()ax 即 02)1( 222 =+= baabb ，不等式的解集为 11 + a b x a b 或 11 0 + a b x a b 。若不等式的解集为 11 + a b x a b ，又由 ab + 10 得 1 1 0 + a b ，故 2 1 3 a b ，即 3 1 2 0）的公共弦的长为 23，则 =a _。 【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。 解析：由知 2
9、2 260 xy ay+ =的半径为 2 6 a+ ，由图可知 222 )3()1(6 =+ aa 解之得 1=a (15)在四边形 ABCD 中， AB uuur =DC uuur =（1，1） ， 11 3 BA BC BD BA BC BD += uuur uuur uuur uuur uuur uuur ，则四 边形 ABCD 的面积是 【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。 解析：由题知四边形 ABCD 是菱形，其边长为 2 ，且对角线 BD 等于边长的 3 倍，所以 2 1 222 622 cos = + =ABD ，故 2 3 sin =ABD ， 3 2 3 )2( 2
10、 =SABCD 。 （16）用数字 0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上 的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。 解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： 90 1 3 3 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACAC 种；个位、十 位和百位上的数字为 1个偶数 2 个奇数的有： 234 1 3 3 3 2 3 1 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACCCAC 种，所以共有 32423490 =+ 个。 三、解答题：本大题共6 小题，共76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （
11、17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，BC= 5，AC=3，sinC=2sinA () 求 AB的值； () 求sin 2 4 A 的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。 （）解：在ABC 中，根据正弦定理， sin sin ABBC CA = 于是 sin 225 sin C AB BC BC A = （）解：在ABC 中，根据余弦定理，得 222 25 cos 25 AB AC BD A AB AC + = 于是 2 5 sin 1 cos 5 AA= = 从而 22 43
12、sin2 2sin cos ,cos2 cos sin 55 AAA AAA= 所以 2 sin(2 ) sin2 cos cos2 sin 44410 AA A = （18） （本小题满分 12 分） 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件， 求： （） 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望； （） 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件 等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 （）解：由于从 10
13、 件产品中任取 3件的结果为 3 k C ，从 10 件产品中任取 3件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 3 37 kk CC ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等 品的概率为 3 37 3 10 () ,0,12,3 kk PX k k CC C = = 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 X 的数学期望 7217 19 0123 24 40 40 120 10 EX = + + + = （）解：设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件 一等品和 2 件三等品”为事
14、件 A 1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A 2， ”恰好取出 3 件 一等品”为事件 A 3由于事件 A 1，A 2，A 3彼此互斥，且 A=A 1A 2A 3而 12 33 33 10 371 () ,( ) ( 2) ,( ) ( 3) 40 40 120 PA PA PX PA PX CC C = = =, 所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 123 37 1 31 () ( ) ( ) ( ) 40 40 120 120 PA PA PA PA=+=+=+ 40 7 + 120 1 = 120 31 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCD
15、EF 中， FA平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 1 2 AD （）求异面直线 BF 与DE 所成的角的大小； （）证明平面 AMD 平面CDE； （）求二面角 A-CD-E的余弦值。 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向 量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分 12 分. 方法一： （）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角） 为异面直线 BF 与DE 所成的角。设 P为 AD 的中点，连结 EP， PC。因为 FE / = AP，所以 FA / =
16、 EP，同理 AB / = PC。又 FA平面 ABCD，所以 EP平面 ABCD。而 PC，AD 都在平面 ABCD 内,故 EPPC，EPAD。由 ABAD，可得 PCAD 设 FA=a，则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2 ，故CED=60。所以异面直线 BF与 DE 所成的角的大小为 60 （） 证明： 因为 DC DE= 且 M 为 CE的中点， 所以 DM CE ， 连接 MP ， 则 MP CE ， 又 MP DM M=I ，故 CE 平面 AMD ,而 CE 平面 CDE ，所以平面 AMD 平面 CDE （） 因为，所以因为，的中点，连结为解：设 .CDEQDE
17、CE.EQPQCDQ = .ECDAEQPCDPQPDPC 的平面角为二面角，故，所以 = 由（）可得， . 2 2 2 6 EQ aPQaPQEP = ， 于是在 Rt EPQ 中， 3 cos 3 PQ EQP EQ =， 所以二面角 ACDE 的余弦值为 3 3 方法二：如图所示，建立空间直角坐标 系，点 A为坐标原点。设 ，1=AB 依题意得 ()， 001B ( )， 011C ( )， 020D ()， 110E ()， 100F . 2 1 1 2 1 M ， （）解： ()101BF = uuur ， ， ( )011DE = uuur ， 于是 0011 cos . 2 22
18、 BF DE BF DE BF DE + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur， 所以异面直线 BF与 DE所成的角的大小为 0 60 . （）证明：由 11 1 22 AM = uuuur ， ， ( )101CE = uuur ， ， ( )020AD = uuur ， ， 可得 0CE AM = uuur uuuur ， 0CE AD = uuur uuur ，因此， CE AM CE AD， ，又 CE AMDAM AD A =，故 平面 .CDEAMDCDECE 平面，所以平面平面而 （）解：设平面 CDE的发向量为 0 () D0. uCE uxyz uE
19、 = = = uuur uuur ， ， ，则 于是 0 1(1. 0. xz xu yz += = += ， 令 ，可得 ， ， ） 又由题设，平面 ACD的一个法向量为 ).100( ，=v . 3 3 13 100 cos = + = = vu vu vu，所以， 因为二面角 ACDE为锐角，所以其余弦值为 3 3 （20） （本小题满分 12 分） 已知函数 22 () ( 2 3) ( ), x f xxaxaaexR=+ 其中 aR （）当 0a = 时，求曲线 () (1, (1)yfx f= 在点 处的切线的斜率； （）当 2 3 a 时，求函数 ()f x 的单调区间与极值。
20、 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 （）解： .3)1()2()()(0 22 efexxxfexxfa xx =+= ，故，时，当 所以曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 3e （）解： 22 ( ) ( 2) 2 4 x f xxaxaae =+ 令 2 ( ) 0 2 2. 2 2. 3 fx x a xa a aa=，解得 ，或 由 知， 以下分两种情况讨论。 （1） a若 3 2 ，则 a2 2a .当 x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表
21、： x ()a2 ， a2 ()22 aa， 2a ( )+ ，2a + 0 0 + 极大值 极小值 所以 ()f x 在 (2)(2)aa +， 内事增函数，在 (2 2)aa ， 内是减函数。 函数 ()f x 在 2x a= 处取得极大值 2 (2) (2) 3 a f afaae =，且 函数 ()f x 在 2xa=处取得极小值 2 (2) (2)(43). a f afa e =，且 （2） a若 3 2 ，则 a2 2a ，当 x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表： x ()2 a， 2a ()aa 22 ， a2 ( )+ ，a2 + 0 0 + 极大值 极小值
22、 所以 ()f x 在 (2)(2)aa +， 内是增函数，在 (22)aa ， 内是减函数。 函数 ()f x 在 2xa=处取得极大值 2 (2) (2)(43) a f afa e =，且 函数 ()f x 在 2x a= 处取得极小值 2 (2) (2) 3 a f afaae =，且 （21） （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的两个焦点分别为 12 ( ,0) ( ,0)( 0)Fc Fc c 和 ，过点 2 (,0) a E c 的直线与椭圆相交与 ,AB两点，且 121 2 / , 2FA FB FA FB= 。 （）求椭圆的离心
23、率； （）求直线 AB 的斜率； （） 设点C与点A关于坐标原点对称， 直线 2 FB上有一点 (,)( 0)Hmnm 在 1 AFC 的外接圆上，求 n m 的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分 14 分 （）解：由 1 FA/ 2 FB且 12 FA 2FB= ，得 22 11 EF F B 1 EF FA 2 = = ，从而 2 2 a 1 a 2 c c c c = + 整理，得 22 3ac= ，故离心率 3 3 c e a = （）解：由（）得 222 2 2b
24、ac c= ，所以椭圆的方程可写为 222 236x yc+= 设直线 AB 的方程为 2 a ykx c = ，即 (3)ykx c= 由已知设 11 22 (,),(, )Ax y Bx y ，则它们的坐标满足方程组 222 (3) 236 ykx c x yc = += 消去 y 整理，得 22 2 22 2 (2 3 ) 18 27 6 0kx kcx kc c+=. 依题意， 22 33 48 (1 3 ) 0 33 ck k= 1） 。设 11 22 . nn Sabab ab=+, n T = 11 ab- 22 ab+.+(-1 1 ) n nn ab,n N + （）若 1
25、a = 1 b = 1，d=2，q=3，求 3 S 的值； （）若 1 b =1，证明（1-q） 2 * 22 2 2(1 ) (1 ) (1 ) , 1 n nn dq q qS qT n N q += （）若正整数 n 满足 2 nq，设 12 12 , ,., , ,., 12. nn kk k ll l和是，n 的两个不同的 排列， 12 112 . n kk k cabab ab=+， 12 212 . n ll l cabab ab= + 证明 12 cc 。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知 识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和
26、解决问题的能力的能力，满分 14分。 （）解：由题设，可得 1* 21, 3, n nn anb nN = = 所以， 3112233 1133 59 55Sababab= + + =+= （）证明：由题设可得 1n n bq = 则 221 2123 2 . , n nn Saaqaq aq =+ + + + 23 21 2123 4 2 . , n Taaqaqaq aq = + + 式减去式，得 321 22 2 4 2 2( . ) n nn n S T aq aq a q = + + 式加上式，得 222 22 13 21 2( . ) n nn n ST aaq aq += + +
27、 式两边同乘 q，得 321 22 1 3 21 ( ) 2( . ) n nn n qS T aq aq a q += + 所以， 222222 (1 ) (1 ) ( ) ( ) nnnnnn qS qT S T qS T+=+ 321 2 * 2 2( ) 2(1 ) , 1 n n dq q q dq q nN q =+ = K ()证明： 11 22 12 1 2 ()() () nn kl kl kln cc a ab a ab a ab= + + K 1 11 1 22 1 1 ()( ) ( ) n nn k l db k l dbq k l dbq = + +K 因为 1 0, 0,db所以 112 11 22 1 ()( ) ( ) n nn cc kl klq klq db =+ +K （1） 若 nn kl ，取i=n （2） 若 nn kl= ，取 i 满足 ii kl 且 ,1 jj kli jn= + 由（1）,(2)及题设知， 1 in且 2112 11 22 1 1 1 ()( )( )() ii ii ii cc kl klq k lq klq db =+ + +K 当 ii kl 同理可得 12 1 1 cc db ，因此 12 cc 综上， 12 cc
