1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（理工农医类） 一 - 选择题（每小题 5 分，共 60 分） （ 1）已知集合 M=x|-3x 5,N=x|-5x5,则M N= (A) x|-5x5 (B) x|-3x5 (C) x|-5x 5 (D) x|-30,V=S-T (B) A0, V=S+T （ D） A （）讨论函数 ()f x 的单调性； （）证明：若 5a 。 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题 记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4-1
2、：几何证明选讲 已知 ABC 中， AB=AC, D 是 ABC 外接圆劣弧 null AC 上的点（不与点 A,C 重合） ，延 长 BD 至 E。 （）求证： AD 的延长线平分 CDE； （）若 BAC=30， ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ， 求 ABC 外接圆的面积。 （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标 方程为 cos（ 3 ） =1， M,N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。 （）写出 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标； （）
3、设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 () | 1| | |f xx xa=+。 （）若 1,a = 解不等式 () 3fx ； （）如果 x R , () 2fx ,求 a 的取值范围。 参考答案 (1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) 1 3 (15) 4 (16)9 (17)解 : 在 ABC 中， DAC=30 , ADC=60 DAC=30 , 所以 CD=AC=0.1 又
4、BCD=180 60 60 =60， 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 5 分 在 ABC 中， sin sin AB AC BCA ABC = 即 sin 60 3 2 6 , sin15 20 AC AB + = o o 因此， 32 6 0.33 20 BD km + =。 故 B， D 的距离约为 0.33km。 12分 （ 18） （ I）解法一： 取 CD 的中点 G，连接 MG， NG。 设正方形 ABCD， DCEF 的边长为 2， 则 MG CD， MG=2， NG= 2 因为平面 ABCD平面 DCED， 所以 MG平面 DCEF， 可得 MN
5、G 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。 因为 MN= 6 ，所以 6 sin 3 NMG=为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分 解法二： 设正方形 ABCD， DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原 点，分别以射线 DC， DF， DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间 直角坐标系如图 . 则 M（ 1,0,2） ,N(0,1,0),可得 MN uuuur =(-1,1,2). 又 DA uuur =（ 0， 0， 2）为平面 DCEF 的法向量， 可得 6 cos , 3| MN DA MN DA MN DA = uuuur uuur uuuur uuur uuuur u
6、uur 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 6 |cos , | 3 MN DA = uuuur uuur 6 分 （）假设直线 ME 与 BN 共面， 8分 则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。 又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线， 所以 AB/EN。 又 AB/CD/EF， 所以 EN/EF，这与 EN EF=E 矛盾，故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线 . 12分 （ 19）解： （）依题意知 1 (4,)
7、 3 XB ， 即 X 的分列为 X 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 6 分 （）设 i A 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ， i=1， 2. i B 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分” ， i=1， 2. 依题意知 11 2 2 ( ) ( ) 0.1, ( ) ( ) 0.3PA PB PA PB= =， 11 11 11 22 A AB AB AB AB= UUU , 所求的概率为 11 11 11 22 () ( ) ( ) ( )PA PAB PAB PAB PAB=+（） = 11 11 11 2 2 (
8、)() ()() )() ()()PA PB PA PB PA PB PA PB+（ =0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28+= 12分 （ 20）解： （）由题意， c=1,可设椭圆方程为 22 22 1 1 xy bb + = + ， 因为 A在椭圆上，所以 22 19 1 14bb += + ，解得 2 3b = ， 2 3 4 b = （舍去） 所以椭圆方程为 22 1 43 xy +=。 4 分 （）设直线 AE 方程为： 3 (1) 2 ykx=+，代入 22 1 43 xy + = 得 22 2 3 (3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 1
9、2 0 2 kx k kx k+= 设 (x ,y ) EE E , (x ,y ) FF F ,因为点 3 (1, ) 2 A 在椭圆上，所以 2 2 3 4( ) 12 2 34 E k x k = + 3 2 EE ykx k=+ 8分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 2 2 3 4( ) 12 2 34 F k x k + = + 3 2 FF ykx k= + + 所以直线 EF 的斜率 ()21 2 FE FE EF FE FE yy kxx k k xx xx + = = 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2 。 12分 (2
10、1)解： (1) ()f x 的定义域为 (0, )+ 。 2 11(1)(1) () axaxa xxa fx xa xx + =+ = = 2分 （）若 11a=即 2a = ,则 2 (1) () x fx x = 故 ()f x 在 (0, )+ 单调增加。 （）若 11a ,故 12a ,则当 (1,1)xa 时， () 0fx 故 ()f x 在 (1,1)a 单调减少，在 (0, 1),(1, )a + 单调增加。 （）若 11a,即 2a ,同理可得 ()f x 在 (1, 1)a 单调减少，在 (0,1),( 1, )a+单 调增加 . （）考虑函数 () ()gx f x
11、x=+ 2 1 (1)ln 2 x ax a x x=+ + 则 2 11 () ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1) aa gx x a x a a xx = + = g 由于 1a ，即 ()gx在 (0, + )单调增加，从而当 12 0 xx时有 12 () () 0gx gx，即 1212 () () 0fx fx x x+，故 12 12 () () 1 fx fx xx ，当 12 0 x x 12 分 （ 22）解： （）如图，设 F 为 AD 延长线上一点 A， B， C， D 四点共圆， CDF=ABC 又 AB=AC ABC=ACB, 且ADB=ACB, ADB=CD
12、F, 对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF, 即 AD 的延长线平分CDE. （）设 O为外接圆圆心，连接 AO交 BC 于 H,则 AHBC. 连接 OC,A 由题意OAC=OCA=15 0 , ACB=75 0 , OCH=60 0 . 设圆半径为 r ,则 3 23 2 rr+=+得 2r = ,外接圆的面积为 4 。 （23）解： （）由 cos( ) 1 3 =得 13 (cos sin)1 22 += 从而 C 的直角坐标方程为 13 1 22 x y+= 即 32xy+= 02 (2,0) 23 23 (,) 23 32 M N = = 时， ，所以 时， ，所以 5 分 （
13、）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为 ) 3 32 ,0( 所以 P 点的直角坐标为 3 (1, ), 3 则 P 点的极坐标为 23 (,), 36 所以直线 OP的极坐标方程为 ,(,) = + （24）解： （）当 1a = 时， () | 1| | 1|fx x x=+ 由 ()f x 3 得 |1|1|xx+3 （）x-1时，不等式化为 1-x-1-x3 即-2x3 不等式组 1 () 3 x fx 的解集为 3 , ) 2 + 综上得， () 3fx 的解集为 33 (, ,) 22 +U 5 分 （）若 1, ( ) 2 | 1 |afx x=，不满足题设条件 若 21, 1, ( ) 1 , 1 2(1),1 x axa afx aax xa x + = + ()f x 的最小值为 1a 所以 ,() 2xRfx 的充要条件是 |1|2a ，从而 a 的取值范围为 (,13,) +U 10 分
