1、绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1至 2 页，第卷 3 至 4 页，共150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收
2、回。 参考公式 如果事件 ,A B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ()()()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1下列命题是真命题的为 A若 11 x y = ,则 x y= B
3、若 2 1x = ,则 1x = C若 x y= ,则 x y= D若 x y ,则 22 x y)的两个焦点, 若 12 FF， ， (0,2 )Pb是正 三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D3 8公差不为零的等差数列 n a 的前 n项和为 n S .若 4 a 是 37 aa与 的等比中项, 8 32S = ,则 10 S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 9如图，在四面体 ABCD中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误 的为 P Q M N A B C D y xO (, )Pxy (,0)Qx A . AC BD B
4、 . AC 截面 PQMN C . AC BD= D . 异面直线 PM 与 BD所成的角为 45 o 10甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 11如图所示，一质点 (, )Pxy在 xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变， 其在 x轴上的投影点 (,0)Qx 的运动速度 ()VVt= 的图象大致为 A B C D 12若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线 3 y x= 和 2 15 9 4 yax x= +都相切，则 a等于
5、 A 1 或 25 - 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或 7 第卷 注意事项： 第卷2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量 (3,1)a= r ， (1, 3)b= r ， (,2)ck= r ，若 ()ac b r rr 则 k = 14体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O的表面积相等，则球 O的体积等于 15若不等式 2 4(1)xkx +的解集为区间 ,ab，且 1ba = ,则 k = 16设直线系 :cos ( 2
6、)sin 1(0 2)Mx y + = ,对于下列四个命题： A存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交 O ()Vt t O ()Vt t O ()Vt t O ()Vt t C存在一个圆与所有直线相切 D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数 32 9 () 6 2 f xx x xa= + （1）对于任意实数 x， ()f xm 恒成立，求 m的最大值； （2）若方程 () 0fx= 有且仅有一个实根，求
7、a的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案 进行评审 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 1 2 .若某人获得两个“支持” ， 则给予 10 万元的创业资助； 若只获得一个 “支持” ， 则给予 5 万元的资助； 若未获得 “支持” ， 则不予资助 求： (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率 19 （本小题满分 12 分） 在 ABC中， ,ABC所对的边分别为 ,abc， 6 A = ， (1 3 ) 2cb+ = （1）求 C； （2）若 13CB CA=
8、+ uuuruur ，求 a,b， c 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA平面 ABCD， 4PA AD=， 2AB= 以 BD的 中点 O为球心、 BD为直径的球面交 PD于点 M （1）求证：平面 ABM 平面 PCD； （2）求直线 PC与平面 ABM 所成的角； （3）求点 O到平面 ABM 的距离 21 （本小题满分 12 分） 数列 n a 的通项 22 2 (cos sin ) 33 n nn an =，其前 n 项和为 n S (1) 求 n S ; (2) 3 , 4 n n n S b n = 求数列 n b 的前
9、 n项和 n T . 22 （本小题满分 14 分） 如图，已知圆 :G 222 (2)x yr+=是椭圆 2 2 1 16 x y+ = 的内接 ABC 的内切圆, 其中 A为椭圆的左顶点 （1）求圆 G 的半径 r; （2） 过点 (0,1)M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 EF， 两点，证明：直线 EF 与圆 G 相切 O A P B C M D x y A B 0 C M E F G 绝密启用前 秘密启用后 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5分，共60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
10、1 12 答案 A D B A C C B C C D B A 1. 由 11 x y = 得 x y= ,而由 2 1x = 得 1x= ,由 x y= , ,x y 不一定有意义,而 x y 得 不到 22 x y 故选A. 2. 由 2 0 340 x xx + 得 40 x或 01x ,故选D. 3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+ 25-50)=45, 故选 B. 4. 由 ( ) (1 3 tan ) cos cos 3 sin 2sin( ) 6 fx x x x x x =+ = + = + 可得最小正周期为 2 , 故选A. 5. 12 22 ( 2008) (2
11、009) (0) (1) log log 1ffff+ =+=+=,故选C. 6. 122 (1 ) 1 nn n nn n Cx Cx Cx x+=+L ,当 5, 4xn= = 时, 4 (1 ) 1 6 1 35 37 n x+ = = 能被7 整除, 故选C. 7. 由 3 tan 62 3 c b =有 22 22 344( )cb ca=,则 2 c e a = = ,故选B. 8. 由 2 437 aaa= 得 2 111 (3)(2)(6)ad adad+=+ +得 1 230ad+ = , 再由 81 56 832 2 Sa d=+ =得 1 278ad+ = 则 1 2,
12、3da=,所以 10 1 90 10 60 2 Sad=+=,.故选C 9. 由 PQ AC ， QM BD， PQ QM 可得 AC BD，故 A正确； 由 PQ AC 可得 AC 截面 PQMN ，故 B正确； 异面直线 PM 与 BD所成的角等于 PM 与 PN 所成的角，故 D正确； 综上 C是错误的，故选 C. 10. 所有可能的比赛分组情况共有 22 42 412 2! CC = 种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6种，故 选 D. 11. 由图可知， 当质点 (, )Pxy在两个封闭曲线上运动时， 投影点 (,0)Qx 的速度先由正到 0、 到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点
13、(, )Pxy在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错误；质点 (, )Pxy在开始时沿直线运动，故投影点 (,0)Qx 的速度为常数，因此 C 是 错误的，故选 B. 12. 设过 (1, 0) 的直线与 3 y x= 相切于点 3 00 (, )x x ，所以切线方程为 32 00 0 3( )yx xxx= 即 23 00 32yxxx=，又 (1, 0) 在切线上，则 0 0 x = 或 0 3 2 x = ， 当 0 0 x = 时，由 0y = 与 2 15 9 4 yax x=+相切可得 25 64 a= ， 当 0 3 2 x = 时，由 27 27 44 yx=与 2 15
14、 9 4 yax x= +相切可得 1a = ，所以选 A. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4分，共16 分。 13. 0 14. 86 15. 3 2 16. ABC 13.因为 (3 , 1),ac k= rr 所以 0k = . 14.设球的半径为 R，依题设有 223 6( 8) 4 R= ，则 2 6 R = ，球的体积为 3 2 3 44686 33 R = 15.由数形结合，半圆 2 4y x=在直线 (1)ykx= + 之下必须 21 2, 1xx= = ，则直线 (1)ykx=+过点 (1, 3 ) ，则 3 2 k = 16. 因为 cos ( 2)sin 1xy
15、+ =所以点 (0,2)P 到 M 中每条直线的距离 22 1 1 cos sin d = + 即 M 为圆 C : 22 (2)1xy+ =的全体切线组成的集合,所以存在圆心在 (0,2),半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交, 也存在圆心在 (0,2),半径小于 1 的圆与 M 中所有直线均不相 交, 也存在圆心在 (0,2),半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切, 故 ABC 正确, 又因 M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D 错误, 故命题中正确的序号是 ABC 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。 17解：(1) 2 () 3 9 6 3( 1)( 2)fx x
16、 x x x= += , 因为 (,)x+, ()f xm , 即 2 39(6)0 xx m + 恒成立, 所以 81 12(6 ) 0m= , 得 3 4 m ，即 m的最大值为 3 4 (2) 因为 当 1x ;当 12x 时, () 0fx 时, () 0fx ; 所以 当 1x= 时, ()f x 取极大值 5 (1) 2 f a= ; 当 2x= 时, ()f x 取极小值 (2) 2f a= ; 故当 (2) 0f 或 (1) 0f 时, 方程 () 0fx= 仅有一个实根. 解得 2a . 18解： （1）设 A表示资助总额为零这个事件，则 6 11 () 264 PA = （
17、2）设 B表示资助总额超过 15 万元这个事件，则 666 1111 () 15 6 22232 PB = + + = 19解： （1）由 (1 3 ) 2cb+ = 得 1 3 sin 2 2 sin bB cC =+ = 则有 55 sin( ) sin cos cos sin 66 6 sin sin CCC = = 1313 cot 2222 C+=+ 得 cot 1C = 即 4 C = . （2） 由 13CB CA=+ uuuvuuv 推出 cos 1 3ab C =+ ；而 4 C = , 即得 2 13 2 ab=+ , 则有 2 13 2 (1 3 ) 2 sin sin
18、ab cb ac AC =+ += = 解得 2 13 2 a b c = =+ = 20解：方法（一） ： （1）证：依题设，在以为直径的球面上，则. 因为平面，则，又， 所以平面，则， 因此有平面，所以平面平面. （）设平面与交于点， 因为，所以平面，则， 由（1）知，平面，则 MN 是PN 在平面 ABM 上的射影， 所以 PNM 就是 PC与平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD= tan tan 2 2 PD PNM PCD DC = 所求角为 arctan 2 2 （3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到 平面 ABM 距离的一半，由（
19、1）知，平面于 M， 则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在 RtPAD 中， 4PA AD= = ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点， 22DM = ，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二： O N A P B C M D z x y （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ， (0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 设平面 ABM 的一个法向量 (, ,)nxyz= r ， 由 ,nABnAM r uuur r uuuur 可得： 20 220 x y
20、z = + = ， 令 1z = ，则 1y = ，即 (0,1, 1)n= r . 设所求角为 ，则 22 sin 3 PC n PC n = uuur r uuur r ， 所求角的大小为 22 arcsin 3 . （3）设所求距离为 h，由 (1, 2, 0), (1, 2, 0)OAO= uuur ，得： 2 AO n h n = uuur r r 21. 解: （1）由于 22 2 cos sin cos 333 nn n =, 故 3 123 456 32313 ()()( ) kkk Saaaaaa aaa =+ + +L 22 22 2 2 22 2 12 45 (3 2)(
21、31) (3)( 6) (3) kk k + + = + + + + + +L 13 31 18 5 (9 4) 22 2 2 kkk+ =+ =L , 31 3 3 (4 9 ) , 2 kkk kk SSa = 2 32 31 31 (4 9 ) (3 1) 1 3 2 1 , 222 6 kkk kkk k SSa k = + = 故 1 ,32 36 (1)(13) ,31 6 (3 4) ,3 6 n n nk nn Snk nn nk = + = + = ( * kN ) (2) 3 94 , 424 n n nn S n b n + = 2 113 22 9 4 , 24 4 4
22、 n n n T + =+L 1 122 94 413 , 24 4 n n n T + =+L 两式相减得 12321 99 19 9941 94 19 44 3 13 13 8 , 1 24 4 4 2 4 2 1 4 n n nn n nn T + + =+ =+ = L 故 23 21 81 3 . 332 2 n nn n T + = 22解: （1）设 B 0 2,ry+（），过圆心 G 作 GD AB 于 D,BC交长轴于 H 由 GD HB ADAH = 得 0 2 6 36 yr r r = + , 即 0 6 6 rr y r + = (1) 而点 B 0 2,ry+（）在
23、椭圆上, 22 2 0 (2 ) 12 4 ( 2)( 6) 1 16 16 16 rrrrr y + = = = (2) 由(1)、 (2)式得 2 15 8 12 0rr+=,解得 2 3 r = 或 6 5 r = （舍去） (2) 设过点 M(0,1)与圆 22 4 (2) 9 xy+=相切的直线方程为: 1y kx = (3) 则 2 21 2 3 1 k k + = + ,即 2 32 36 5 0kk+= (4) 解得 12 941 941 , 16 16 kk + = 将(3)代入 2 2 1 16 x y+ = 得 22 (16 1) 32 0kxkx+ +=,则异于零的解为 2 32 16 1 k x k = + 设 111 (, 1)Fxkx+ , 222 (, 1)Ex kx+ ，则 12 1222 32 32 , 16 1 16 1 kk xx= = + + 则直线 FE的斜率为： 22 11 1 2 21 12 3 116 4 EF kx kx k k k xx kk + = 于是直线 FE的方程为: 2 11 22 32 323 1( ) 16 1 4 16 1 kk yx+=+ + + 即 37 43 yx= 则圆心 (2,0)到直线 FE的距离 37 223 3 9 1 16 d = = + 故结论成立.
