1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 4
2、0 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1在复平面内，复数 (1 2 )zi i=+对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B 【解析】 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. (1 2 ) 2 2zi i i i i=+=+=+，复数 z 所对应的点为 ( )2,1 ，故选 B. 2已知向量 a、 b 不共线， c k= a+b(kR),d=ab,如果 c / d，那么 （ ） A 1k = 且 c 与 d 同向 B 1k = 且 c 与 d 反向 C 1k = 且 c 与 d 同向 D 1k = 且
3、 c 与 d 反向 【答案】 D 【解析】 本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a ()1, 0= ， b ()0,1= ，若 1k = ，则 c=a+b ( )1,1= ， d=ab ()1, 1=， 显然， a 与 b 不平行，排除 A、 B. 若 1k = ，则 c= a+b ( )1,1= ， d= a+b ( )1,1= ， 即 c / d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. 3 为了得到函数 3 lg 10 x y + = 的图像， 只需把函数 lgy x= 的图像上所有的点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移
4、 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】 C 【解析】 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A () ()lg 3 1 lg10 3yx x=+= +， B () ()lg 3 1 lg10 3yx x=+= ， C () 3 lg 3 1 lg 10 x yx + =+= ， D () 3 lg 3 1 lg 10 x yx = . 故应选 C. 4若正四棱柱 111 1 ABCD ABC D 的底面边长为 1
5、， 1 AB 与底面 ABCD成 60角，则 11 AC 到底面 ABCD的距离为 （ ） A 3 3 B 1 C 2 D 3 【答案】 D 【解析】 本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， 1 60BAB =，如图， 1 1tan60 3BB = = ，故选 D. 5 “ 2( ) 6 kkZ =+ ”是“ 1 cos 2 2 = ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充
6、要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当 2( ) 6 kkZ =+ 时， 1 cos 2 cos 4 cos 332 k = += = ， 反之，当 1 cos 2 2 = 时，有 ()22 36 kkkZ =+=+， 或 ()22 36 kkkZ =，故应选 A. 6若 5 (1 2 ) 2 ( ,ab ab+=+ 为有理数） ，则 ab+ = （ ） A 45 B 55 C 70 D 80 【答案】 C 【解析】 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ()() () ( ) ( ) ( ) () 5012345 012345 55555 12 2
7、 2 2 2 2 2CCCCCC+= + + + + + 1 5 2 20 20 2 20 4 2 41 29 2=+ + + =+ ， 由已知，得 41 29 2 2ab+=+， 41 29 70ab+ =+=.故选 C. 7用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A 324 B 328 C 360 D 648 【答案】 B 【解析】 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知 识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 2 9 98 72A = = （个） ， 当 0 不排在末位时，有 1
8、11 488 4 8 8 256AAA= （个） ， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 72 256 328+ = （个）.故选 B. 8点 P 在直线 :1ly x=上，若存在过 P 的直线交抛物线 2 y x= 于 ,AB两点，且 |PA AB= ，则称点 P 为“ 点” ，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线 l上的所有点都是“ 点” B直线 l上仅有有限个点是“ 点” C直线 l上的所有点都不是“ 点” D直线 l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】 A 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问 题的能力. 属于
9、创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 ()( ), , 1Amn Pxx ， 则 ()2,2 2Bmxnx， 2 ,AB y x=在上， 2 2 21(2) nm nx mx = += 消去 n,整理得关于 x 的方程 22 (4 1) 2 1 0 xmxm + = （ 1） 22 2 (4 1) 4(2 1) 8 8 5 0mmmm= = + 恒成立， 方程（ 1）恒有实数解，应选 A. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题
10、号 二 15 16 17 18 19 20 总分 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9 1 lim 1 x x xx x = _. W【答案】 1 2 【解析】 本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、 基本运算的考查. () ( ) ()() 2 11 1 1 1 1 lim lim lim lim 12 1 11 1 xx x x xx xx x xx x x x x xx x = = + + ，故应填 1 2 . 10若实数 ,x y满足 20 4 5 xy x y + 则 syx= 的最小值为
11、_. 【答案】 6 【解析】 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 4, 2xy=时， 24 6syx=为最小值 . 故应填 6 . 11设 ()f x 是偶函数，若曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 1，则该曲线在 (1, (1)f处的切线的斜率为 _. 【答案】 1 【解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查. 取 () 2 f xx= ，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在 (1, (1)f处的切线的斜率为 1 . 故应填 1 . 12 椭圆 22 1 92 xy +=的焦
12、点为 12 ,FF， 点 P 在椭圆上， 若 1 |4PF = ，则 2 |PF =_； 12 FPF 的小大为 _. 【答案】 2, 120 【解析】 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 22 9, 3ab=， 22 92 7cab=， 12 27FF = ， 又 112 4, 2 6PF PF PF a=+=， 2 2PF = ， 又由余弦定理，得 ( ) 2 22 12 24 27 1 cos 224 2 FPF + = = ， 12 120FPF =，故应填 2, 120 . 13若函数 1 ,0 () 1 (),
13、0 3 x x x fx x = 则不等式 1 |()| 3 fx 的解集为 _. 【答案】 3,1 【解析】 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考 查. （ 1）由 0 1 |()| 3 0 11 3 3 x fx x x ，则当 1 ,x k 时， ( ) 0fx ，函数 ( )f x 单调递增， 若 0k ，函数 ( )f x 单调递增， 当 1 ,x k + 时， ( ) 0fx ， 则当且仅当 1 1 k ， 即 1k 时， 函数 ()f x 在 ()1,1 内单调递增； 若 0k 的离心率为 3 ，右准线方程为 3 3 x = （）求双曲线 C
14、 的方程； （） 设直线 l是圆 22 :2Ox y+=上动点 00 00 (, )( 0)Px y xy 处的切线， l与双曲线 C 交于不同的两点 ,A B，证明 AOB 的大小为定值. 【解法 1】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得 2 3 3 3 a c c a = = ， 解得 1, 3ac=， 222 2bca=， 所求双曲线 C 的方程为 2 2 1 2 y x = . （）点 ()( ) 00 00 ,0Px y xy 在圆 22 2xy+ = 上， 圆在点 () 00 ,P
15、x y 处的切线方程为 () 0 00 0 x y yxx y = ， 化简得 00 2xx yy+ = 由 2 2 00 1 2 2 y x xx yy = += 及 22 00 2xy+ = 得 ( ) 22 2 000 34 4 82 0 xxx x +=， 切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且 2 0 02x ， 设 A、 B 两点的坐标分别为 ( ) ( ) 11 2 2 ,x yxy， 则 2 00 12 12 22 48 , 34 34 x x xx xx xx += = ， cos OA OB AOB OA OB = uuur uuur uuur uuur ， 且
16、 ()() 12 12 12 01 02 2 0 1 22OA OB x x y y x x x x x x y = + = + uuur uuur ， () 2 12 0 1 2 012 2 0 1 42 2 x xxxx x =+ + ( ) 22 22 00 00 22 00 82 82 81 4 342 34 34 x x xx xx =+ + 22 00 22 00 82 2 8 0 3434 xx xx =+= . AOB 的大小为 90 .w.k.s.5.u.c.o.m 【解法 2】 （）同解法 1 （）点 ()( ) 00 00 ,0Px y xy 在圆 22 2xy+ = 上
17、， 圆在点 () 00 ,Px y 处的切线方程为 () 0 00 0 x y yxx y = ， 化简得 00 2xx yy+=. 由 2 2 00 1 2 2 y x xx yy = + = 及 22 00 2xy+ = 得 () 22 2 000 34 4 82 0 xxx x+= () 22 2 000 34 8 82 0 xyyx x+= 切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B， 2 0 340 x ， 设 A、 B 两点的坐标分别为 ( ) ( ) 11 2 2 ,x yxy， 则 22 00 12 12 82 2 8 , 34 34 xx xx yy =， 12 12 0
18、OA OB x x y y= + = uuuruuur ， AOB 的大小为 90 . （ 22 00 2xy+ = 且 00 0 xy ， 22 00 02,02xy ，从而当 2 0 340 x 时， 方程和方程的判别式均大于零）. 20 （本小题共 13 分） 已知数集 ( ) 12 1 2 , 1 , 2 nn Aaa a aa an= LL具有性质 P ：对任意的 (),1ij i j n ， ij aa 与 j i a a 两数中至少有一个属于 A. （）分别判断数集 1, 3, 4 与 1, 2, 3, 6 是否具有性质 P ，并说明理由； （）证明： 1 1a = ，且 12
19、11 1 12 n n n aa a a aa a + = + L L ； （）证明：当 5n= 时， 12345 ,aaaaa成等比数列. .k.s.5. 【解析】 本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等 数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题 . （）由于 34 与 4 3 均不属于数集 1, 3, 4 ，该数集不具有性质 P. 由于 661236 1 2,1 3,1 6, 2 3, , , , , , 231236 都属于数集 1, 2, 3, 6 ， 该数集具有性质 P. （） 12 , n Aaa a= L 具有性质 P， nn aa
20、与 n n a a 中至少有一个属于 A， 由于 12 1 n aa a ，故 nn aa A . 从而 1 n n a A a =， 1 1a = 12 1 n aa a= ，故 ( )2,3, , kn aa Ak n=L . 由 A 具有性质 P 可知 ()1, 2, 3, , n k a Ak n a = L . 又 121 nn nn nn aa aa aa aa L ， 12 1 12 , , nn n n nn nn aa a a aa aa aa a a = =L ， 从而 12 1 121 nn nn nn nn aa aa aa a a aa aa +=+LL， 12 11 1 12 n n n aa a a aa a + = + L L . （）由（）知，当 5n= 时，有 55 23 43 , aa aa aa = = ，即 2 5243 aaaa= = ， 12 5 1 aa a=， 34 aa A ， 由 A 具有性质 P 可知 4 3 a A a . 由 2 24 3 aa a= ，得 3 4 23 a a A aa =，且 3 3 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa = = ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa =， 即 12345 ,aaaaa是首项为 1，公比为 2 a 成等比数列.
