1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工农医类） 一 . 选择题：本小题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 函数 () sin cosf xxx= 最小值是 A -1 B. 1 2 C. 1 2 D.1 1 【答案】 ： B 解析 1 () sin2 2 f xx= min 1 () 2 fx = .故选 B 2.已知全集 U=R，集合 2 | 2 0Axx x=，则 U A 等于 A x 0 x2 B x 0 x2 C x x2 D x x0 或 x2 2 【答案】 ： A 解析 计算可得 0Axx
2、= 02CuA x x= .故选 A 3.等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，且 3 S =6， 1 a =4， 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C.- 2 D 3 3 【答案】 ： C 解析 313 3 6( ) 2 Saa= + 且 31 1 2 =4 d=2aa da= +.故选 C 4. 2 2 (1 cos )x dx + 等于 A B. 2 C. -2 D. +2 4 【答案】 ： D 解析 2 sin ( sin ) sin( ) 2 222 2 2 x xx x =+ = + + =+ 原式 .故选 D 5.下列函数 ()f x 中，满足“对任意 1 x ， 2
3、 x （ 0， +） ，当 1 x 2 ()f x 的是 A ()f x = 1 x B. ()f x = 2 (1)x C . ()f x = x e D () ln( 1)fx x=+ 5 【答案】 ： A 解析 依题意可得函数应在 (0, )x+上单调递减，故由选项可得 A 正确。 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A 2 B .4 C. 8 D .16 6 【答案】 ： C 解析 由算法程序图可知， 在 n =4 前均执行 ”否 ”命令， 故 n=24=8. 故选 C 7.设 m， n 是平面 内的两条不同直线， 1 l ， 2 l 是平面 内的两条相交直线，则
4、 / 的 一个充分而不必要条件是 A.m / 且 l / B. m / l 且 n / l 2 C. m / 且 n / D. m / 且 n / l 2 7 【答案】 ： B 解析 若 12 12 / , / , . , .mlnlmn ，则可得 / . 若 / 则存在 12 2 1 ,/,/mlnl 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1， 2， 3， 4 表示命中， 5， 6， ， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结
5、果。经随机模拟产生了 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8 【答案】 ： B 解析 由随机数可估算出每次投篮命中的概率 24 2 60 5 p = 则三次投篮命中两次为 22 3 (1 )CP P0.25 故选 B 9.设 a， b， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线， ac a=c,则b c的值一定等于 A
6、 以 a， b 为两边的三角形面积 B 以 b， c 为两边的三角形面积 C以 a， b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b， c 为邻边的平行四边形的面积 9 【答案】 ： C 解析 依题意可得 cos(,) sin(,)bc b c bc b a ac S= = = rr r r rr r r rr null 故选 C. 10.函数 () ( 0)f x ax bx c a=+ 的图象关于直线 2 b x a = 对称。据此可推测，对任意的 非零实数 a， b， c， m， n， p，关于 x 的方程 2 () () 0mfx nfx p+ +=的解集都不可能是 A. 1, 2 B 1,
7、 4 C 1, 2, 3, 4 D 1, 4,16, 64 10. 【答案】 ： D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程 2 () () 0mf x nf x P+ +=中 ,mn p分别赋 值求出 ()f x 代入 () 0fx= 求出检验即得 . 第二卷 （非选择题共100分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若 2 1 abi i =+ （ i 为虚数单位， ,ab R ）则 ab+ =_ 11. 【答案】 ： 2 解析：由 22(1) 1 1( i abi i ii + =+ =+ ，所以 1, 1,ab= = 故
8、2ab+ = 。 12某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛， 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶 图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为 91，复核员在复核时， 发现有一个数字 （茎叶图中的 x） 无法看清。 若记分员计算失误， 则数字 x 应该是 _ 12. 【答案】 ： 1 解析：观察茎叶图， 可知有 88 89 89 92 93 90 92 91 94 91 1 9 x x + =。 13.过抛物线 2 2( 0)ypxp=的焦点 F 作倾斜角为 45 o 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线 段 AB 的长为 8，则 p =_ 13. 【答案】 ： 2
9、解析：由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx= ，联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx = + = = ，又 2 22 (1 1 ) (3 ) 4 8 2 4 p AB p p= +=。 14.若曲线 3 () lnf xax x=+存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _. 14. 【答案】 ： (,0) 解析：由题意可知 2 1 () 2fx ax x =+，又因为存在垂直于 y 轴的切线， 所以 2 3 11 20 (0)(,0) 2 ax a x a xx += 。 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为 1，
10、第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的 数都是前两位同学所报出的数之和； 若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为 _. 15. 【答案】 ： 5 解析：由题意可设第 n 次报数，第 1n+ 次报数，第 2n+ 次报数分别为 n a ， 1n a + ， 2n a + ， 所以有 12nn n aa a + +=，又 12 1, 1,aa=由此可得在报到第 100 个数时，甲同学拍手 5 次。 三解答题 16.（ 13 分） 从集合 1, 2, 3, 4, 5 的所有非空子集 中，等可
11、能地取出一个。 （ 1） 记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率； （ 2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望 E 16、解： （ 1）记 ”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A 基本事件总数 n= 123 55 5 CCC+ 45 55 CC+ =31 事件 A 包含的基本事件是1,4,5、2，3，5、1，2，3，4 事件 A 包含的基本事件数 m=3 所以 3 () 31 m pA n = （II）依题意， 的所有可能取值为 1，2，3，4，5 又 1 5 5 (1) 31 31 C p = = ， 2 5 10 (2)
12、 31 31 C p = =， 3 5 10 (3) 31 31 C p = = 4 5 5 (4) 31 31 C p = =， 5 5 1 (5) 31 31 C p = = 故 的分布列为： 1 2 3 4 5 P 5 31 10 31 10 31 5 31 1 31 从而 E 1 = 5 31 +2 10 31 +3 10 31 +4 5 31 +5 180 31 31 = 17（ 13 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ABCD平面 ， NB ABCD平面 ，且 MD=NB=1， E 为 BC 的中点 （ 1） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值
13、（ 2） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 17.解析： （ 1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 Dxyz 依题意，得 1 (0,0,0) (1,0,0) (0,0,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), ( ,1,0) 2 DAM C BNE 。 1 ( , 0, 1), ( 1, 0,1) 2 NE AM = = uuuv uuuuv 10 cos , 10| | NE AM NE AM NE AM = = uuuv uuuuv uuuv uuuuv null uuuuv uuuuv
14、Q ， 所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 10 10 .A （ 2）假设在线段 AN 上存在点 S ，使得 ES 平面 AMN . (0,1,1)AN = uuuv Q , 可设 (0, , ),AS AN = uuuvuuv 又 11 (,1,0), (, 1,) 22 EA ES EA AS =+= uuuvuuvuuvuuv . 由 ES 平面 AMN ，得 0, 0, ES AM ES AN = = uuuv uuuuv null uuuv uuuv null 即 1 0, 2 (1) 0. += += 故 1 2 = ，此时 11 2 (0, , ),| | 22 2
15、AS AS= uuuvuuv . 经检验，当 2 2 AS = 时， ES 平面 AMN . 故线段 AN 上存在点 S ，使得 ES 平面 AMN ，此时 2 2 AS = . 18、 （本小题满分 13 分） 如图，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y=Asin x(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3， 2 3 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120 o （ I）求 A , 的值和 M， P 两点间的距离； （ II）应如何设计，才能使折线段赛道 MN
16、P 最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及 应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一 （）依题意，有 23A = ， 3 4 T = ，又 2 T = ， 6 = 。 23sin 6 yx = 当 4x = 是， 2 23sin 3 3 y = = (4,3)M 又 (8, 3)p 22 43 5MP=+= （）在MNP 中 MNP=120， MP=5， 设 PMN= ，则 0 60 由正弦定理得 00 sinsin120 sin(60 ) MP NP MN = 10 3 sin 3 NP = , 0
17、10 3 sin(60 ) 3 MN = 故 0 10 3 10 3 10 3 1 3 sin sin(60 ) ( sin cos ) 33 2 NP MN += + = + 0 10 3 sin( 60 ) 3 =+ Q0 0）与 x 轴 的左、右两个交点，直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直， S 为 l 上 异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 null AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标； （ II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ,使得 O,M,S 三 点共线？若存在，求出
18、 a 的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】 解法一： ( )当曲线 C 为半圆时， 1,a = 如图，由点 T 为圆弧 null AB 的三等分点得 BOT=60或 120 . (1)当 BOT=60时 , SAE=30 . 又 AB=2,故在 SAE 中 ,有 tan 30 , ( , );SB AB s t 2 323 = = 3 3 (2)当 BOT=120时 ,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 3 ) ,综上 , 23 (1, ) 3 S 或S(1,2 3) ( )假设存在 (0)aa ,使得 O,M,S 三点共线 . 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 ,故 BT O
19、S . 显然 ,直线 AS 的斜率 k 存在且 k0,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa= + . 由 2 2 22 2 22 42 2 2 1 (1 ) 2 0 () x y ak x akx ak a a ykxa += + += =+ 得 设点 22 2 22 (, ), ( ) , 1 TT T ak a Tx y x a ak = + 故 22 22 1 T aak x ak = + ,从而 22 2 () 1 TT ak ykxa ak =+= + . 亦即 22 22 22 2 (,). 11 aak ak T ak ak + 22 22 22 (,0), ( , ) 11
20、ak ak Ba BT ak ak = + uuur Q 由 () xa ykxa = =+ 得 (,2 ), (,2 ).s aak OS aak= uuur 由 BTOS ,可得 22 22 2 24 0 12 ak ak BT OS ak + = = + uuuruuur 即 22 22 240ak ak += 0, 0, 2ka a=Q 经检验 ,当 2a = 时 ,O,M,S 三点共线 . 故存在 2a = ,使得 O,M,S 三点共线 . 解法二 : ( )同解法一 . ( )假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线 . 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 ,故 SM BT .
21、显然 ,直线 AS 的斜率 k 存在且 K0,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa= + 由 2 2 22 2 22 22 2 2 1 (1 ) 2 0 () x y ab x ak x ak a a ykxa += + += =+ 得 设点 (, ) TT Tx y ,则有 42 2 22 () . 1 T ak a xa ak = + 故 22 22 22 22 22 22 ,() ( ). 111 TTT aak ak aak ak xykxaT aak ak ak ak = + 从而 亦即 2 2 1 (,0), , T BT SM T y Ba k k ak xa ak = = =
22、 Q 故 由 () xa ykxa = =+ 得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 2 2()yakakxa = O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 ,即 2 2()ak a k a= . 0, 0, 2aK a=Q 故存在 2a = ,使得 O,M,S 三点共线 . 20、 （本小题满分 14 分） 已知函数 32 1 () 3 f x x ax bx=+,且 ( 1) 0f = (1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 ()f x 的单调区间； （ 2）令 1a = ,设函数 ()f x 在 121 2 ,( )x xx x 处取得极值，记点 M ( 1 x , 1
23、 ()f x )， N( 2 x , 2 ()f x )， P( ,()mfm), 12 x mx ,请仔细观察曲线 ()f x 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （ I）若对任意的 m ( 1 x , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最 小值，并证明你的结论； （ II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时 , 1 2 1a 恒成立，且仅在 1x = 处 ( ) 0fx= ，故函数 ()f x 的单调增区间为 R 当 1a 同理可得，函数 ()f x 的单调增区间为 (,1) 和 (1 2 , )a+，
24、 单调减区间为 (1,1 2)a 综上： 当 1a 时， 函数 ()f x 的单调增区间为 (,12)a 和 (1, ) + ， 单调减区间为 (1 2 , 1)a； 当 1a = 时，函数 ()f x 的单调增区间为 R； 当 1a . 2 (2) ( 2) 0gm= + （ ） 即 15 21,25 1 m mm m m 或解得 又因为 13m ,所以 m 的取值范围为 (2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 21、本题（ 1） 、 （ 2） 、 （ 3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分，如 果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B
25、铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑，并将所选题号填入括号中， （ 1） （本小题满分 7 分）选修 4-4：矩阵与变换 已知矩阵 M 23 11 所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A (13,5),试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标 （ 2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: 12cos 22sin x y = + =+ ( 为参数 )试判断他们的公共点个数 （ 3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 解不等式 2x-1x+1 21. (1)解 :依题意得 由 2 3 , 1 1 M = 得 1M
26、= ,故 1 1 3 , 1 2 M = 从而由 2 3 13 1 1 5 x y = 得 1 3 13 1 13 3 5 2 1 2 5 1 13 2 5 3 x y + = + 故 2, (2, 3) 3, x A y = = 即 为所求 . (2)解 :圆的方程可化为 22 (1)( 2)4xy+=. 其圆心为 (1,2)C ,半径为 2. (3)解 :当 x0 时 ,原不等式可化为 21 1, 0 xx x+解得 又 0,x xQ 不存在 ; 当 1 0 2 x时 ,原不等式可化为 21 1, 0 xx x+解得 又 11 0,0; 22 xxQ 当 11 ,2 22 xx 综上 ,原不等式的解集为 |0 2.xx
