1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（文史类） 一、选择题：本大题12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合 M=x|-3x 5,N=x|x-5 或x5，则M UN= (A) x|x-5或x-3 (B) x|-5x5 (C) x|-3x5 (D) x|x-3 或 x5 （2）已知复数 12zi= ，那么 1 z = （A） 525 55 i+ （B） 525 55 i （C） 12 55 i+ （D） 12 55 i (3)已知 n a 为等差数列，且 7 a -2 4 a =-1, 3 a =0,则公差d= （A）-2
2、（B）- 1 2 （C） 1 2 （D）2 （4）平面向量 a 与b 的夹角为 0 60 ，a=(2,0), | b |=1，则 | a+2b |= （A） 3 （B）2 3 （C）4 （D）12 （5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 0 60 纬线长和赤道长的比值为 （A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25 （6）已知函数 ()f x 满足：x 4,则 ()f x = 1 () 2 x ；当 x4 时 ()f x = (1)fx+ ，则 2 (2 log 3)f + = （A） 1 24 （B） 1 12 （C） 1 8 （D） 3 8 (7) 已知圆C 与直线x-
3、y=0 及 x-y -4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆C 的方程为 （A） 22 (1)(1)2xy+= (B) 22 (1)(1)2xy += (C) 22 (1)(1)2xy+= (D) 22 (1)(1)2xy+ += （8）已知 tan 2 = ，则 22 sin sin cos 2cos += （A） 4 3 （B） 5 4 （C） 3 4 （D） 4 5 （9）ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的 点到 O 的距离大于 1 的概率为 （A） 4 （B） 1 4 （C） 8 （D） 1 8 （10）某店
4、一个月的收入和支出总共记录了 N个数据 1 a ， 2 a ，。 N a ，其中收入记为 正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空 白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A0,V=S-T (B) A0, V=S+T （D）A0, V=S+T （11）下列4 个命题 1 11 :(0,),()() 23 x x px + 31 2 1 p: (0, ),() log 2 x x x + 41 3 11 :(0,),()log 32 x p xx 的图象如图所示，则 = （15）若函数 2 () 1 x a fx x + = + 在
5、1x = 处取极值，则 a = （16）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）。 则该几何体的体积为 3 m 三解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分） 等比数列 n a 的前n 项和为 n s ，已知 1 S , 3 S , 2 S 成等差数列 （）求 n a 的公比q； （）求 1 a - 3 a =3，求 n s （18）（本小题满分12分） 如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和D点的仰角分别为 0 75 ， 0 30 ，于
6、水 面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 0 60 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点 距离相等，然后求 B，D的距离（计算结果精确到 0.01km， 2 1.414， 6 2.449） （19）（本小题满分12分） 如图，已知两个正方形 ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为 AB，DF 的中点。 （）若 CD=2，平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN的长； （）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 （20）（本小题满分 12分） 某企业有两个分厂生产某种零件， 按规定内径尺寸 （单位： mm） 的值落在29.94， 30.06
7、） 的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中各抽出 500 件，量其内径尺寸，的结果如下表： 甲厂： 乙厂： （1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； （2） 由以上统计数据填下面 22 列联表，并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”。 甲 厂 乙 厂 合计 优质品 非优质品 合计 附： 22 2 11 22 12 21 12 12 ()( ) 0.05 0.01 , 3.841 nnn nn px k x nnnn k + = 6.635 （21）（本小题满分 12分） 设 2 () ( 1) x fx eax x=+，且曲线 ()y fx= 在 1x= 处的
8、切线与 x轴平行。 （）求 a的值，并讨论 ()f x 的单调性； （）证明：当 0, 2 时， |(cos) (sin)|2ff 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 12 分 （21）解： （） 2 ( ) ( 1 2 1) x fx eax x ax=+.由条件知， (1) 0f = ，故 32 0 1aaa+ =. 2 分 于是 2 ( ) ( 2) ( 2)( 1) xx fx e x x ex x=+= + +. 故当 (,2)(1,)x +U 时， ( )f x 0； 当 (2,1)x 时， ( )f x 0. 从而 ()f x 在 (,2) ， (1,
9、)+ 单调减少，在 (2,1) 单调增加. 6分 （）由（）知 ()f x 在 0,1单调增加，故 ()f x 在 0,1的最大值为 (1)f e= ，最小值为 (0) 1f = . 从而对任意 1 x ， 2 x 0,1 ，有 12 () () 12fx fx e . 10 分 而当 0, 2 时， cos ,sin 0,1. 从而 (cos ) (sin ) 2ff 12 分 (22)解： （）由题意，c=1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb + = + 。 因为 A 在椭圆上，所以 22 19 1 14bb + = + ，解得 2 b =3， 2 b 3 4 （舍去）。
10、所以椭圆方程为 22 1 43 xy += 4分 （）设直线方程：得 3 (1) 2 ykx=+，代入 22 1 43 xy + = 得 22 2 3 3+4 +4 (3 2 ) 4( ) 12 0 2 kx k kx k+=（） 设（ E x ， E y ），（ F x ， F y ）因为点（1， 3 2 ）在椭圆上，所以 2 2 3 4( ) 12 2 34 E k x k = + ， 3 2 EE ykx k=+。 8分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 2 2 3 4( ) 12 2 34 F k x k + = + ， 3 2 FF ykx k= + + 。 所以直线 EF的斜率 ()21 2 FE FE EF FE FE yy kxx k k xx xx + = = 。 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2 。 12 分
