1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1. 已知全集 UR= ，集合 2 12Mx x=和 21,1,2,Nxxkk=L的关系 的韦恩（ Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 B. 2个 C. 1 个 D. 无穷多个 【解析】由 2 12Mx x=得 31 x ，则 3,1= NM ，有 2 个，选 B. 2. 设 z 是复数， ()az表示满足 1 n z = 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， ()
2、ai = A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】 ()ai = 1= n i ，则最小正整数 n 为 4，选 C. 3. 若函数 ()yfx= 是函数 (0, 1) x yaa a= 且 的反函数，其图像经过点 (,)aa，则 ()f x = A. 2 log x B. 1 2 log x C. 1 2 x D. 2 x 【解析】 xxf a log)( = ，代入 (,)aa，解得 2 1 =a ，所以 ()f x = 1 2 log x ，选 B. 4.已知等比数列 n a 满足 0, 1, 2, n an=L，且 2 525 2( 3) n n aa n =，则当 1n 时，
3、21 23 221 log log log n aa a + =L w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. (2 1)nn B. 2 (1)n+ C. 2 n D. 2 (1)n 【解析】 由 2 525 2( 3) n n aa n = 得 n n a 22 2= ， 0 n a ， 则 n n a 2= ， + 3212 loglog aa 2 122 )12(31log nna n =+= ，选 C. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 5. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平
4、面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】选 D. 6. 一质点受到平面上的三个力 123 ,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1 F ， 2 F 成 0 60 角，且 1 F ， 2 F 的大小分别为 2 和 4，则 3 F 的大小为 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 w.w.w.k.s.5.u
5、.c.o.m 【解析】 28)60180cos(2 00 21 2 2 2 1 2 3 =+= FFFFF ，所以 72 3 =F ，选 D. 7 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m A. 36 种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 24 3 3 1 2 1 2 =ACC ；若小张、小赵都入选，则 有选法 12 2 3 2 2
6、 =AA ，共有选法 36 种，选 A. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发 ,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的 速度曲线分别为 vv 乙甲 和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和 ，下列判断中一定正确 的是 A. 在 1 t 时刻，甲车在乙车前面 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m B. 1 t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 0 t 时刻，两车的位置相同 D. 0 t 时刻后，乙车在甲车前面 【解析】由图像可知，曲线 甲 v 比 乙 v 在 0 0 t 、 0 1 t 与 x 轴所围成图形面积大，则在 0 t 、
7、 1 t 时刻，甲车均在乙车前面，选 A. w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 12 题） 9. 随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 12 , n aa aL，则图 3 所示 的程序框图输出的 s = ， s 表示的样本的数字特征 是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“： =”） 【解析】 s = n aaa n + 21 ；平均数 10. 若平面向量 a ， b 满足 1=+ba ， ba + 平行于 x 轴， )1,2( =b ， 则 =a . w.w.w.k.s
8、.5.u.c.o.m 【解析】 )0,1(=+ba 或 )0,1( ，则 )1,1()1,2()0,1( =a 或 )1,3()1,2()0,1( =a . 11巳知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 2 ，且 G 上一点到 G 的两 个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 【解析】 2 3 =e ， 122 =a ， 6=a ， 3=b ，则所求椭圆方程为 1 936 22 =+ yx . 12已知离散型随机变量 X 的分布列如右表若 0EX = ， 1DX = ，则 a = ， b = 【解析】 由题知 12 11 =+ cba ， 0 6 1 =+ ca
9、， 1 12 1 211 222 =+ ca ， 解得 12 5 =a ， 4 1 =b . （二）选做题（ 13 15 题，考生只能从中选做两题） 13 （坐标系与参数方程选做题）若直线 += = .2 ,21 : 1 kty tx l （ t 为参数）与直线 2 , : 12. xs l ys = = （ s 为参数）垂直，则 k = 【解析】 1)2( 2 = k ，得 1=k . 14 （不等式选讲选做题）不等式 1 1 2 x x + + 的实数解为 【解析】 1 1 2 x x + + 2 3 02 )2()1( 02 21 22 + + + + x x xx x xx 且 2x
10、. 15 （几何证明选讲选做题）如图 4，点 ,ABC是圆 O上的点， 且 0 4, 45AB ACB= = ， 则圆 O的面积等于 【解析】 解法一： 连结 OA、 OB ， 则 0 90=AOB ， 4=AB ， OBOA = ， 22=OA ， 则 8)22( 2 = 圆 S ；解法二： 2224 45sin 4 2 0 = RR ，则 8)22( 2 = 圆 S . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16 (本小题满分 12分） 已知向量 )2,(sin = a 与 )cos,1( =b 互相垂直，其中 (0, ) 2 （ 1）求
11、 sin 和 cos 的值； （ 2）若 10 sin( ) ,0 10 2 = ，求 cos的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解： （ 1） a 与 b 互相垂直，则 0cos2sin = ba ，即 cos2sin = ，代入 1cossin 22 =+ 得 5 5 cos, 5 52 sin = ，又 (0, ) 2 ， 5 5 cos, 5 52 sin = . （ 2 ） 2 0 ， 2 0 ， 22 = EAGE EAGE EAGE ，设异 面直线 11 E GEA与 所成角为 ，则 3 3 3 2 1sin = . 19 （本小题满分 14 分） 已知曲线 2 :Cy
12、 x= 与直线 :20lx y +=交于两点 (, ) AA A xy 和 (, ) BB B xy ，且 AB x x 记曲线 C 在点 A和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D 设点 (,)Pst 是 L 上的任一点，且点 P 与点 A和点 B 均不重合 （ 1）若点 Q是线段 AB 的中点，试求线段 PQ的中点 M 的轨迹方程； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ 2）若曲线 222 51 :2 4 0 25 Gx ax y y a +=与 D 有公共点，试求 a 的最小值 解： （ 1）联立 2 xy = 与 2+= xy 得 2,1 = BA
13、 xx ，则 AB 中点 ) 2 5 , 2 1 (Q ，设线段 PQ的 中点 M 坐标为 ),( yx ，则 2 2 5 , 2 2 1 t y s x + = + = ，即 2 5 2, 2 1 2 = ytxs ，又点 P 在曲 线 C 上， 2 ) 2 1 2( 2 5 2 = xy 化简可得 8 11 2 += xxy ，又点 P 是 L 上的任一点，且不与点 A和 点 B 重合，则 2 2 1 21 x ，即 4 5 4 1 x ，中点 M 的轨迹方程为 8 11 2 += xxy （ 4 5 4 1 x ） . （ 2）曲线 222 51 :2 4 0 25 Gx ax y y
14、a+=， 即圆 E ： 25 49 )2()( 22 =+ yax ，其圆心坐标为 )2,(aE ，半径 5 7 =r 由图可知， 当 20 a 时， 曲线 222 51 :2 4 0 25 Gx ax y y a += 与点 D 有公共点； 当 0a 时，要使曲线 222 51 :2 4 0 25 Gx ax y y a +=与点 D 有 公共点，只需圆心 E 到直线 :20lx y +=的距离 5 7 2 | 2 |22| = + = aa d ，得 0 5 27 m 时， 2)222( =+ m 解得 12 =m 当 0 ， 若 0m ， 1 1k m ， 函数 ()yfxkx=有两个零
15、点 )1(2 )1(442 k km x = ，即 1 )1(11 = k km x ； 若 0m ， 1 1k m ( 0m )，或 1 1k m （ 0m 的切线 n l ，切点为 (, ) nnn Px y （ 1）求数列 nn x y与 的通项公式； （ 2）证明： 135 21 1 2sin 1 nn n x x xxx x x y + L. 解：（ 1 ）设直线 n l ： )1( += xky n ，联立 02 22 =+ ynxx 得 0)22()1( 2222 =+ nnn kxnkxk ，则 0)1(4)22( 2222 =+= nnn kknk ， 12 + = n n
16、k n （ 12 + n n 舍去） 2 2 2 2 2 )1(1 + = + = n n k k x n n n ，即 1+ = n n x n ， 1 12 )1( + + =+= n nn xky nnn （ 2）证明： 12 1 1 1 1 1 1 1 + = + + + = + n n n n n x x n n 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 + = + = nn n n n xxxx n n n n x x xxxx + 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x + = + = 1 1 12 1 ，可令函数 xxxf sin2)( = ，则 xxf cos21)( = ， 令 0)( =xf ，得 2 2 cos =x ，给定区间 ) 4 ,0( ，则有 0)( xf ，则函数 )(xf 在 ) 4 ,0( 上 单调递减， 0)0()( = fxf ，即 xx sin2 在 ) 4 ,0( 恒成立，又 43 1 12 1 0 + n ， 则有 12 1 sin2 12 1 + + nn ，即 n n n n y x x x sin2 1 1 + . w.w.w.k.s .5.u.c.o.m .w.k.s.5.u.c.o.m
