1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一，选择题： （ 1） 设集合 ()() 5, 7 3 0Sxx Txx x=+ ，则“ ab”是“ acbd ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8） 已知双曲线 2 2 1 1( 0) 2 x b b =的左、右焦点分别为 1 F、 2 F ，其一条渐进线方程为 ,yx= 点 0 (3, )p y 在该双曲线上，则 12 PF PF = uuur uuuur null A 12 B 2 C 0 D 4 （ 9） 如图， 在半径为 3 的球面上有 A.
2、B.C 三点， 90ABC= o ， BA=BC， 球心 O 到平面 ABC 的距离是 32 2 ，则 B.C 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 （ 10） 某企业生产甲、乙两种产品。已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、 每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A 12万 B 20万 C 25万 D 27万 （ 11） 2位男生和 3 位女生共 5 位同学
3、站成一排，若男生甲不站两端， 3 为女生中有且只有 两位女生相邻，则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 （ 12） 已知函数 ()f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 (1)(1)()xfx xfx+=+ ，则 5 () 2 f 的值是 A 0 B 1 2 C 1 D 5 2 第卷 本卷共 10 小题，共 90 分 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . （ 13）抛物线 2 4y x= 的焦点到准线的距离是 . （ 14） 6 1 (2 ) 2 x x 的展开式的常数项是 .（用数
4、字 作答） （ 15）如图，已知正三棱柱 111 ABC ABC 的各条棱长都相等， M 是侧棱 1 CC 的中点，侧异面直线 1 AB和BM 所成的角的大小是 . （ 16） 设 V是已知平面 M上所有向量的集合， 对于映射 :,f VV ,aV 记 a的象为 ().f a 若映射 :f VV 满足：对所有 ,ab V 及任意实数 、 都有 ()()(),f ab fa fbf += + 则 称为平面 M 上的线性变换，现有下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换， ,( ) ()();abV fab fa fb += +、则 若 e 是平面 M 上的单位向量，对 ,() ,aV fa
5、ae f =+设则是平面 M 上的线性变换； 对 ,aV 设 () ,f aa= 则 f 是平面 M 上的线性变换； 设 f 是平面 M 上的线性变换， aV ，则对任意实数 k 均有 () ().f ka kf a= 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， A、 B 为锐角， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 且 510 sin ,sin .AB= （）求 A+B 的值； （）若 21,ab a= 求、b、c 得值 . （
6、 18） （本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外 人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） ，某旅游公 司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游， 其中 3 4 是省外游客， 其余是省内游客， 在省外游客中有 1 3 持金卡，在省内游客中有 2 3 持银卡 . （）在该团中随即采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率 . （ 19） （本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形
7、 ABEF 所在平面互 相垂直， ABE 是等腰直角三角形， AB=AE,FA=FE,AEF=45. （）求证： EF平面BCE； （）设线段 CD、 AE 的中点分别为 P、 M，求证： PM平面BCE； （）求二面角 F-BD-A的大小. （20） （本小题满分 12 分） 已知函数 32 () 2 2fx x bx cx= +的图象在与 x轴交点处的切线方程是 5 10.yx= （）求函数 ()f x 的解析式； （）设函数 1 () () , ) 3 gx fx mx x=+若g( 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 ()gx取得极值时对应的自变量 x 的值 . （ 21） （
8、本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1( ) xx abo ab +=的左、右焦点分别为 12 FF、 ,离心率 2 2 e= ，右准线 方程为 x=2. （）求椭圆的标准方程； （）过点 1 F 的直线 l 与该椭圆相交于 M、 N 两点，且 22 226 |, 3 FM FN+= uuuur uuuur 求直线 l 的方程式 . （ 22） （本小题满分 14 分） 设数列 n a 的前 n 项和为 , n s 对任意的正整数 n，都有 51 nn as= + 成立，记 4 (). 1 n n n a bnN a + + = （）求数列 n a 与数列 n b 的通项公式； （）
9、设数列 n b 的前 n 项和为 R n ，是否存在正整数 k，使得 4 k R k 成立？若存在， 找出一个正整数 k;若不存在，请说明理由； （）记 221 (), | nnn n cbb nN c + = 设数列 的前 n 项和味 n T ，求证：对任意正整数 n，都有 3 . 2 n T 数学（文史类）参考答案 一 选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分 . (1)C (2)C (3)B (4)D (5)A (6)D (7) B (8)C (9)B (10)D (11)B (12)A 二填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分 .
10、(13) 2 (14) -20 (15) 90 (16) 134 三解答题 (17)本小题主要考查同角三角函数间的系统、两角和差的三角函数公式、正弦定理等基础 知识及基本运算能力 . 解() A、 B 为锐角， sinA= 5 5 ,sinB= 10 10 , cosA= 5 52 sin1 2 = A ,cosB= 10 103 sin1 2 = B cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= 2 2 10 10 * 5 5 10 103 5 52 = 0AB ，故 函数 () 0gx= 无极值。 m 1 时， () 0gx= 有两个实根， 1 1 (2 1 ) 3 x m=，
11、2 1 (2 1 ) 3 x m=+， 当 x 变化时， ()gx、 ()gx的变化情况如下表： 故在 m (,1) 时，函数 ()gx有极值： 当 1 (2 1 ) 3 x m=时 ()gx有极大值； 当 1 (2 1 ) 3 x m=+时 ()gx有极大值。 12 分 （ 21）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问 题及推理运算能力。 解： （）由条件有 2 2 2 2 c a a c = = 解得 a= 2 ,c=1 22 1bac = 所以，所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y+= .4 分 （）由（）知 1 (1,0)F 、 2 (1, 0)F
12、 若直线 L 的斜率不存在，则直线 L 的方程为 x= 1， 将 x= 1 代入椭圆方程的 2 2 y = 不妨设 M 2 (1, ) 2 、 N 2 (1, ) 2 22 22 (2, ) (2, ) (4,0)FM FN += += uuuuur uuuur 22 |4FM FN += uuuuur uuuur ,与题设矛盾。 直线 l的斜率存在 设直线 l的斜率为 k ，则直线 l的方程为 (1)ykx= + 设 11 2 2 (, ) (, )M xy Nxy、 联立 2 2 1 , 2 (1) x y ykx += =+ 消 y得 22 2 2 (1 2 ) 4 2 2 0kx kx
13、 k+= 由根与系数的关系知 2 12 2 4 12 k xx k += + ，从而 12 12 2 2 (2) 12 k yykxx k += += + 又 211222 (1,), (1,)F Mx yFNx y= = uuuur uuuur ， 22 1212 (2,)F MFN xx yy+=+ uuuur uuuur 222 22 12 1 2 22 22 42 |()() 82 2 ()() 12 12 4(16 9 1) 441 FM FN x x y y kk kk kk +=+ + =+ + + = + uuuur uuuur 42 2 42 4(16 9 1) 2 26 (
14、) 441 3 kk kk + = + 化简得 42 40 23 17 0kk= 解得 2 1k = 或 2 17 40 k = （舍） 1k = 所求直线 l的方程为 1yx=+或 1yx= （ 22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解： （）当 1n= 时， 11 1 1 51, 4 aa a=+= 又 11 51, 5 1 nnn n aSa S + =+ = + 11 5 nnn aaa + = ，即 1 1 4 nn aa + = 数列 n a 成等比数列，其首项 1 1 4 nn aa + = 1 4( ) 4 1 1( ) 4 n n n a + = （）不存在正整数 k ，使得 4 k R k 成立 下证：对任意的正整数 n，都有 4 k R n 成立 由（）知 5 4 (4) 1 n n b =+ 21 2 2 21 55 8 1 (4) 1 () 1 4 520 8 16 1 16 4 15 16 40 88 (16 1)(16 4) kk k k kk k kk bb +=+ + =+ + = + Q
