1、绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 参考公式： 样本数据 12 , n x xxL 的方差 22 11 (), nn ii s xx x x = = = 其中 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上 . 1.若复数 12 429, 69zizi=+ =+，其中 i 是虚数单位，则复数 12 ()zzi 的实部为 . 【答案】 20 【解析】略 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 o ， |2,| 3=ab ，则向量 a 和向量 b 的数量积 =nullab . 【答案】 3 【解析】 3 2
2、3 3 2 = =nullab 。 3.函数 32 ( ) 15 33 6fx x x x= +的单调减区间为 . 【答案】 (1,11) 【解析】 2 () 3 30 33 3( 11)( 1)fx x x x x = +， 由 (11)(1)0 x x+在闭区间 ,0 上的图象如图所示，则 = . 【答案】 3 【解析】 3 2 T = ， 2 3 T = ，所以 3= ， 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m）分别为 2.5， 2.6， 2.7， 2.8， 2.9，若从中一次随机 抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【答案】 0.2 【解析】略 6.某
3、校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1， 2， 3， 4， 5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次， 投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s = . 【答案】 2 5 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 W = . 【答案】 22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它 们的体积比为 . 【答案】 1： 8 【解析】略 9.在平面直角坐标系 xoy 中，点
4、 P 在曲线 3 :103Cy x x= +上， 且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的 坐标为 . 【答案】 (2,15) 【解析】略 10.已知 51 2 a = ，函数 () x f xa= ，若实数 ,mn满足 () ()f mfn ，则 ,mn的大 开始 0S 1T 2 STS 10S 2TT + WST+ 输出 W 结束 Y N 小关系为 . 【答案】 mn 【解析】略 11.已知集合 2 |log 2Ax x=， (,)B a= ，若 A B 则实数 a 的取值范围是 (, )c + ，其中 c = . 【答案】 4 【解析】由 2 log 2
5、x 得 04x ，所以 c =4。 12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： （ 1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （ 2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行； （ 3）设 和 相交于直线 l ，若 内有一条直线垂直于 l ，则 和 垂直； （ 4）直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 . 上面命题中，真 命题 的序号 （写出所有真命题的序号） . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】略 13如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1212 ,A ABB为椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +
6、=的 四个顶点， F 为其右焦点，直线 12 A B 与直线 1 BF相交于点 T，线 段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 27 5e = 【解析】用 ,abc表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转 化解得离心率 . 14 设 n a 是公比为 q 的等比数列， |1q ，令 1( 1, 2, ) nn ba n=+ = L 若数列 n b 有连续四项在集合 53, 23,19,37,82 中，则 6q = . 【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90
7、 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤 . 15 （本小题满分 14 分） x y A 1 B 2 A 2 O T M 设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin ) =ab （ 1）若 a 与 2bc垂直，求 tan( ) + 的值； （ 2）求 |+bc的最大值 ; （ 3）若 tan tan 16 = ，求证： a b . 【解析】由 a 与 2bc垂直， (2) 2 0 =ab c ab ac ， 即 4sin()8cos()0 + +=， tan( ) 2 + = ； (sin cos ,4cos 4sin
8、) += + bc 2 |+bc 22 sin 2sin cos cos =+ + 22 16cos 32cos sin 16sin + 17 30sin cos = 17 15sin 2= ， 最大值为 32，所以 |+bc的最大值为 42。 由 tan tan 16 = 得 sin sin 16cos cos = ， 即 4cos 4cos sin sin 0 =， 所以 a b . 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABC A B C 中， E,F 分别是 11 A B,AC的中点，点 D 在 11 BC 上， 11 A DBC 求证： （ 1） EF ABC平面
9、 （ 2） 111 A FD BB C C平面 平面 【解析】证明： （ 1）因为 E,F 分别是 11 A B,AC 的中 A B C A 1 B 1 C 1 E F D 点，所以 EF/BC，又 EF 面ABC ， BC 面ABC ，所以 EF ABC平面 ； （ 2 ）因为直三棱柱 111 ABC A B C ，所以 111 BBABC面 ， 11 BB A D ，又 11 A DBC ，所以 111 A DBC面B ，又 11 A DAFD面 ，所以 1 A FD BB C C平面 平面 。 17 （本小题满分 14 分） 设 n a 是公差不为零的等差数列， n S 为其前 n 项和
10、，满足 2222 23 457 7aaaa,S+ =+ = （ 1）求数列 n a 的通项公式及前 n 项和 n S ； （ 2）试求所有的正整数 m ，使得 1 2 mm m aa a + + 为数列 n a 中的项 . 解析： （ 1）设公差为 d ，则 2222 25 43 aaaa=， 由性质得 43 43 3( ) ( )da a da a+=+， 因为 0d ， 所以 43 0aa+ = ， 即 1 250ad+ = ， 又由 7 7S = 得 1 76 77 2 ad +=， 解得 1 5a = ， 2d = 所以 n a 的通项公式为 27 n an= ，前 n 项和 2 6
11、n Sn n= 。 （ 2） 1 2 2725 23 mm m aa ( m )( m ) a(m) + + = ，令 23mt = ， 1 2 42 mm m aa (t )(t ) at + + = 8 6t t =+， 因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为 1 ， 当 1t = ， 2m = 时， 8 63t t +=， 257 3 =，是数列 n a 中的项； 1t = ， 1m = 时， 8 615t t +=，数列 n a 中的最小项是 5 ，不符合。 所以满足条件的正整数 2m = 。 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 22 1 :( 3)
12、( 1) 4Cx y+ +=和圆 22 2 :( 4) ( 5) 4Cx y+= （ 1）若直线 l 过点 (4,0)A ，且被圆 1 C 截得的弦长为 23，求 直线 l 的方程； （ 2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的 直线 12 ll和 ，它们分别与圆 1 C 和圆 2 C 相交，且直线 1 l 被圆 1 C 截 得的弦长与直线 2 l 被圆 2 C 截得的弦长相等， 试求所有满足条件的 点 P 的坐标 . 【解析】 (1) 0y = 或 7 (4) 24 yx= ， (2)P 在以 C 1 C 2 的中垂线上，且与 C 1 、 C 2 等腰直角三角形，利用
13、几何关系计算可得 点 P 坐标为 313 (,) 22 或 51 (, ) 22 。 19.(本小题满分 16 分 ) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单 价为 m 元，则他的满意度为 m ma+ ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 n na+ .如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为 1 h 和 2 h ，则他对这两种交易的 综合满意度为 12 hh . 现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、 B 两种产品 的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为
14、 A m 元和 B m 元，甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为 h 甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙 (1) 求 h 甲 和 h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式；当 3 5 A B mm= 时，求证： h 甲 = h 乙 ； (2) 设 3 5 A B mm= ，当 A m 、 B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (3) 记 (2)中最大的综合满意度为 0 h ，试问能否适当选取 A m 、 B m 的值，使得 0 hh 甲 和 x y O 1 1 . . 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (4
15、) 求 h 甲 和 h 乙 关于 A m 、 B m 的表达式；当 3 5 A B mm= 时，求证： h 甲 = h 乙 ； (5) 设 3 5 A B mm= ，当 A m 、 B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (6) 记 (2)中最大的综合满意度为 0 h ，试问能否适当选取 A m 、 B m 的值，使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 (1) =,=, 12 5 3 20 AB AB AB AB mm mm hh mm mm + + 乙甲 ( 3,12, 5, 20) AB mm 当 3
16、 5 A B mm= 时， 2 3 5 =, 3 5 ( 20)( 5) 12 5 B BB B B m mm h m m = + + 甲 2 3 5 =, 3 20 ( 5)( 20) 3 5 B BB B B m mm h m m = + + 乙 显然 =hh 乙甲 (2)当 3 5 A B mm= 时， 2 2 11 =, 20 5 1 1 ( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1 B BB BB B B m h mm mm m m = + + + 甲 由 111 5,20 , 20 5 B B m m 得 ， 故当 11 20 B m = 即 20, 12 BA m
17、m=时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 20 (本小题满分 16 分 ) 设 a 为实数，函数 2 () 2 ( )| |f x x xaxa=+ . (1) 若 (0) 1f ，求 a 的取值范围； (2) 求 ()f x 的最小值； (3) 设函数 () (), (, )hx f x x a=+，直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式 () 1hx 的 解集 . 【解析】 （ 1）若 (0) 1f ，则 2 0 |1 1 1 a aa a a （ 2）当 x a 时， 22 () 3 2 ,f x x ax a=+ 2 2 min (), 0 2 , 0 () 2 (),
18、0 ,0 3 3 fa a a a fx a a fa a = 当 x a 时， 22 () 2 ,f xx axa=+ 2 min 2 (), 0 2, 0 () (), 0 2, 0 faa aa fx fa a aa = 综上 2 2 min 2, 0 () 2 ,0 3 aa fx a a = (3) (, )x a+时， () 1hx 得 22 32 10 xaxa +， 22 2 4 12( 1) 12 8aa a= = 当 66 22 aa 或 时， 0, ( , )xa + ； 当 66 22 a 得 22 32 32 ()()0 33 aaaa xx xa + 1） 26 (,) 22 a 时， (, )xa+ 2） 22 , 22 a 时， 2 32 ,) 3 aa x + + 3） 62 (, 22 a 时， 22 32 32 (, , ) 33 aaaa xa + U
