1、绝密考试结束前 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部 分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 球的表面积公式 棱柱的体积公式 2 4SR= VSh= 球的体积公式 其中S
2、表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 3 3 4 RV = 棱台的体积公式 其中R表示球的半径 )( 3 1 2211 SSSShV += 棱锥的体积公式 其中S 1 、S 2 分别表示棱台的上、下底面积， 1 3 VSh= h表示棱台的高 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 如果事件,A B互斥，那么( ) () ()PA B PA PB+= + 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1设U = R，| 0Axx=，| 1Bxx= ，则 U AB=I（ ） A|0 1xx B|0 1xx C| 0 xx 1 B 【命题意图
3、】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对 于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质 【解析】 对于 1 U CB xx=，因此 U AB=I|0 1xx ”是“ 0 x ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2 A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分 析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度 【解析】对于“ 0 x ”“ 0 x ”；反之不一定成立，因此“ 0 x ”是“ 0 x ”的充分而不必 要条件 3设1zi=+（i是虚数单位），则 2 2 z z +
4、= （ ） A1 i+ B1 i+ C1 i D1 i 3D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直 接考查了对于复数概念和性质的理解程度 【解析】对于 22 22 (1 ) 1 2 1 1 ziii+= +=+=+ + w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4设, 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A若,l ，则l B若/ , /l ，则l C若,/l ，则l D若/ ,l ，则l 4C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的 考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系 【解析】对于A、B、D均可能
5、出现/l ，而对于C是正确的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5已知向量(1, 2)=a，(2, 3)=b若向量c满足()/+ca b，() +cab，则c = （ ） A 77 (,) 93 B 77 (,) 39 C 77 (,) 39 D 77 (,) 93 5D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系 的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 【解析】不妨设(,)Cmn= ur ，则( )1,2 , (3,1)ac m nab+ =+ + += rr rr ， 对于 () /ca b+ rr r ，则有3(1 ) 2(2 )
6、mn+= +；又 ( ) cab + r rr ，则有 30mn=，则有 77 , 93 mn= = 6已知椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab += 的左焦点为F，右顶点为A，点B 在椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2AP PB= uuuruur ，则 椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 6D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇， 也体现了数形结合的巧妙应用 【解析】对于椭圆，因为2AP PB= uuuruur ，则 1 2, 2, 2 OA OF a c e
7、= = = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ） A4 B5 C6 D7 7A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充 分体现了数学程序语言中循环语言的关键 【解析】对于0, 1, 1ks k=，而对于1, 3, 2ks k= =，则2, 3 8, 3ks k= =+=， 后面是 11 3, 3 8 2 , 4ks k=+=，不符合条件时输出的4k = 8若函数 2 () ( ) a fx x a x =+ R，则下列结论正确的是（ ） AaR，()f x在(0, )+上是增函数w.w.w.k.s.5
8、.u.c.o.m BaR，()f x在(0, )+上是减函数 CaR，()f x是偶函数 DaR，()f x是奇函数 8C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的 考查结合函数的性质进行了交汇设问 【解析】对于0a =时有 () 2 f xx=是一个偶函数 9已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A3 B4 C5 D6 9C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识，全面而不失灵活，考查的方法上面 的要求平实而不失灵动，既有切线与圆的位置，也有圆的移动 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切
9、圆，此时只有三个交点，对于 圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现 10已知a是实数，则函数() 1 sinf xaax=+的图象不可能 是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而 丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 2 ,1,2TaT a =Q，而D不符合 要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2在答题纸
10、上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11设等比数列 n a的公比 1 2 q =，前n项和为 n S，则 4 4 S a = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1115 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知 识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 【解析】对于 44 3 14 441 3 4 (1 ) 1 , 15 1() aq s q saaq qa = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体 的
11、体积是 3 cm 12 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过 三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体 积结合的考查方法 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为133 9 =， 上面的长方体体积为331 9=，因此其几何体的体积为18 13若实数,x y满足不等式组 2, 24, 0, xy xy xy + 则23x y+的最小值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画 线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 【解析】通过画出其线性规划，可知直线 2 3
12、y xZ=+过点( )2, 0时，( ) min 23 4xy+= 14某个容量为100的样本的频率分布直方图如下， 则在区间4,5)上的数据的频数 为 14 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图， 通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决 实际问题的水平和能力 【解析】对于在区间 4,5的频率/组距的数值为0.3， 而总数为100，因此频数为30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 15某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价 表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦 时）
13、 低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价 （单位：元/千瓦 时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部 分 0.598 超过50至200的部分0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答） 15 148.4【命题意图】此题是一个实际应用性问题，通过对实际生活中的电费的计算， 既考查了函数的概念，更侧重地考查了分段函数的应用w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】对于应付的电费应
14、分二部分构成，高峰部分为50 0.568 150 0.598 +；对于低峰 部分为50 0.288 50 0.318+，二部分之和为148.4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 4 S， 84 SS， 12 8 SS， 16 12 SS成等差数列类 比以上结论有：设等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比数 列 16 8 12 48 , T T TT 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数 列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.
15、k.s.5.u.c.o.m 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， 8 12 48 , T T TT ， 16 12 T T 成等比数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1kk+，其中0,1, 2, ,19k = L 从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到 标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010+ +=）不小于14 ”为A， 则()PA= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17 1 4 【命题意图】此题是一个排列组合问题，既
16、考查了分析问题，解决问题的能力，更 侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即 7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基本事件有20种，因此()PA= 1 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18（本题满分14分）在ABC中，角,ABC所对的边分别为,abc，且满足 25 cos 25 A =， 3AB AC= uuur uuur （I）求ABC的面积； （II）若1c =，求a的值 18解析：（） 5 3 1) 5 52 (2
17、1 2 cos2cos 22 = A A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又),0( A， 5 4 cos1sin 2 = AA，而3 5 3 cos. = bcAACABACAB， 所以5=bc，所以ABC的面积为：2 5 4 5 2 1 sin 2 1 =Abc （）由（）知5=bc，而1=c，所以5=b 所以5232125cos2 22 =+=+= Abccba 19（本题满分14分）如图，DC 平面ABC，/EB DC， 22AC BC EB DC= =，120ACB= o ，,PQ分别为 ,AE AB的中点（I）证明：/PQ平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦
18、值 19（）证明：连接CQDP,， 在ABE中，QP,分别是ABAE,的中点，所以 BEPQ 2 1 / = ， 又BEDC 2 1 / = ，所以DCPQ = /，又PQ平面ACD ，DC平面ACD， 所以/PQ平面ACD （）在ABC中，BQAQBCAC = ,2，所以ABCQ 而DC平面ABC，DCEB/，所以EB平面ABC 而EB平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以CQ平面ABE 由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以CQDP/ 所以DP平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是DAP 在APDRt中，512 2222 =+=+
19、= DCACAD ，1sin2 = CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin = AD DP DAP 20（本题满分14分）设 n S为数列 n a的前n项和， 2 n Sknn= +， * nN，其中k是 常数 （I） 求 1 a及 n a； （II）若对于任意的 * mN， m a， 2m a， 4m a成等比数列，求k的值 20、解析：（）当1,1 11 += kSan， 12)1()1(,2 22 1 +=+= kknnnknknSSan nnn （） 经验，,1=n（）式成立， 12 += kkna n （） mmm aaa 42 ,Q成等比数列， mmm aaa 4 2 2 .
20、=， 即)18)(12()14( 2 +=+ kkmkkmkkm，整理得：0)1( =kmk， 对任意的Nm成立， 10 = kk或 21（本题满分15分）已知函数 32 () (1 ) ( 2)f xx axaa xb= + + + (, )abR （I）若函数()f x的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值； （II）若函数()f x在区间(1,1)上不单调 ，求a的取值范围 解析：（）由题意得)2()1(23)( 2 += aaxaxxf 又 =+= = 3)2()0( 0)0( aaf bf ，解得0=b，3=a或1=a （）函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于 导
21、函数)(xf 在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(xf 在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1( ff， 即：0)2()1(23)2()1(23 + aaaaaa 整理得：0)1)(1)(5( 2 + aaa，解得15 上一点(,4)Am 到其焦点的距离为 17 4 （I）求p与m的值； （II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)tt，过P的直线交C于 另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一 点N若MN是C的切线，求t的最小值 22解析（）由抛物线方程得其准线方程： 2 p y =，根据抛物线定义 点)4,(mA到焦点的距离等于它
22、到准线的距离，即 4 17 2 4 =+ p ，解得 2 1 =p 抛物线方程为：yx = 2 ，将)4,(mA代入抛物线方程，解得2=m （）由题意知，过点),( 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。 则)(: 2 txktyl PQ =，当,0 2 k ktt xy + = 则)0,( 2 k ktt M + 。 联立方程 = = yx txkty 2 2 )( ，整理得：0)( 2 =+ tktkxx 即：0)()( = tkxtx，解得,tx =或tkx = )(,( 2 tktkQ ，而QPQN ，直线NQ斜率为 k 1 )( 1 )(: 2 tkx k tkyl NQ
23、=，联立方程 = = yx tkx k tky 2 2 )( 1 )( 整理得：0)()( 11 22 =+ tktk k x k x，即：01)()( 2 =+ tkktkxkx 0)(1)( =+ tkxtkkkx，解得： k tkk x 1)( + =，或tkx = ) 1)( , 1)( ( 2 2 k tkk k tkk N + ， )1( )1( 1)( 1)( 22 22 2 2 2 + = + + + = ktk ktk k ktt k tkk k tkk K NM 而抛物线在点N处切线斜率： k tkk yk k tkk x 2)(2 1)( = + = 切 Q MN是抛物线的切线， k tkk ktk ktk 2)(2 )1( )1( 22 22 = + ， 整理得 021 22 =+ ttkk 0)21(4 22 = ttQ，解得 3 2 t（舍去），或 3 2 t， 3 2 min =t
