1、绝密考试结束前 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部 分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件,A B互斥，那么 棱柱的体积公式 ( ) () ()PA B PA
2、 PB+= + VSh= 如果事件,A B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ( ) () ()PAB PA PB= 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 1 3 VSh= n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 () (1 ) ,( 0,1,2, ,) kk nk nn Pk Cp p k n = =L 棱台的体积公式 球的表面积公式 )( 3 1 2211 SSSShV += 2 4SR= 其中S 1 、S 2 分别表示棱台的上、 下底面积， 球的体积公式 h表示棱台的高 3 3 4 RV = 其中R
3、表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1设U = R，| 0Axx=，| 1Bxx= ，则 U AB=I ( ) A|0 1xx B|0 1xx C| 0 xx 答案：B 【解析】 对于 1 U CB xx=，因此 U AB=I |0 1xx且0b ”是“ 0ab+ 且0ab ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 【解析】对于“ 0a 且0b ”可以推出“ 0ab+ 且0ab ”，反之也是成立的 3设1zi=+（i是虚数单位），则 2 2 z z
4、 + = ( ) A1 i B1 i+ C1 i D 1 i+ 答案：D 【解析】对于 22 22 (1 ) 1 2 1 1 ziii+= +=+=+ + 4在二项式 25 1 ()x x 的展开式中，含 4 x的项的系数是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A10 B10 C5 D5 答案：B 【解析】对于() 25 103 15 5 1 ()( ) 1 r rrr rr r TCx Cx x + =，对于10 3 4, 2rr =，则 4 x的 项的系数是 22 5 (1) 10C = 5在三棱柱 111 ABC ABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面 11 BBCC
5、的中 心，则AD与平面 11 BBCC所成角的大小是 ( ) A30 o B45 o C60 o D90 o 答案：C 【解析】取BC的中点E，则AE 面 11 BBCC，AE DE ， 因此AD与平面 11 BBCC所成角即为ADE，设ABa=，则 3 2 AE a=， 2 a DE =，即有 0 tan 3, 60ADE ADE= 6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 ( ) A4 B5 C6 D7 答案：A 【解析】对于0, 1, 1ks k=，而对于1, 3, 2ks k= =，则2, 3 8, 3ks k= =+=， 后面是 11 3, 3 8 2 , 4ks k=+=，
6、不符合条件时输出的4k = 7设向量a，b满足：|3=a，|4=b，0 =ab以a，b，ab的模为边长构成三角 形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A3 B4 C5 D6 答案：C 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于 圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现 8已知a是实数，则函数() 1 sinf xaax=+的图象不可能 是 ( ) 答案：D 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 2 ,1,2TaT a =的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲
7、线的 两条渐近线的交点分别为,B C若 1 2 AB BC= uuur uuur ，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A2 B3 C5 D10 答案：C 【解析】对于 (),0A a，则直线方程为0 xya+ =，直线与两渐近线的交点为B，C， 22 ,(,) aab a ab BC abab ab ab + ，则有 22 22 22 (, ), , ab ab ab ab BC AB a b a b abab = = + uuur uuur ，因 22 2,4,5AB BC a b e= uuur uuur 10对于正实数，记M 为满足下述条件的函数()f
8、x构成的集合： 12 ,xx R且 21 x x， 有 21 2 1 21 ()()()()x xfxfx xx ，则 12 () ()fx gx M 答案：C 【解析】对于 21 2 1 21 ()()()()x xfxfx xx ，即有 21 21 () ()fx fx xx ， 令 21 21 () ()fx fx k xx = ，有k ，不妨设 1 ()f xM ， 2 ()gx M ，即有 11 , f k 22g k ，因此有 12 12fg kk + 的右顶 点为(1, 0)A，过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 （I）求椭圆 1 C的方程； （II）设点P在抛物线 2 C：
9、2 ()yx hh=+ R上， 2 C在点P处 的切线与 1 C交于点,M N当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时，求h的最小值 解析：（I）由题意得 2 1 2 , 1 21 b a b b a = = = = 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x+ =，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨设 2 11 2 2 ( , ), ( , ), ( , ),M xy Nxy Ptt h+则抛物线 2 C在点P处的切线斜率为 2 xt yt = =，直线MN的方程为 2 2y tx t h= +，将上式代入椭圆 1 C的方程中，得 222 4(2 )40 xtxth+=，
10、即 ( ) 22 2 2 2 41 4( ) ( ) 4 0tx tt hxt h+ +=，因为直线 MN与椭圆 1 C有两个不同的交点，所以有 422 1 16 2( 2) 4 0thth =+ ， 设线段MN的中点的横坐标是 3 x，则 2 12 3 2 () 22(1) xx tt h x t + = + ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设线段PA的中点的横坐标是 4 x，则 4 1 2 t x + =，由题意得 34 x x=，即有 2 (1 ) 1 0tht+ +=， 其中的 2 2 (1 ) 4 0, 1hh= + 或3h； 当3h时有 2 20,4 0hh+ 不 成立；
11、因此1h，当1h=时代入方程 2 (1 ) 1 0tht+ +=得1t =，将1, 1ht=代入不 等式 422 1 16 2( 2) 4 0thth= + + + 成立，因此h的最小值为1 22（本题满分14分）已知函数 32 2 () ( 1) 5 2fx x k k x x= + +， 22 () 1gx kx kx=+， 其中kRw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）设函数() () ()p xfxgx=+若()p x在区间(0,3)上不单调 ，求k的取值范围； （II）设函数 (), 0, () (), 0. gx x qx fx x = 是否存在k，对任意给定的非零实数 1
12、 x，存在惟一 的非零实数 2 x（ 21 x x），使得 21 () ()qx qx =成立？若存在，求k的值；若不 存 在，请说明理由 解析：（I）因 32 () () () ( 1) ( 5) 1Px fx gx x k x k= + =+ +， () 2 3 2(1)(5)px x k x k =+，因()p x在区间(0,3)上不单调， 所以 () 0px =在 () 0,3 上有实数解，且无重根，由 () 0px =得 2 (2 1) (3 2 5),kx x x+ = + w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 2 (3 2 5) 3 9 10 21 21 4 213 xx
13、 kx + = = + + + ，令21,tx= +有()1, 7t，记 9 () ,ht t t =+则()ht在( 1, 3上单调递减，在 ) 3, 7上单调递增，所以有() ) 6,10ht，于 是() ) 9 21 6,10 21 x x + + ，得 ( 5, 2k ，而当2k =时有 ( ) 0px =在 ()0,3 上有两 个相等的实根1x=，故舍去，所以( )5, 2k ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）当0 x时有() () 2 2qx gx kxk= =+，因为当0k =时不合题意，因此0k ， 下面讨论0k 的情形，记A (, )k=+，B=( )5,+（）当 1 0 x 时， ()qx 在 ()0,+ 上 单调递增，所以要使() () 21 qx qx=成立，只能 2 0 x 且AB，因此有5k ，（）当 1 0 x 且 AB，因此5k ，综合（）（）5k =； 当5k =时A=B，则() 11 0,x qx B A使得( )() 21 qx qx=成立，因为 ()qx 在 ()0,+上单调递增，所以 2 x的值是唯一的； 同理， 1 0 x，即存在唯一的非零实数 22 1 ()x xx，要使( ) ( ) 21 qx qx=成立，所以5k = 满足题意w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
