1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修）(陕西卷) 第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12 小题， 每小题5 分，共60分） 1设不等式 2 0 xx的解集为 M，函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 N，则 M N 为（A） （A）0，1） （B） （0，1） （C）0，1 （D） （-1，0 2.若 tan 2 = ,则 2sin cos sin 2cos + 的值为 (B) （A）0 (B) 3 4 (C)1 (D) 5 4 3.函数 () 2 4( 4)fx x x=的反函数为 (D) （A） 12 1
2、( ) 4( 0) 2 fx x x =+ (B) 12 1 ( ) 4( 2) 2 fx x x = + （C） 12 1 ( ) 2( 0) 2 fx x x =+ (D) 12 1 ( ) 2( 2) 2 fx x x = + 4.过原点且倾斜角为 60的直线被圆 学 22 40 xy y+ =所截得的弦长为 (D) （A） 3 （B）2 （C） 6 （D）2 3 5.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数 的 2 倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职 工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 (B
3、) （A）9 （B）18 （C）27 (D) 36 6.若 2009 2009 0 1 2009 (1 2 ) ( )x aax ax xR=+ L ,则 200912 2 2009 22 2 aaa +L 的值为 (C) （A）2 （B）0 （C） 1 (D) 2 7.” 0mn”是”方程 22 1mx ny+=表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （C） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D) 既不充分也不必要条件 8.在 ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学 2APPM= uuuruur ,则 科网 ()APPBPC+ uu
4、uruuruur 等于 （A） （A） 4 9 （B） 4 3 （C） 4 3 (D) 4 9 9从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的 四位数，其中奇数的个数为 (C) (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 10定义在 R 上的偶函数 ()f x 满足：对任意的 12 1 2 ,0,)( )x xxx + ，有 21 21 () () 0 fx fx xx .则 (A) (A) (3) ( 2) (1)f ff (B) (1) ( 2) (3)f ff (C) (2) (1) (3)f ff (D) (3) (1) ( 2)
5、fff ）的周期为 ，且 图象上一个最低点为 2 (,2) 3 M . （）求 ()f x 的解析式； （）当 0, 12 x ，求 ()f x 的最值. 解： （）由最低点为 2 (,2) 2 3 MA =得 由 22 2T T =得 由点 2 (,2) 3 M 在图像上得 4 2sin( ) 2 3 + = 即 4 sin( ) 1 3 + = 411 22 , 32 6 kkkZ += = 即， 又 (0, ) 2 ， 6 = () 2sin(2 ) 6 fx x =+ （） 0, , 2 , 12 6 6 3 xx +Q A B O1 O ,0() 1 66 xfx =当2x+ 即 时
6、， 取得最小值； ,() 63 12 xfx =当2x+ 即 时， 取得最大值 3 18 （本小题满分 12 分） 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2的概率分别为 0.4,0.5,0.1 () 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率； （） 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消 费者投诉 2次的概率。 解答一（）设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投 诉的次数为 1” ( ) ( ) ( ) 0.4 0.5 0.9PA B PA PB += + =+= 设事件 i A 表示 “第 i个月
7、被投诉的次数为 0” 事件 i B 表示 “第 i个月被投诉的次数为 1” 事件 i C 表示“第 i个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2次” ( ) 0.4, ( ) 0.5, ( ) 0.1( 1,2) iii PA PB PC i = Q两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 12 21 ()PAC AC+ 一、二月份均被投诉 1次的概率为 12 ()PBB 12 21 12 12 21 12 ()( )()()()()PD PAC AC PBB PAC PAC PBB =+ = + + 由事件的独立性的 ( ) 0.4 0.1 0.1 0.
8、4 0.5 0.5 0.33pD=+= 解答二（）设事件 A 表示“一个月内被投诉 2次” 设事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数不超过 1 次” ( ) 0.1, ( ) 1 ( ) 1 0.1 0.9pA PB PA= = = =Q ()同解答一。 19(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 111 ABC ABC 中， AB=1， 1 3AC AA=，ABC=60 0 . ()证明： 1 AB AC ； （）求二面角 A 1 ACB的大小。 解答一（）证 111 1 0 0 0 11 1 1 , 1, 3, 60 30 90 , ABC ABC AB AA ABC AB AC ABC
9、 ACB BAC AB AC AB ACC A AC ACC A AB AC = = = Q证 三棱柱 为直三棱柱， 在中， 由正弦定理得 ，即 平面 又 平面 ， （） 11 1 1 1 1 1 , 33 6 2 6 6 3 6 3 AD AC AC D BD BD AC ABD A AC B AAAC Rt AAC AD AC AB Rt BAD ABD AD ADB arc = = = g g 解，作 交 于 点，连结 由三垂线定理知 为二面角 的平面角 在中， 在 中，tan tan C B A C1 B1 A1 222222 311010 15 cos , 5 311100 mn m
10、n mn + = = = + + g g g（） 1 15 二面角A-A C-B的大小为arccos 5 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 3 () 3 1, 0fx x ax a= ( ) 求 ()f x 的单调区间； () 若 ()f x 在 1x= 处取得极值，直线 y=m 与 ()y fx= 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。 解： （1） 2 2 () 3 3 3( ),f xxaxa= 当 0a 当 0a 时，由 () 0fx 解得 x a ； 由 () 0fx 解得 ax a 时， ()f x 的单调增区间为 (, ),(,)aa + ； ()f x 的单调减区
11、间为 (,)aa 。 （2） Q ()f x 在 1x= 处取得极大值， 2 (1) 3(1) 3 0, 1.faa = = 32 () 3 1, () 3 3,fx x x f x x = = 由 () 0fx= 解得 12 1, 1xx=。 由（1）中 ()f x 的单调性可知， ()f x 在 1x = 处取得极大值 (1) 1f = ， 在 1x= 处取得极小值 (1) 3f = 。 Q直线 ym= 与函数 ()yfx= 的图象有三个不同的交点，又 (3) 19 3f =， 结合 ()f x 的单调性可知， m的取值范围是 (3,1) 。 21 （本小题满分 12 分） 已知数列 n
12、a 满足， *1 12 12, , 2 nn n aa aa a nN + + = 2 . ( ) 令 1nn n ba a + =，证明： n b 是等比数列； ()求 n a 的通项公式。 （1）证 121 1,baa= 当 2n 时， 1 111, 11 () 22 2 nn nn n n nn n aa ba a a aa b + + = = = n b 是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列。 （2）解由（1）知 1 1 1 (), 2 n nn n ba a + = 当 2n 时， 121 32 1 ()()( ) n aaaa aa aa =+ + + L 2 11 11(
13、) () 22 n =+ + +L 1 1 1( ) 2 1 1 1( ) 2 n =+ 2 21 11() 32 n =+ 1 52 1 (), 33 2 n = 当 1n= 时， 11 1 52 1 () 1 33 2 a =。 1* 52 1 ()( ) 33 2 n n anN = 。 22 （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1( 0, 0) yx ab ab = ，离心率 5 2 e= ，顶点到渐近线的距离为 25 5 。 （I） 求双曲线 C的方程； (II)如图，P是双曲线 C上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐 近线上，且分别位于第一、二象限
14、，若 1 ,2 3 AP PB= uuuruur ，求 AOB 面积的取值范围。 解答一（）由题意知，双曲线 C的顶点（0，a）到渐近线 25 0 5 ax by=的距离为 ， 22 25 25 55 ab ab c ab = + 即 由 222 25 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab = = = = =+ 得 2 1x = 2 y 双曲线C的方程为 4 （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2yx= 设 (,2), ,2), 0, 0Am m B n n m n（ 由 ,),AP PB P = uuuruur m- n 2(m+ n) 得 点的坐标为（ 1+
15、 1+ 将 P 点的坐标代入 22 2 (1 ) 1, 44 y x + =化简得mn= 14 2 , tan( ) 2, tan ,sin2 225 AOB = = =Q设 又 5, 5OA m OB n= 111 sin2 2 ( ) 1 22 AOB SOAOB mn =+ 记 11 1 () ( )1, ,2 23 S =+ 则 2 11 () (1 ) 2 S = 由 () 0 1S =得 又S（1）=2， 18 9 () ,(2) 33 4 SS= = 12 18 33 AOB AOB = = 当 时， 的面积取得最小值 ， 当 时， 的面积取得最大值 AOB 8 面积的取值范围是
16、2, 3 解答二（）由题意知，双曲线 C的顶点（0，a）到渐近线 25 0 5 ax by=的距离为 ， 22 25 25 55 ab ab c ab = + 即 由 222 25 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab = = = = =+ 得 2 1x = 2 y 双曲线C的方程为 4 （）设直线 AB 的方程为 ,ykxm=+ 由题意知 2, 0km 由 2 ,), 2 22 ykxm mm A yx kk =+ = 得 点的坐标为（ 由 2 ,), 2 22 ykxm mm B yx kk =+ = + 得 点的坐标为（ 121 ,()() 12 212 2 mm AP PB P kk kk + + + + 得 点的坐标为（ uuuruur 将 P 点的坐标代入 2 1x= 2 y 4 得 22 2 4(1) 4 m k + = 设 Q 为直线AB 与y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m） AOB S = AOQ BOQ SS + 2 2 111 () 22 114 () 22 2 24 11 ()1 2 ABAB OQ x OQ x m x x mm m m kk k =+= =+= + =+ gg g 以下同解答一
