1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的
2、参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 一、选择题 （ 1） o 585sin 的值为 (A) 2 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、
3、特殊角的三角函数值，基础题。 解： 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin =+=+= oooooo ，故选择 A。 (2)设集合 A= 4， 5， 7， 9 ， B= 3， 4， 7， 8， 9 ，全集 UAB= U ，则集合 () U ABI 中 的元素共有 (A) 3 个 （ B） 4个 （ C） 5 个 （ D） 6 个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解： 3, 4, 5, 7, 8, 9AB=U ， 4, 7,9 ( ) 3,5,8 U AB AB= =II 故选 A。也可用摩根 定律： ( )()() UUU AB A B=
4、IU痧 （ 3）不等式 1 1 1 + x x 的解集为 （ A） 01 1x xxx U （ B） 01x x （ C） 10 x x （ D） 0 x x 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 解： 0040)1()1(|1|1|1 1 1 22 +=q ， 由 33 17ab+=得 2 12 3 17dq+ = 33 12TS=得 2 4qqd+= 由及 0q 解得 2,2 = dq 故所求的通项公式为 1 12( 1) 2 1, 32 n nn annb =+ = = 。 (18)(本小题满分 12 分 )（注意：在试用题卷上作答无效） 在 ABC 中，内角 ABC、 的对
5、边长分别为 abc、 .已知 22 2ac b=，且 sin 4cos sinB AC= ，求 b . 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得 Abcbca cos2 222 = ， 又 0,2 22 = bbca ， bAbcb 2cos2 2 = ， 即 2cos2 += Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC = 又由已知得 sin 4cos sinB AC= sin 4cos sin B A C = ， 所以 4cosbcA= 故由解得 4=b (19)(本小题满分 12 分 )（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD为矩形
6、， SD 底面 ABCD ， 2AD= ， 2DC SD=，点 M 在侧棱 SC 上， 60ABM= o （）证明： M 是侧棱 SC 的中点； （）求二面角 SAMB的大小。 （同理 18） 解法一： （I） 作 ME CD交 SD于点 E，则 ME AB， ME 平面SAD 连接 AE，则四边形 ABME为直角梯形 作 MFAB ，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设 MEx= ，则 SE x= ， 22 2 (2 ) 2AE ED AD x=+=+ 2 (2 ) 2, 2MFAE x FB x=+ = 由 2 tan 60 , (2 ) 2 3(2 )MFFB x x= += 。 得 解
7、得 1x= 即 1ME = ，从而 1 2 MEDC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （） 22 2MB BC MC=+=，又 60 , 2ABM AB = o ,所以 ABM 为等边三角形， 又由（）知 M 为SC 中点 2, 6, 2SM SA AM= =，故 222 ,90SA SM AM SMA=+ = o 取AM中点G， 连结BG， 取SA中点H， 连结GH， 则 ,BGAMGHAM ,由此知 BGH 为二面角 SAMB的平面角 连接 BH ，在 BGH 中， 22 312 2 3, , 22 BG AM GH SM BH AB AH=+= 所以 222 6 cos 23 BG G
8、H BH BGH BG GH + = = 二面角 SAMB的大小为 6 arccos( ) 3 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ( 2,0,0)A ，则 ( 2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)BCS （）设 (0)SM MC =,则 22 22 (0, , ), ( 2, , ) 11 11 MMB = + + 又 (0,2,0), , 60AB MB AB= o 故 |cos60MB AB MB AB= o 即 222 42 (2) ( ) ( ) 111 =+ + 解得 1 = ，即 SM MC= 所以 M
9、为侧棱 SC 的中点 （II） 由 (0,1,1), ( 2,0,0)MA ，得 AM 的中点 211 (,) 222 G 又 23 1 ( , , ), (0, 1,1), ( 2 ,1,1) 22 2 GB MS AM= 0, 0GB AM MS AM= = 所以 ,GB AM MS AM 因此 ,GB MS 等于二面角 SAMB的平面角 6 cos , 3| GB MS GB MS GB MS = 所以二面角 SAMB的大小为 6 arccos( ) 3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比
10、赛结束。假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综 合题。 解：记“第 i 局甲获胜”为事件 )5,4,3( =iA i ， “第 j 局乙获胜”为事件 (3,4,5) j Bj= 。 （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 4343 BBAAA += ，由于各局比赛结果相互独立，故 34 34 34 34 ()( )()()PA PA A B B PA
11、A PB B=+=+ 34 34 ()() ()()PAPA PB PB=+ 52.04.04.06.06.0 =+= （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 54354343 ABAAABAAB += ，由于各局比赛结果相互独立，故 )()( 54354343 ABAAABAAPBP += 648.06.04.06.06.06.04.06.06.0 )()()()()()()()( )()()( 54354343 54354343 =+= += += APBPAPAPAPBPAPAP ABAP
12、AABPAAP （ 21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 42 () 3 6fx x x= +. （）讨论 ()f x 的单调性； （）设点 P 在曲线 ()yfx= 上，若该曲线在点 P 处的切线 l通过坐标原点，求 l的方 程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解： （） 3 66 ( ) 4 6 4 ( )( ) 22 fx x x xx x= + 令 ( ) 0fx 得 0 2 6 x ； 令 ( ) 0fx 得 2 6 x 或 2 6 0 相交于 A、 B、 C、 D 四 个点。 （）求 r的取值范围 （）当四边形 ABCD
13、的面积最大时，求对角线 AC、 BD 的交 点 P 的坐标。 解： （）将抛物线 2 :Ey x= 代入圆 222 :( 4) ( 0)Mx y rr += 的方程，消去 2 y ， 整理得 22 716 0 xx r += E与 M 有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根 12 x x、 由此得 22 12 2 12 (7) 4(16 ) 0 70 16 0 r xx xx r = += = null 解得 2 15 16 4 r 所以 r的取值范围是 15 (,4) 2 （ II） 设四个交点的坐标分别为 11 (, )Ax x 、 11 (, )B xx 、 22 (, )Cx
14、x 、 22 (, )Dx x 。 则由（ I）根据韦达定理有 2 12 12 7, 16x xxx r+= =， 15 (,4) 2 r 则 21 1 2 21 1 2 1 2 | |( ) | |( ) 2 S xxxxxxxx= + = + 22 22 1 2 12 1 2 12 ( ) 4 ( 2 ) (7 2 16 )(4 15)Sxx xxx x rr =+ + =+ 令 2 16 rt=，则 22 (7 2 ) (7 2 )Stt=+ 下面求 2 S 的最大值。 方法 1：由三次均值有： 22 1 (7 2)(7 2) (7 2)(7 2)(14 4) 2 Stt ttt=+ =
15、 + + 33 17 2 7 2 14 4 1 28 () 23 3 tt t+ = 当且仅当 72 144tt+=，即 7 6 t = 时取最大值。经检验此时 15 (,4) 2 r 满足题意。 方法 2：设四个交点的坐标分别为 11 (, )Ax x 、 11 (, )B xx 、 22 (, )Cx x 、 22 (, )Dx x 则直线 AC、 BD 的方程分别为 )(),( 1 12 12 11 12 12 1 xx xx xx xyxx xx xx xy + =+ = 解得点 P 的坐标为 )0,( 21 xx 。 设 21 xxt = ，由 2 16 rt = 及（）得 7 (0
16、, ) 2 t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)22( 2 1 2121 xxxxS += 则 4)(2( 21 2 212211 2 xxxxxxxxS += 将 7 21 =+ xx ， txx = 21 代入上式，并令 2 )( Stf = ，得 ) 2 7 0(34398288)27()27()( 232 +=+= tttttttf ， 2 ( ) 24 56 98 2(2 7)(6 7)ft t t t t= + = + ， 令 ( ) 0ft= 得 6 7 =t ，或 2 7 =t （舍去） 当 6 7 0 ；当 6 7 =t 时 ( ) 0ft= ；当 2 7 6 7 t 时， ( ) 0ft 故当且仅当 6 7 =t 时， )(tf 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标 为 )0, 6 7 (
