1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第卷（选择题） 本卷共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表 面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 ) ( 01,2
2、 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 一、选择题 （1） 已知全集 U =1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， M =1， 3， 5， 7， N =5， 6， 7， 则 () U M NU = (A) 5，7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （D）1，3，5，6，7 （2）函数 y= x (x0)的反函数是 （A） 2 y x= （x 0） （B） 2 y x= （x 0） （B） 2 y x= （x 0） （D） 2 y x= （x 0） （3） 函数 2 2 log 2 x y x = + 的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线 yx= 对称 （C） 关
3、于 y 轴对称 （D）关于直线 yx= 对称 （4）已知 ABC 中， 12 cot 5 A= ，则 cos A= (A) 12 13 (B) 5 13 (C) 5 13 (D) 12 13 （5） 已知正四棱柱 111 1 ABCD ABC D 中， 1 AA =2AB， E为 1 AA 中点，则异面直线 BE与 1 CD 所形成角的余弦值为 （A） 10 10 (B) 1 5 (C) 310 10 (D) 3 5 （6） 已知向量 a = (2,1)， ab = 10， a + b = 52，则 b = （A） 5 （B） 10 （C）5 （D）25 （7）设 2 lg , (lg ) ,
4、 lg ,aeb ec e= =则 （A） abc （B） acb （C） cab （D） cba （8）双曲线 1 36 22 = yx 的渐近线与圆 )0()3( 222 =+ rryx 相切，则 r= （A） 3 （B）2 （C）3 （D）6 （9）若将函数 )0)( 4 tan( += xy 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数 ) 6 tan( += xy 的图像重合，则 的最小值为 (A) 6 1 (B) 4 1 (C) 3 1 (D) 2 1 （10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （A）6 种 （B）12种 （C）24
5、 种 （D）30 种 （11）已知直线 )0)(2( += kxky 与抛物线 C: xy 8 2 = 相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。 若 FBFA 2= ,则k= (A) 3 1 (B) 3 2 (C) 3 2 (D) 3 22 （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面 的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下 上 东 第卷（非选择题） 本卷共 10 小题，共 90 分。 二、填空题：本大题共4 小题，每 5分，共20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的 横线
6、上. （13）设等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 。若 361 4,1 ssa = ，则 4 a = （14） 4 )( xyyx 的展开式中 33 yx 的系数为 （15）已知圆O： 5 22 =+ yx 和点A（1，2） ，则过 A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成 的三角形的面积等于 （16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得 到圆 C。若圆 C 的面积等于 4 7 ，则球 O 的表面积等于 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 解答过程写在答题卡的相应位置。
7、 （17） （本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a 中， ,0,16 6473 =+= aaaa 求 n a 前n 项和 n S （18） （本小题满分 12 分） 设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c， 2 3 cos)cos( =+ BCA , acb = 2 ， 求B. （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 ABC ABC 中， AB AC ， DE、 分别为 11 AA BC、 的中点， DE 平面 1 BCC （）证明： ABAC= （）设二面角 ABDC为60,求 1 BC与平面 BCD所成的角的大小 （20） （本小题满分 12
8、分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工 人进行技术考核。 （）求从甲、乙两组各抽取的人数； （）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （）求抽取的 4 名工人中恰有 2名男工人的概率。 （21） （本小题满分 12 分） 设函数 32 1 () (1 ) 4 24 3 f x x a x ax a=+，其中常数 1a ()讨论 ()f x 的单调性; ()若当 x0时， () 0fx 恒成立，求 a的取值范围。 （22） （本小题满分 12 分）
9、 A C B A 1 B 1 C 1 D E 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 3 ，过右焦点 F 的直线 l与 C相交于 A、 B两点，当 l的斜率为 1是，坐标原点 O到 l的距离为 2 2 （）求 ,ab的值； （） C 上是否存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB=+ uuuruur uuur 成立？ 若存在，求出所有的 P的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由。 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一选择题 （1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （
10、8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二填空题 （13）3 （14）6 （15） 25 4 （16）8 三解答题 17 解： 设 n a 的公差为 d ，则 ()() 11 11 2616 350 adad adad + + = += 即 22 11 1 812 16 4 ada d ad += = 解得 11 8, 8 2, 2 aa dd = = = 或 因此 ()() ( ) ( )819 81 9 nn S n nn nn S n nn nn= + = = = ，或 （18）解： 由 3 cos( ) cos 2 AC B+ =及 ()B AC= +得 3 cos( )
11、 cos( ) 2 AC AC += 3 cos cos sin sin (cos cos sin sin ) 2 AC AC AC AC+ = 3 sin sin 4 AC= 又由 2 bac= 及正弦定理得 2 sin sin sin ,B AC= 故 2 3 sin 4 B = ， 3 sin 2 B= 或 3 sin 2 B = （舍去） ， 于是 3 B = 或 2 3 B = . 又由 2 bac= 知 ab 或 cb 所以 3 B = （19）解法一： （）取 BC中点 F，连接 EF，则 EF 1 2 1 B B，从而 EF DA。 连接AF， 则ADEF 为平行四边形， 从而
12、AF/DE。 又 DE平面 1 BCC ， 故 AF平面 1 BCC ， 从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线， 所以AB=AC。 （） 作AGBD， 垂足为 G， 连接CG。 由三垂线定理知 CGBD， 故AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知，AGC=60 0 . 设AC=2，则AG= 2 3 。又AB=2，BC= 22，故 AF= 2 。 由 ABAD AGBD=得2AD= 22 2 .2 3 AD + ，解得 AD= 2 。 故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面 BCD
13、平面DEF。 连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。 连接CH，则ECH 为 1 BC与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形，AD= 2 ，故EH=1，又EC= 1 1 2 BC =2， 所以ECH=30 0 ，即 1 BC与平面 BCD 所成的角为 30 0 . 解法二： （）以 A为坐标原点，射线 AB为x 轴的正半轴，建立如图所 示的直角坐标系 Axyz。 设 B（1，0，0） ，C（0，b，0） ，D（0，0，c） ， 则 1 B （1，0，2c）,E（ 1 2 ， 2 b ，c）. 于是 DE uuur =（ 1 2 ， 2 b ，0） ， BC u
14、uur =（-1，b,0）.由DE平面 1 BCC 知DEBC， DE BC uuur uuur null =0，求得b=1， 所以 AB=AC。 （）设平面 BCD 的法向量 (, ,),ANxyz= uuur 则 0, 0AN BC AN BD = uuur uuur uuur uuur 又 (1,1,0), (1,0,)BCBDc= = uuur uuur 故 0 0 xy xcz + = + = 令 1x = , 则 11 1, , (1,1, )uz AN cc = = uuur 又平面 ABD的法向量 (0,1,0)AC = uuur 由二面角 CBDA 为 60知， ACAN，
15、=60， 故 |cos60AN AC AN AC= o uuur uuur uuur uuur ，求得 1 2 c= 于是 11 2AN = uuur （， ，） ， 1 (1 1 2CB = uuur ，） 1 1 1 1 cos 2| AN CB AN CB AN CB = uuur uuur uuur uuur uuur uuur， ， 1 ,60AN CB = o uuur uuur 所以 CB 1 与平面 BCD所成的角为 30 （20）解： （）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。 （）记
16、A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 15 8 )( 2 10 1 6 1 4 = C CC AP （） i A 表示事件：从甲组抽取的 2名工人中恰有 i名男工人， 210 ，=i j B 表示事件：从乙组抽取的 2名工人中恰有 j名男工人， 210j ，= B表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 i A 与 j B 独立， 210 ， =ji ，且 021120 BABABAB += 故 )()( 021120 BABABAPBP += )()()()()()( 021120 BPAPBPAPBPAP += 11 11 2 222 46 64 6 644 22
17、 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10 CC CC C CCC CC C C CC =+ + 75 31 = （21）解： （） )2)(2(4)1(2)( 2 axxaxaxxf =+= 由 1a 知，当 2 xf ，故 )(xf 在区间 )2,( 是增函数； 当 ax 22 时， 0)( 时， 0)( xf ，故 )(xf 在区间 ),2( +a 是增函数。 综上，当 1a 时， )(xf 在区间 )2,( 和 ),2( +a 是增函数，在区间 )2,2( a 是 减函数。 （）由（）知，当 0 x 时， )(xf 在 ax 2= 或 0=x 处取得最小值。 aaaaaaaf
18、 2424)2)(1()2( 3 1 )2( 23 += aaa 244 3 4 23 += af 24)0( = 由假设知 ,0)0( ,0)2( 1 f af a 即 + .024 ,0)6)(3( 3 4 ,1 a aaa a 解得 16a 故 a的取值范围是（1，6） （22）解： （）设 (),0,cF 当 l的斜率为 1时，其方程为 Ocyx ,0= 到 l的距离为 22 00 c c = 故 2 2 2 = c ， 1=c 由 3 3 = a c e 得 3=a ， 22 cab = = 2 （）C 上存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP += 成立。
19、由（）知 C 的方程为 2 2x + 2 3y =6. 设 ).,(),( 2211 yxByxA () )1( = xkylxl 的方程为轴时，设不垂直当 C上的点 P 使 OP OA OB=+ uuuruur uuur 成立的充要条件是 P 点的坐标为 1212 ,x xy y+（），且 6)(3)(2 2 21 2 21 =+ yyxx 整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 =+ yyxxyxyx 632,632 2 2 2 2 2 1 2 1 =+=+ yxyxCBA 上，即在、又 故 0332 2121 =+ yyxx 将 22 (1) 2 3 6ykx
20、x y= +=代入 ，并化简得 0636)32( 2222 =+ kxkxk 于是 2 2 21 32 6 k k xx + =+ , 21 xx = 2 2 32 63 k k + , 2 2 21 2 21 32 4 )2)(1( k k xxkyy + = 代入解得， 2 2 =k ，此时 2 3 21 =+ xx 于是 )2( 2121 +=+ xxkyy = 2 k ， 即 ) 2 , 2 3 ( k P 因此， 当 2=k 时， ) 2 2 , 2 3 (P ， 022 =+ yxl的方程为 ； 当 2=k 时， ) 2 2 , 2 3 ( P ， 022 = yxl的方程为 。 （）当 l垂直于 x轴时，由 )0,2(=+OBOA 知，C 上不存在点 P 使 OBOAOP += 成立。 综上，C 上存在点 ) 2 2 , 2 3 ( P 使 OBOAOP += 成立，此时 l的方程为 022 = yx
