1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分 ,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束 后 ,将本试卷和答题卡一并交回 . 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上 .，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 ;不能写在试题卷上 ;
2、如需改动，先画掉原来的答案 ,然后再写上新的答案 ;不能使用涂改液、胶带纸 ,修正带 , 不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案 ,解答题应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 .。 参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积， h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 如果事件 A,B 互斥 ,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件 A,B 独立 ,那么 P(AB)=P(A)P(B). 事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概 率 :
3、 ( ) (1 ) ( 0,1, 2, , ) kk nk nn Pk Cp p k n =L . 第卷 (共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （ 1）集合 0, 2,A a= , 2 1,B a= ,若 0,1, 2, 4,16AB=U ,则 a的值为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 【解析】 : 0, 2,A a= , 2 1,B a= , 0,1, 2, 4,16AB=U 2 16 4 a a = = 4a = ,故选 D. 答案 :D 【命题立意】 :本题考查了
4、集合的并集运算 ,并用观察法得到相对应的元素 ,从而求得答案 ,本题 属于容易题 . （ 2）复数 3 1 i i 等于 （ A） i21+ B） 12i C） 2 i+ D） 2 i 【解析】 : 2 2 3(3)(1)32 42 2 1(1)(1)1 2 iii ii i i iii i + =+ + ,故选 C. 答案 :C 【命题立意】 :本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母 变为实数，将除法转变为乘法进行运算 . （ 3）将函数 sin 2y x= 的图象向左平移 4 个单位 , 再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解 析式是 （ A） cos 2y
5、 x= （ B） 2 2cosy x= （ C） ) 4 2sin(1 += xy （ D） 2 2siny x= 【解析】 :将函数 sin 2y x= 的图象向左平移 4 个单位 ,得到函数 sin 2( ) 4 yx =+即 sin(2 ) cos 2 2 yx x =+=的图象 ,再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式为 2 1 cos 2 2siny xx=+ = ,故选 D. 答案 :D 【命题立意】 :本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能 ,学会公式的变形 . （ 4） 一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积
6、为 （ A） 223 + （ B） 423 + （ C） 23 2 3 + （ D） 23 4 3 + 【解析】 :该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 , 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ,四棱锥的底面 边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为 () 2 123 23 33 = 2 2 侧 (左 )视图 2 2 2 正 (主 )视图 俯视图 所以该几何体的体积为 23 2 3 + . 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,由三视图能够想象得到空间的立体图 , 并能准确地 计算出 .几何体的体积 . （ 5） 已知， 表示两个不同的平面， m 为平面内的一条
7、直线， 则 “ ” 是 “ m ” 的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【解析】 :由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的 一条直线 ,m ,则 ,反过来则不一定 .所以“ ”是“ m ”的必要不充分条 件 . 答案 :B. 【命题立意】 :本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 . （ 6） 函数 x x x x ee y ee + = 的图像大致为 【解析】 :函数有意义 , 需使 0 xx ee , 其定义域为 0| xx ,排除 C,D,又因为 2 22 12 1 11 xx x xx x x
8、 ee e y ee e e + =+ ,所以当 0 x 时函数为减函数 ,故选 A 答案 :A. 【命题立意】 :本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质 .本题的难点 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O B 在于给出的函数比较复杂 ,需要对其先变形 ,再在定义域内对其进行考察其余的性质 . (7）设 P 是 ABC 所在平面内的一点， 2BCBA BP+= uuur uuuruur ，则 (A） 0PA PB+= uuuruurr (B） 0PC PA+ = uuur uuurr (C） 0PB PC+= uuur
9、 uuur r (D） 0PA PB PC+ += uuuruur uuur r 【解析】 :因为 2BCBA BP+= uuur uuuruur ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 C。 答案： C。 【命题立意】 :本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。 (）某工厂对一批产品进行了抽样检测 .有图是根据抽样检测后 的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产 品净重的范围是 96， 106，样本数据分组为 96， 98） ， 98， 100), 100， 102)， 102， 104),104， 106,已知样本中产品净重小于 100 克的个数是
10、 36， 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克 的产品的个数是 (A） 90 (B） 75 (C） 60 (D） 45 【解析】 :产品净重小于 100克的概率为 (0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n ,则 300.0 36 = n ,所以 120=n , 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为 (0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样 本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 1200.75=90.故选A. 答案:A 【命题立意】 :本题考查了
11、统计与概率的知识 ,读懂频率分布直方图 ,会计算概率以及样本中有 关的数据 . (9） 设双曲线 1 2 2 2 2 = b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的 离心率为 (A） 4 5 (B） 5 (C） 2 5 (D） 5 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率 /组距 第 8 题图 【解析】 :双曲线 1 2 2 2 2 = b y a x 的一条渐近线为 x a b y = ,由方程组 2 1 b y x a yx = = + ,消去 y,得 2 10 b xx a +
12、=有唯一解 ,所以 = 2 () 4 0 b a = , 所以 2 b a = , 22 2 1() 5 cab b e aa a + = =+ = ,故选 D. 答案 :D. 【命题立意】 :本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 ,以及直线与抛物线的位置 关系 ,只有一个公共点 ,则解方程组有唯一解 .本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能 . (10） 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1( 0),1(log 2 xxfxf xx ，则 f（ 2009）的值为 (A） -1 (B） 0 (C） 1 (D） 2 【解析】 :由已知得 2 (1) log
13、2 1f = =, (0) 0f = , (1) (0) ( 1) 1fff= =, (2) (1) (0) 1fff=, (3) (2) (1) 1 ( 1) 0fff=, (4) (3) (2) 0 ( 1) 1fff=, (5) (4) (3) 1fff= =, (6) (5) (4) 0fff= =, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（ 2009） = f（ 5） =1,故选 C. 答案 :C. 【命题立意】 :本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 . （ 11）在区间 -1， 1上随机取一个数 x， cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的
14、概率为 ( ). （ A） 3 1 （ B） 2 （ C） 2 1 （ D） 3 2 【解析】 :在区间 -1， 1上随机取一个数 x,即 1,1x 时 , 222 x , 0cos 1 2 x 区间长度为 1, 而 cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的区间长度为 2 1 ,所以概率为 2 1 .故选 C 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 ,由自变量 x 的取值范围 ,得到函数 值 cos 2 x 的范围 ,再由长度型几何概型求得 （ 12） 设 x， y 满足约束条件 + 0,0 02 063 yx yx yx ， 若目标函数 z=ax+by（
15、a0， b0）的是最大值为 12，则 23 ab + 的最小值为 ( ). （ A） 6 25 （ B） 3 8 （ C） 3 11 （ D） 4 【解析】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当 直线 ax+by= z（ a0， b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时，目标函数 z=ax+by（ a0， b0）取得最大 12，即 4a+6b=12,即 2a+3b=6，而 23 ab + = 2 3 2 3 13 13 25 () () 2 66 6 6 ab ba ab ab + +=+=, 故选 A. 答案 :A 【命题立意】 :本题综合地考查了线
16、性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 .要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 ,并且能够求得目标函数的最值 ,对于形如已知 2a+3b=6,求 23 ab + 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 . 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （ 13）不等式 0212 xx 的解集为 . 【解析】 :原不等式等价于不等式组 2 21(2)0 x xx 或 1 2 2 21(2)0 x xx + 或 1 2 (2 1) ( 2) 0 x xx + 不等式组无解,由得 1 1 2 x ,由得 1 1 2 x ,综上得 11x ,所以原不等式的解集
17、为 |1 1xx . 答案: |1 1xx 0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 : 设函数 (0, x yaa= 且 1a 和函数 yxa= + ,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a 1) 有两个零点 , 就是函数 (0, x yaa=且 1a 与函数 yxa= + 有两个交点 ,由图象可知当 10 a 时 ,因为函数 (1) x yaa= 的图象过点 (0,1),而直线 yxa=+所过的点一定在点 (0,1)的上方 ,所以一定有两个交点 .所以实数 a 的取 值范围是 1a 答案 : 1a 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关
18、系 ,隐含着对指数函数的性质的考查 ,根据其底数的不同取值 范围而分别画出函数的图象解答 . （ 15）执行右边的程序框图，输入的 T= . 【解析】 :按照程序框图依次执行为 S=5， n=2， T=2； S=10， n=4， T=2+4=6； S=15， n=6， T=6+6=12； S=20， n=8， T=12+8=20； S=25， n=10， T=20+10=30S，输出 T=30 答案 :30 【命题立意】 :本题主要考查了循环结构的程序框图 ,一般都 可以反复的进行运算直到满足条件结束 ,本题中涉及到三个 变量 ,注意每个变量的运行结果和执行情况 . （ 16）已知定义在 R
19、上的奇函数 )(xf ，满足 (4) ()f xfx = ,且在区间 0,2上是增函数 , 若方程 f(x)=m(m0) 在区间 8,8 上有四个不同的根 1234 ,x xxx, 则 1234 _.xxxx+= 【解析】 :因为定义在 R 上的奇函数，满足 (4) ()f xfx = ,所以 (4) ()f xfx =,所以 , 由 )(xf 为奇函数 ,所以函数图象关于直线 2x = 对称且 (0) 0f = ,由 (4) ()f xfx= 知 (8) ()f xfx= ,所以函数是以 8 为周期的周期函数 ,又因为 )(xf 在区间 0,2上是增函数 ,所 开始 S=0,T=0,n=0
20、TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 以 )(xf 在区间 -2,0上也是增函数 .如图所示 ,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 8,8 上有四个 不同的根 1234 ,x xxx , 不妨设 1234 x xxx0) E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D 解法一： （ 1）在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，取 A 1 B 1 的中点 F 1 ， 连接 A 1 D， C 1 F 1 ， CF 1 ，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以 CD= / A 1 F 1 ， A 1 F 1 CD 为平行四边
21、形，所以 CF 1 /A 1 D， 又因为 E、 E 1 分别是棱 AD、 AA 1 的中点，所以 EE 1 /A 1 D， 所以 CF 1 /EE 1 ，又因为 1 EE 平面 FCC 1 ， 1 CF 平面 FCC 1 ， 所以直线 EE 1 /平面 FCC 1 . （ 2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱 AB 的中点 ,所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 ,取 CF 的中点 O,则 OB CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,CC 1 平面 ABCD,所以 CC 1 BO,所以 OB平面 CC 1 F,过 O 在平面 CC 1
22、F 内作 OP C 1 F,垂足为 P,连接 BP,则 OPB 为二面 角 B-FC 1 -C 的一个平面角 , 在 BCF 为正三角形中 , 3OB = ,在 Rt CC 1 F 中 , OPF CC 1 F, 11 OP OF CC C F = 22 12 2 2 OP = + , 在 Rt OPF 中 , 22 114 3 22 BP OP OB=+=+=, 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP =,所以 二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为 7 7 . 解法二 :（ 1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点 , 所以 BF=BC=CF, BCF 为
23、正三角形 , 因为 ABCD 为 等腰梯形 ,所以 BAC= ABC=60 ,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM AB,所以 DM CD, 以 DM 为 x 轴 ,DC 为 y 轴 ,DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系 , ,则 D（ 0,0,0） ,A（ 3 ,-1,0） ,F（ 3 ,1,0） ,C（ 0,2,0） , C 1 （ 0,2,2 ） ,E （ 3 2 , 1 2 ,0 ） ,E 1 （ 3 ,-1,1 ） , 所以 1 31 (,1) 22 EE = uuur , (3,1,0)CF = uuur , 1 (0,0,2)CC = uuuur 1 (3,1,2)F
24、C = uuuur 设平面 CC 1 F 的法 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D F 1 O P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D x y z M 向量为 (, ,)nxyz= r 则 1 0 0 nCF nCC = = ruuur r uuuur 所以 30 0 xy z = = 取 (1, 3, 0)n= r , 则 1 31 13100 22 nEE=+= r uuur ,所以 1 nEE r uuur ,所以直线 EE 1 /平面 FCC 1 . （ 2 ） (0,2,0)FB = uuur , 设平面 BFC 1 的法向量为
25、 1111 (, ,)nxyz= ur , 则 1 11 0 0 nFB nFC = = ur uuur ur uuuur 所以 1 11 1 0 320 y xy z = += ,取 1 (2,0, 3)n = ur ,则 1 21 3 0 0 3 2nn = + = r ur , 2 | 1(3) 2n =+ = r , 22 1 | 2 0(3) 7n =+ = ur , 所以 1 1 1 27 cos , 7 |2 7 nn nn nn = = = r ur rur ruur ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角 ,所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为 7 7 . 【命题
26、立意】 :本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算 .考查空间 想象能力和推理运算能力 ,以及应用向量知识解答问题的能力 . (19)(本小题满分 12 分 ) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分， 在 B 处每投进一球得 2 分； 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮， 否则投第三次， 某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25，在 B 处的命中率为 q 2 ，该同学选择先在 A 处投一球， 以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P 1 P 2
27、 P 3 P 4 （ 1） 求 q 2 的值； （ 2） 求随机变量 的数学期望 E ; （ 3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小。 解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立 ,且 P(A)=0.25, ( ) 0.75PA= , P(B)= q 2 , 2 () 1PB q= . 根据分布列知 : =0 时 2 2 ( ) ()()() 0.75(1 )PABB PAPBPB q=0.03,所以 2 10.2q= ， q 2 =0.2. （ 2）当 =2 时 , P 1
28、 = )()()( BBAPBBAPBBABBAP +=+ )()()()()()( BPBPAPBPBPAP += =0.75 q 2 ( 2 1 q )2=1.5 q 2 ( 2 1 q )=0.24 当 =3 时 , P 2 = 2 2 ( ) ()()() 0.25(1 )PABB PAPBPB q=0.01, 当 =4 时 , P 3 = 2 2 ( ) ()()() 0.75PABB PAPBPB q=0.48, 当 =5 时 , P 4 = ()()()P ABB AB P ABB P AB+= + 22 2 ()()() ()() 0.25 (1 ) 0.25PAPBPB PA
29、PB q q q=+=+=0.24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量 的数学期望 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63E = + + + + = （ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 ()P BBB BBB BB+ ()()()PBBB PBBB PBB=+ 22 22 2 2(1 ) 0.896qq q= += ; 该同学选择（ 1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概
30、率大 . 【命题立意】 :本题主要考查了互斥事件的概率 ,相互独立事件的概率和数学期望 ,以及运用概 率知识解决问题的能力 . （ 20） （本小题满分 12 分） 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知对任意的 nN + ，点 (, ) n nS ，均在函数 (0 x yb rb=+ 且 1, ,bbr 均为常数 )的图像上 . （ 1）求 r 的值； （ 11）当 b=2 时，记 2 2(log 1)( ) nn banN + =+ 证明：对任意的 nN + ，不等式 12 12 111 1 n n bbb n bb b + + +成立 解 :因为对任意的 nN + ,点 (,
31、 ) n nS ， 均在函数 (0 x yb rb= +且 1, ,bbr 均为常数的图像 上 . 所以得 n n Sbr=+ , 当 1n= 时 , 11 aSbr= =+ , 当 2n 时 , 111 1 () (1) nn nn n nnn aSS brb rbb bb = =+ += = ,又因为 n a 为等比数列 ,所以 1r = ,公比为 b , 1 (1) n n abb = （ 2）当 b=2 时， 11 (1) 2 nn n abb = = , 1 22 2(log 1) 2(log 2 1) 2 n nn ba n = += += 则 1 21 2 n n b n bn
32、+ + = ,所以 12 12 111 35721 246 2 n n bbb n bb b n + + =L 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 111 35721 1 246 2 n n bbb n n bb b n + + = +L 成立 . 当 1n= 时 ,左边 = 3 2 ,右边 = 2 ,因为 3 2 2 ,所以不等式成立 . 假设当 nk= 时不等式成立 ,即 12 12 111 35721 1 246 2 k k bbb k k bb b k + + = +L 成立 . 则当 1nk=+时 ,左边 = 112 12 1 1111 3572123 246 2 2 2 kk
33、kk bbbb k k bb bb kk + + + + + + = + L 22 23 (23) 4(1)4(1)1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 2 4( 1) 4( 1) 4( 1) kk kk k + + + = = = + + + 所以当 1nk=+时 ,不等式也成立 . 由、可得不等式恒成立 . 【命题立意】 :本题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式 ,以及已知 n S 求 n a 的基本题型 ,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题 ,以及放缩法证明不等式 . （ 21） （本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径
34、的半圆弧 上选择一点 C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. （ I）将 y 表示成 x 的函数； （）讨论（ I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存
35、在一点，使建在此处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离 ;若不存在，说明理由。 解 :（ 1）如图 ,由题意知 AC BC, 22 400BCx= , 22 4 (0 20) 400 k yx xx =+ 其中当 10 2x = 时， y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 (0 20) 400 yx xx =+ 设 22 , 400mxn x= , 则 400mn+ = , 49 y mn = + , 所以 49 49 1 4 9 1 1 ( ) 13 ( ) (13 12) 400 400 400 16 mn
36、n m y mn mn m n + =+= + = + + + = 当且仅当 49nm mn = 即 240 160 n m = = 时取 ”=”. 下面证明函数 49 400 y mm =+ 在 (0,160)上为减函数 , 在 (160,400)上为增函数 . 设 0m 1 m 2 160,则 12 112 2 49 49 () 400 400 yy mmmm =+ + 12 1 2 44 9 9 ()( ) 400 400mm m m =+ 21 12 12 1 2 4( ) 9( ) (400 )(400 ) mm mm mm m m =+ 21 12 1 2 49 () (400 )
37、(400 ) mm mm m m = 1212 21 12 1 2 4(400 )(400 ) 9 () (400 )(400 ) mmm mm mm m m = , 因为 0m 1 m 2 4240240 9 m 1 m 2 , 所以 1212 21 12 1 2 4(400 )(400 ) 9 () 0 (400 )(400 ) mmm mm mm m m 即 12 y y 函数 49 400 y mm =+ 在 (0,160)上为减函数 . 同理 , 函数 49 400 y mm =+ 在 (160,400) 上为增函数 , 设 160m 1 m 2 400, 则 A B C x 12
38、112 2 49 49 () 400 400 yy mmmm =+ + 1212 21 12 1 2 4(400 )(400 ) 9 () (400 )(400 ) mmm mm mm m m = 因为 1600m 1 m 2 400,所以 4 12 (400 )(400 )mm 9160160 所以 1212 12 1 2 4(400 )(400 ) 9 0 (400 )(400 ) mmm mm m m , 所以 1212 21 12 1 2 4(400 )(400 ) 9 () 0 (400 )(400 ) mmm mm mm m m 即 12 y y0）过 M（ 2， 2 ） ， N(
39、 6 ,1)两点， O 为坐标原点， （ I）求椭圆 E 的方程； （ II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA OB uuur uuur ？若存在，写出该圆的方程，并求| AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解 :（ 1）因为椭圆 E: 22 22 1 xy ab +=（ a,b0）过 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)两点 , 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab += += 解得 2 2 11 8 11 4 a b = = 所以 2 2 8 4 a b = = 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy + = （
40、 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA OB uuur uuur , 设该圆的切线方程为 ykxm= + 解方程组 22 1 84 xy y kx m += =+ 得 22 2( ) 8xkxm+=,即 22 2 (1 2 ) 4 2 8 0kx kmx m+=, 则 = 22 2 2 2 2 16 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0km k m k m +=+,即 22 840km + 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m xx k += + = + , 22 22 2 2 22 12 1 2 12
41、 1 2 22 (2 8) 4 8 ()() () 12 12 12 km km m k yy kx m kx m kxx kmx x m m kk =+ += + += += + + 要使 OA OB uuur uuur ,需使 12 12 0 xx yy+=,即 222 28 8 0 12 12 mmk kk + = + ,所以 22 3880mk=, 所以 2 2 38 0 8 m k =又 22 840km+, 所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m , 即 26 3 m 或 26 3 m , 因为直线 ykxm=+为圆心在原点的圆的一条切线 ,所以圆的半径为 2 1
42、m r k = + ， 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk = = + + ， 26 3 r = ， 所求的圆为 22 8 3 xy+=，此时圆的切线 y kx m= + 都满足 26 3 m 或 26 3 m ，而当 切线的斜率不存在时切线为 26 3 x = 与椭圆 22 1 84 xy + = 的两个交点为 26 26 (, ) 33 或 26 26 (,) 33 满足 OA OB uuur uuur ，综上，存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy+ = ，使得该圆的任 意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA OB uuur uuur . 【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题 ,主要考查了椭圆的标准方程的确定 ,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 ,能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系
