1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8 小题，每题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1若 2 log 0a ，则【 D 】 A 1a , 0b B 1a , 0b C. 01a D. 01a , 0b 2对于非零向量 ,ab rr “ 0ab+= rrr ”是“ /ab r r ”的【 A 】 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3将函数 siny x= 的图象向左 平移 (0 2 ) 个单位后，得到函数 sin( ) 6 yx =的 图象，则 等于【 D
2、】 A 6 B 5 6 C. 7 6 D. 11 6 4 如图 1， 当参数 12 , = 时， 连续函数 (0) 1 x yx x = + 的 图像分别对应曲线 1 C 和 2 C , 则【 B 】 A 12 0 B 21 0 C 12 0 D 21 0 取函数 ()f x = 2 x x e 。若对任意的 (,)x+，恒有 () K f x = ()f x ，则【 D 】 AK 的最大值为 2 BK的最小值为 2 CK 的最大值为 1 DK的最小值为 1 二、填空题：本大题共7 小题，每小题 5分，共35 分，把答案填在答题卡 中对应题号后的 横线上 9某班共 30 人，其中 15 人喜爱
3、篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不 喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _ . 10在 3333 (1 ) (1 ) (1 )x xx+ + 的展开式中， x的系数为_7_ (用数字作答). 11若 (0, ) 2 x ，则 2tan tan( ) 2 x x +的最小值为 22 . 12已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60 o ，则 双曲线 C 的离心率为 6 2 13一个总体分为 A，B两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容 量为 10 的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为
4、1 28 ，则总体中的个体数为 40 。 14在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ； （2）过，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15 将正 ABC 分割成 2* (2, )nn n N个全等的小正三角形 （图2， 图3 分别给出了 n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直 线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三个数互 不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 (
5、)f n ，则有 (2) 2f = ， (3)f = 10 3 ， ， ()f n = 1 (1)(2) 6 nn+ + . B A C A B C 图3 图2 三解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知 2 233AB AC AB AC BC= = uuuruuur uuur uuur uuur ，求角 A，B，C 的大小 解： 设 ,BCaACbABc= 由 23AB AC AB AC= uuur uuur uuur uuur 得 2cos 3bc A bc= ，所以 3 cos 2 A= . 又 (
6、0, ),A 因此 6 A = 由 2 33AB AC BC= uuuruur uur 得 2 3bc a= ，于是 2 3 sin sin 3sin 4 CB A= =. 所以 53 sin sin( ) 64 CC =， 13 3 sin ( cos sin ) 22 4 CC C+ =， 因此 2 2sin cos 2 3sin 3,sin 2 3cos2 0CC C C C+ = =，既 sin(2 ) 0 3 C =. 由 6 A = 知 5 0 6 C ，所以 4 2 333 C ， 从而 20, 3 C =或 2, 3 C =，既 , 6 C = 或 2 , 3 C = 故 2
7、, 636 AB C = =或 2 , 66 3 ABC =。 17（本小题满分 12 分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 1 2 ， 1 3 ， 1 6 .现在 3 名工人独立地 从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布 列及数学期望。 解: 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 , iii ABCi=1，2，3.由题意知 123 ,AA
8、A相互独立， 123 ,B BB相互独立， 123 ,CCC相 互独立， , ijk A BC（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 111 () ,() ,() . 236 iii PA PB PC= （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 123 3! ( )PABC 123 6( )( )( )PAPB PC= 111 1 6. 236 6 = = （）解法 1：设3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ， 由已知， null B（3， 1 3 ），且 =3-。 所以P（ =0）=P（ =3）= 33 3 1 () 3 C = 1 27 ， P（ =
9、1）=P（ =2）= 2 3 C 2 1 () 3 2 () 3 = 2 9 ， P（ =2）=P（ =1）= 1 3 C 1 () 3 2 2 () 3 = 4 9 ， P（ =3）=P（ =0）= 0 3 C 3 2 () 3 = 8 27 . 故 的分布列是 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 E = 1 0 27 + 2 1 9 + 4 2 9 + 8 3 27 =2. 解法 2: 记第 i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 i D ，i=1,2,3 . 由已知， 123 ,DDD相互独立， 且P （ i D ） =（ ii AC+ ）
10、 = P（ i A ） +P（ i C ） = 1 2 + 1 6 = 2 3 ， 所以 null 2 (3, ) 3 B ,即 3 3 21 ()()() 33 kk k PkC = ， 0,1,2,3.k = 故 的分布列是 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 18（本小题满分 12 分） 如图 4，在正三棱柱 111 ABC ABC 中， 1 2AB AA= ， 点D是 11 AB的中点，点 E 在 11 AC 上，且 DE AE （I）证明：平面 ADE 平面 11 ACC A ； （II）求直线 AD和平面 ABC 所成角的正弦值。 解：（I） 如图所示，由正三棱
11、柱 111 ABC ABC 的性质知 1 AA 平面 111 ABC. 又DE 平面 111 ABC，所以 DE 1 AA .而DE AE， 1 AA IAE=A， 所以DE 平面 11 ACC A .又 DE 平面 ADE，故平面 ADE 平面 11 ACC A （2） 解法1： 如图所示， 设 F 是AB 的中点， 连接DF， DC 1 ， C 1 F， 由正三棱柱 111 ABC ABC 的性质及 D是 11 AB的中点知， 11 AB C 1 D， 11 AB DF 又C 1 DIDF=D，所以 11 AB 平面 C 1 DF.而AB 11 AB， 所以AB 平面C 1 DF.又AB
12、平面 ABC 1 ， 故平面AB C 1 平面 C 1 DF。过点 D 做 DH 垂直 C 1 F于点H，则DH 平面AB C 1 。 连接 AH，则 HAD 是 AD 和平面 ABC 1 所成的角。 由已知 AB= 2 A A 1 ，不妨设 A A 1 = 2 ，则 AB=2，DF= 2 ，D C 1 = 3 ，C 1 F= 5 ， AD= 22 11 AAAD+ = 3 ，DH= FC DCDF 1 1 = 5 32 = 5 30 . A B C D A 1 B 1 C 1 E A B C D A 1 B 1 C 1 E F H 所以 sin HAD= AD DH = 5 10 。即直线
13、AD 和平面AB C 1 所成角的正弦值为 5 10 . 解法2： 如图所示， 设O是AC的中点， 以 O 为原点建立空间直角坐标系， 不妨设 A A 1 = 2 ， 则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3 ，0，0）， C 1 （0，1， 2 ）， D （ 2 3 ， 1 2 ， 2 ）。 易知 AB=( 3 ，1，0)， 1 AC =(0，2， 2 )， AD=( 2 3 ， 1 2 ， 2 ）. 设平面 ABC 1 的法向量为 (, ,)nxyz= r ,则有 1 30, 220. nAB x y nAC y z =+= =+ = r uuur r uuuur
14、 解得 3 ,2. 3 x yz y= = 故可取 (1, 3, 6 )n = r . 所以， cos , nAD nAD nAD = r uuur ruuur r uuur = 310 32 = 5 10 。 由此即知，直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为 5 10 。 19（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间 的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为 (2 )x x+ 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因 素.记余下工程的费用
15、为 y 万元。 （）试写出 y 关于 x的函数关系式； （）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解：（）设需新建 n个桥墩，则 (1) 1 m nxm x + =，即n= ， A B C D A 1 B 1 C 1 E x o z y 所以 ()y fx= (2 ) mm x xx xx +=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+ 256 2 256. m mx m x =+ （）由（）知， 2 13 22 2 256 1 ( ) ( 512). 22 mm fx mx x x x = + = 令 ( ) 0fx= ，得 3 2 512x = ，所以 x=
16、64. 当0 x64 时， ( )f x 0， ()f x 在区间（0，64）内为减函数； 当 64 640 x0. ()f x 在区间（64，640）内为增函数. 所以 ()f x 在 x=64 处取得最小值，此时 640 119. 64 m n x = = = 故需新建 9个桥墩才能使 y 最小。 20（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离 的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 （）求点P 的轨迹C； （）设过点 F 的直线 l与轨迹 C 相交于 M，N 两
17、点，求线段 MN 长度的最大值。 解：（）设点 P 的坐标为（x，y），则 22 4( 3) 3| 2|.dx yx=+ 由题设， 18dx=+，即 22 4( 3) 3| 2|18x yx x+ =+. 当 x2 时，由得 22 1 (3) 6 , 2 x yx+= 化简得 22 1. 36 27 xy += 当 2x 时，由得 22 (3 ) 3 ,x yx+=+ 化简得 2 12y x= . 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 22 1 :1 36 27 xy C +=在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 2 2 :12Cy x= 在直 线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组
18、成的曲线，参见图 1. （）如图 2 所示，易知直线 x=2 A B 图1 x=2 Fo y x 与 1 C ， 2 C 的交点都是 A（2， 26），B（2， 26 ）， 直线 AF，BF的斜率分别为 AF k = 26 ， BF k =26. 当点 P 在 1 C 上时，由知 1 6 2 PF x= . 当点 P 在 2 C 上时，由知 3PF x=+. 若直线 l的斜率 k 存在，则直线 l的方程为 (3)ykx= . （） 当k AF k ， 或k BF k ， 即k 26 或k 26 时，直线 l与轨迹 C 的两个交点 11 2 2 (, ), (, )M xy Nxy都在 1 C
19、上，此时由知 1 1 6, 2 MFx= 2 1 6 2 NF x= ， 从而MN= MF+ NF= （6 - 1 2 1 x ）+（6 - 1 2 2 x ）=12 - 1 2 ( 1 x + 2 x ). 由 22 (3), 1 36 27 ykx xy = += 得 22 2 2 (3 4 ) 24 36 108 0kx kx k+=. 则 1 x ， 1 y 是这个方程的两根， 所以 1 x + 2 x = 2 2 24 34 k k+ ， MN=12 - 1 2 （ 1 x + 2 x ） =12 - 2 2 12 34 k k+ . 因为当 2 26, 6 , 24,kkk 或2时
20、 所以 2 2 2 12 12 12 100 12 12 12 . 33 34 11 44 24 k MN k k = = = + + 当且仅当 26k = 时，等号成立。 （）当 ,26 26 AF AF kkk k 时，直线 l与轨迹 C 的两个交点 11 2 2 (, ), (, )M xy Nxy分别在 12 ,CC上，不妨设点 M 在 1 C 上，点 N 在 2 C 上， 则由知， 12 1 6, 3 2 MFxNFx= =+. 设直线 AF 与椭圆 1 C 的另一交点为 E 00 0 12 (, ), , 2.xy x xx 则 10 2 11 66 ,332 22 MFxxEFN
21、Fx AF= = =+ += ， 所以 MNMFNFEFAFAE=+=。而点 A，E 都在 1 C 上， A B 图2 x=2 E F M N o y x 且 26, AE k = 由（）知 100 100 , 11 11 AE MN=所以 若直线 l的斜率不存在，则 1 x = 2 x =3，此时 12 1 100 12 ( ) 9 211 MN x x= + = . 综上所述，线段 MN 长度的最大值为 100 11 . 21（本小题满分 13 分） 对于数列 n u ,若存在常数 M0,对任意的 * nN ，恒有 1121nnnn uuuu uuM + + +L , 则称数列 n u 为
22、 B数列. （）首项为 1，公比为 (1)qq 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （）设 n S 是数列 n x 的前 n项和，给出下列两组论断； A 组：数列 n x 是B-数列, 数列 n x 不是 B-数列; B 组：数列 n S 是B-数列, 数列 n S 不是 B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； ()若数列 , nn ab都是 B数列，证明：数列 nn ab 也是 B数列。 解:（）设满足
23、题设的等比数列为 n a ,则 1n n aq = ，于是 2 12 1 1, 2 n nn nn aa q q q q n = . 因此 1121 | nn nn aa aa aa + + +L = 21 1 (1 . ). n qqqq + 因为 1,q 所以 21 1 1 11 n n q qq q qq + + = L 即 1121 1 1 nnnn q aaaa aa q + + + L . 故首项为1，公比为 q (1)q 的等比数列是 B-数列。 （） 命题1： 若数列 n x 是 B-数列，则数列 n S 是B-数列. 此命题为假命题。 事实上，设 1, n x nN =，易知
24、数列 n x 是B-数列，但 n Sn= , 1121nnnn SSSS SSn + + +=L . 由 n的任意性知，数列 n S 不是 B-数列。 命题2： 若数列 n S 是 B-数列，则数列 n x 是B-数列. 此命题为真命题. 事实上，因为数列 n S 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 ,nN 有 1121nnnn SSSS SSM + + +L ， 即 12nn x xxM + +L 。于是 1121nnnn x xxx xx + + +L 11211 2 2 . 2 2 nnn x xx xxMx + + +， 所以数列 n x 是 B-数列。 （注：按题中要求组成其它
25、命题解答时，仿上述解法） （III）若数列 , nn ab是 B数列，则存在正数 12 ,M M ，对任意的 ,nN 有 11211nnnn aaaa aaM + + +L ； 11212nnnn bbba bbM + + +L ， 注意到 112 211nnnnn aaaaa aaa = + + +L 112 21111nn n n aa a a aa aMa + +L . 同理， 21n bMb+ . 记 111 KMa= + ， 222 KMb=+， 则有 11 11 1 1nn nn nn nn nn nn a b ab a b ab ab ab + + + + = 11 1 21 11nnnnnn nn nn baaabbKaaKbb + + + + +. 因此 11 11 22 11n n nn nn n n a b ab ab a b ab ab + + +L 21 1 21 () nnnn Ka a a a a a + +L 11 1 21 2112nnnn Kb b b b b b kM kM + +L . 故数列 nn ab 是 B数列.
