1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学 本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如
2、需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带, 不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h是锥体的高。 第卷 (共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 集合 0,2,A a= , 2 1,B a= ,若 0,1,2,4,16AB=U ,则 a的值为( ) A.
3、0 B.1 C.2 D.4 【解析】: 0,2,A a= , 2 1,B a= , 0,1,2,4,16AB=U 2 16 4 a a = = 4a = ,故选D. 答案:D 【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案, 本题属于容易题. 2. 复数 3 1 i i 等于（ ） A i21+ B.12i C.2 i+ D.2 i 【解析】: 2 2 3(3)(1)32 42 2 1(1)(1)1 2 iii ii i i iii i + =+ + ,故选C. 答案:C 【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母 变为实
4、数，将除法转变为乘法进行运算. 3. 将函数 sin2y x= 的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 析式是( ) A. 2 2cosy x= B. 2 2siny x= C. ) 4 2sin(1 += xy D. cos2y x= 【解析】:将函数 sin2y x= 的图象向左平移 4 个单位,得到函数 sin2( ) 4 yx =+即 sin(2 ) cos2 2 yx x =+=的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 为 2 1 cos2 2cosy xx=+ = ,故选A. 答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导
5、公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223 + B. 423 + C. 23 2 3 + D. 23 4 3 + 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆 柱的底面半径为 1,高为2,体积为 2 ,四棱锥的底面 边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为 () 2 123 23 33 = 所以该几何体的体积为 23 2 3 + . 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 2 2 侧 (左 )视图
6、2 2 2 正 (主 )视图 俯视图 5.在 R 上定义运算: a baabb += 2 ,则满足 x )2( x 0 的实数 x的取值范围为 ( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. ),1()2,( + U D.(-1,2) 【解析】:根据定义 x 02)2(2)2()2( 2 +=+= xxxxxxx ,解得 12 时函数为减函数,故选 A 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1
7、( 0),4(log 2 xxfxf xx ，则 f（3）的值为 ( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得 2 (1) log5f = , 2 (0) log 4 2f = = , 2 (1) (0) ( 1) 2 log 5fff= = , 2 (2) (1) (0) log 5fff= , 22 (3) (2) (1) log 5 (2 log 5) 2fff= = =,故选B. 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 答案:B 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.设P 是ABC 所在平面
8、内的一点， 2BCBA BP+= uuur uuuruur ，则（ ） A. 0PA PB+= uuuruur B. 0PB PC+= uuur uuur C. 0PC PA+ = uuur uuur D. 0PA PB PC+ += uuuruur uuur 【解析】:因为 2BCBA BP+= uuur uuuruur ，所以点 P 为线段AC的中点，所以应该选 C。 答案：C 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。 9. 已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“ ”是“ m ” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条
9、件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 :由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的一条直线, m ,则 , 反过来则不一定.所以“ ”是“ m ”的必要不充分条件 答案:B. 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 10. 设斜率为 2 的直线 l过抛物线 2 (0)yaxa= 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) A. 2 4y x= B. 2 8y x= C. 2 4y x= D. 2 8y x= 【解析】 : 抛物线 2 (0)yaxa=的焦点 F 坐标为 (,0) 4 a ,则直线
10、l的方程为 2( ) 4 a yx=, 它与 y 轴的交点为A (0, ) 2 a ,所以OAF的面积为 1 |4 24 2 aa = ,解得 8a = .所以抛物线 方程为 2 8y x= ,故选B 答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. A B C P 第 8 题图 11.在区间 , 22 上随机取一个数 x， cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为
11、( ). A. 3 1 B. 2 C. 2 1 D. 3 2 【解析】:在区间 , 22 上随机取一个数 x,即 , 22 x 时,要使 cosx的值介于 0 到 2 1 之间,需使 23 x 或 32 x ，区间长度为 3 ，由几何概型知 cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 3 = .故选A 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函 数值 cosx的范围,再由长度型几何概型求得. 12. 已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，满足 (4) ()f xfx = ,且在区间0,2上是增函数, 则( ). A. ( 25
12、) (11) (80)fff B. (80) (11) ( 25)fff C. (11) (80) ( 25)fff D. (25) (80) (11)fff ff ,所以 0)1( f ,即 (25) (80) (11)fff 0) 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4分，共16 分。 13.在等差数列 n a 中, 6,7 253 += aaa ,则 _ 6 =a . 【解析】:设等差数列 n a 的公差为 d ,则由已知得 +=+ =+ 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d = = ,所 以 61 513aa d=+ = 答案:13. 【命题立意】:本
13、题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14.若函数 f(x)=a x -x-a(a0 且a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】: 设函数 (0, x yaa=且 1a 和函数 yxa= + ,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a 1)有两个零点, 就是函数 (0, x yaa=且 1a 与函数 yxa= + 有两个交点,由图象 可知当 10 a 时,因为函数 (1) x yaa= 的图象 过点(0,1),而直线 yxa=+所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点. 所以实数 a的取值范围是 1| aa 答案: 1| aa 【命题立意】 :
14、本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15.执行右边的程序框图，输出的 T= . 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30 答案:30 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16.某公司租赁甲、乙两种设备生
15、产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费 为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_元. 【解析】:设甲种设备需要生产 x天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元, 则 200 300z xy=+，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A 类产品 (
16、件)(50) B 类产品 (件)( 140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5650 10 20 140 0, 0 xy xy xy + + 即: 6 10 5 214 0, 0 xy xy xy + + , 作出不等式表示的平面区域,当 200 300zxy=+对应的直线过两直线 6 10 5 214 xy xy += += 的交点 (4,5)时，目标函数 200 300zxy=+取得最低为 2300元. 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关 系,最好是列成表格,找出线性约束条
17、件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分。 17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2 )0(sinsincos 2 cossin 2 + xxx 在 =x 处取最小值. (1) 求 的值; (2) 在 ABC 中, cba , 分别是角 A,B,C 的对边,已知 ,2,1 = ba 2 3 )( =Af ,求角C. 解: （1） 1cos () 2sin cos sin sin 2 f xx x x + = + sin sin cos cos sin sinx xxx =+ + sin cos cos sinxx =+ sin( )x =+
18、 因为函数 f(x)在 =x 处取最小值， 所以 sin( ) 1 +=, 由诱导公式知 sin 1 = , 因为 0 ,所以 4 =B 或 4 3 =B . 当 4 =B 时, 7 6412 C = ; 当 4 3 =B 时, 3 6412 C = = . 综上所述， 7 12 C = 或 12 C = 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18.（本小题满分 12 分） 如图， 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， 底面 ABCD 为等腰梯形， AB/C
19、D， AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点 （）设 F是棱 AB 的中点,证明：直线 EE 1 /平面FCC 1 ； E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D （）证明:平面 D 1AC平面 BB 1C1C. （）证明： 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，取 A 1B1的中点 F 1， 连接 A 1D，C 1F1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以CD= / A1F1 ，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF 1/A1D， 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1
20、 的中点，所以 EE 1/A1D， 所以CF 1/EE1，又因为 1 EE 平面 FCC 1 ， 1 CF 平面 FCC 1 ， 所以直线 EE 1 /平面 FCC 1 . （）连接 AC,在直棱柱中，CC 1平面 ABCD,AC 平面ABCD, 所以CC 1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形， 60BCF=,ACF 为等腰三角形，且 30ACF = 所以ACBC, 又因为BC与CC 1都在平面 BB 1C1C 内且交于点 C, 所以AC平面BB 1C1C,而 AC 平面 D 1AC, 所以平面 D
21、1AC平面 BB 1C1C. 【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌 握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. （本小题满分 12 分） 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1） 求 z 的值 （2） 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中
22、任取 2辆,求至少有1 辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D F 1 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任 取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, 50 10 100 300n = + ,所以 n=2000. z=2000-100-300-150-
23、450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以 400 1000 5 m = ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记 作S 1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S 1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适 型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S 1, B1)
24、, (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 7 10 . (3)样本的平均数为 1 (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 9 8 x= + =, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 75.0 8 6 = . 【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型
25、求事件的概率问 题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 20.（本小题满分 12 分） 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知对任意的 nN + ，点 (, ) n nS ，均在函数 (0 x yb rb=+ 且 1, ,bbr 均为常数)的图像上 （1）求r 的值； （11）当b=2 时，记 1 () 4 n n n bnN a + + =求数列 n b 的前 n项和 n T 解:因为对任意的 nN + ,点 (, ) n nS ， 均在函数 (0 x yb rb= +且 1, ,bbr 均为常数)的图 像上.所以得 n n Sbr=+, 当 1n =
26、 时, 11 aSbr=+, 当 2n 时, 111 1 () (1) nn nn n nnn aSS brb rbb bb = =+ += = , 当n=2时， 2 (1)abb= 又因为 n a 为等比数列, 所以 2 1 a b a = ，即 (1)bb b br = + 解得 1r = （2）由（1）知， nN + ， 11 (1) 2 nn n abb = = , 所以 11 111 4422 n nn n nnn b a + + = = 234 1 234 1 222 2 n n n T + + =+L ， 345 1 2 1234 1 22222 n nn nn T + + +
27、=+L 两式相减,得 2345 1 2 12111 1 1 22222 22 n nn n T + + + =+ L 31 2 11 (1 ) 22 1 1 2 n n n + + =+ 12 31 1 42 2 nn n + + = 所以 11 31 13 3 22 2 2 2 n nn n T + = = 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S 求 n a 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n项和 n T . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 () 3 3 f xaxbxx=+,其中 0a （
28、1） 当 ba, 满足什么条件时, )(xf 取得极值? （2） 已知 0a ,且 )(xf 在区间 (0,1上单调递增,试用 a表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 2 ( ) 2 1f xax bx=+,令 0)( =xf ,得 2 210ax bx+ +=, )(xf 要取得极值,方程 2 210ax bx+=必须有解, 所以 2 440ba=,即 2 ba , 此时方程 2 210ax bx+ +=的根为 22 1 244 2 bbabba x aa =, 22 2 244 2 bbabba x aa + =, 所以 12 ( ) ( )( )f x axxxx= 当 0a
29、时, x (-,x 1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+) ( )f x 0 0 ()f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 )(xf 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当 0 时, )(xf 取得极值 (2)要使 )(xf 在区间 (0,1上单调递增,需使 2 ( ) 2 1 0f x ax bx= +在 (0,1上恒成立. 即 1 ,(0,1 22 ax bx x 恒成立, 所以 max 1 () 22 ax b x 设 1 () 22 ax gx x = , 2 22 1 () 1 ( ) 22 2 ax a a gx xx = + = , 令 ( )
30、0gx= 得 1 x a = 或 1 x a = (舍去), 当 1a 时, 1 01 a , 1 () 22 ax gx x = 单调增函数; 当 1 (,1x a 时 ( ) 0gx , 1 () 22 ax gx x = 单调减函数, 所以当 1 x a = 时, ()gx取得最大,最大值为 1 ()ga a = . 所以 ba 当 01aa 时, ba ;当 01a时, 1 2 a b + 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函 数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函 数研究最值.运用函数与方程的思
31、想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22. （本小题满分 14 分） 设 mR ,在平面直角坐标系中,已知向量 (, 1)amxy= + r ,向量 (, 1)bxy= r ,ab rr , 动点 (, )M xy的轨迹为 E. （1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4 1 =m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个 交点A,B,且 OA OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 4 1 =m ,设直线 l与圆C: 22 2 x yR+ = (1Rm 且 1m 时,方程表示的是椭圆; 当 0, 即 22 410
32、kt+,即 22 41tk+, 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t xx k += + = + 22 22 2 2 22 12 1 2 12 1 2 22 (4 4) 8 4 ()() ( ) 14 14 14 kt kt t k yy kx t kx t kxx ktx x t t kk =+ += + += += + + , 要使 OA OB uuur uuur , 需使 12 12 0 xx yy+=,即 22222 22 2 44 4 54 4 0 14 14 14 ttktk kk k + = + + , 所以 22 54 40tk=, 即 22 5
33、44tk=+且 22 41tk + , 即 22 44205kk+ +恒成立. 所以又因为直线 ykxt= + 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k = + , 2 2 2 22 4 (1 ) 4 5 115 k t r kk + = = + , 所求的圆为 22 4 5 xy+=. 当切线的斜率不存在时,切线为 5 5 2 =x ,与 2 2 1 4 x y+ = 交于点 )5 5 2 ,5 5 2 ( 或 )5 5 2 ,5 5 2 ( 也满足 OA OB . 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A
34、,B,且 OA OB uuur uuur . (3)当 4 1 =m 时,轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y+ = ,设直线 l的方程为 ykxt= + ,因为直线 l与圆 C: 22 2 x yR+=(1R2)相切于A 1, 由（2）知 2 1 t R k = + , 即 22 2 (1 )tR k=+ 因为 l与轨迹 E 只有一个公共点 B 1, 由（2）知 2 2 1 4 y kx t x y+ + = = 得 22 4( ) 4xkxt+=, 即 22 2 (1 4 ) 8 4 4 0kx ktx t+=有唯一解 则= 22 2 2 2 2 64 16(1 4 )( 1) 16
35、(4 1) 0kt k t k t + = +=, 即 22 410kt +=, 由得 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 R t R R k R = = , 此时 A,B 重合为 B 1(x1,y1)点, 由 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t xx k += + = + 中 21 xx = ,所以, 22 2 1 22 4 4 16 16 14 3 tR x kR = + , B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 2 22 112 14 1 43 R yx R = = ,所以 22 2 111 2 4 | 5OB x y R =+=, 在直角三角形 OA 1B1 中, 22 2 2 2 11 1 1 22 44 |5 5( )ABOB OA R R RR =+因为 2 2 4 4R R +当且仅当 2(1,2)R = 时取等号,所以 2 11 |541AB =,即 当 2(1,2)R = 时|A 1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可 以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
