1、 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意事项： 1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘 贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致 2 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无效 4
2、 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 2 4SR= ()()()PA B PA PB+= + 其中 R表示球的半径 如果事件 AB， 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 3 4 3 VR= 如果随机变量 (, ),Bnp null 那么 其中 R表示球的半径 (1 )Dnpp = 第 I 卷 （选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 （ 1） 复数 32 (1 )ii+=（ ） A
3、2 B 2 C 2i D 2i （ 2） 集合 |lg,1AyRy xx= = ， 2, 1,1, 2B = 则下列结论正确的是（ ） A 2, 1AB=I B () (,0) R CA B= U C (0, )AB=+U D () 2,1 R CA B= I （ 3） 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，若 (2,4)AB= uuur ， (1, 3)AC = uuur ,则 AB = uuur （ ） A （ 2， 4） B （ 3， 5） C （ 3， 5） D （ 2， 4） （ 4） 已知 ,mn是两条不同直线， , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ,mn
4、 mn 若则 B , 若则 C ,mm 若则 D ,mn mn 若则 （ 5） 将函数 sin(2 ) 3 yx =+的图象按向量 平移后所得的图象关于点 (,0) 12 中心对称，则向量 的坐标可能为（ ） A (,0) 12 B (,0) 6 C (,0) 12 D (,0) 6 （ 6） 设 88 01 8 (1 ) ,x aax ax+=+L 则 0, 1 8 ,aa aL 中奇数的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 （ 7） 0a， 和 2 222 ()(0)N ， 的密度函数图像如图所示。则有 （ ） A 1212 , B 1212 , C 1212 , （ 11） 若函
5、数 (), ()f xgx分别是 R上的奇函数、偶函数，且满足 () () x f xgxe = ，则有（ ） A (2) (3) (0)f fg B (0) (3) (2)gff C (2) (0) (3)f gf D (0) (2) (3)gff 且 （）求函数 ()f x 的单调区间； （）已知 1 2 a x x 对任意 (0,1)x 成立，求实数 a的取值范围。 （ 21） （本小题满分 13 分） 设数列 n a 满足 3* 01 0, 1 , , nn aaca cN c + =+其中 为实数 （）证明： 0,1 n a 对任意 * nN 成立的充分必要条件是 0,1c ； （）
6、设 1 0 3 c，证明： 1* 1(3) , n n acnN ; （）设 1 0 3 c+ L （ 22） （本小题满分 13 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=过点 (2,1)M ，且着焦点为 1 (2,0)F （）求椭圆 C的方程； （）当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 ,AB时，在线段 AB 上取点 Q，满足 AP QB AQ PB= uuur uuuruuruur nullnull，证明：点 Q总在某定直线上 2008 年高考安徽理科数学试题参考答案 一 . 选择题 1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10
7、A 11D 12C 二 . 13: 3, )+ 14: 1 15: 7 4 16: 4 3 三 . 解答题 17 解： （ 1） ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( ) 344 fx x x x =+ +Q 13 cos 2 sin 2 (sin cos )(sin cos ) 22 x xxxxx=+ + + 22 13 cos 2 sin 2 sin cos 22 x xxx=+ + 13 cos 2 sin 2 cos 2 22 x xx=+ sin(2 ) 6 x = 2 T 2 =周期 由 2(),() 62 23 k x kkZx kZ = + = + 得 函数图象的对
8、称轴方程为 () 3 x kkZ =+ （ 2） 5 ,2 , 12 2 6 3 6 xx Q 因为 () sin(2 ) 6 fx x = 在区间 , 12 3 上单调递增，在区间 , 32 上单调递减， 所以 当 3 x = 时， ()f x 去最大值 1 又 31 () () 12 2 2 2 ff = = = 20 解 (1) 22 ln 1 () , ln x fx x x + = 若 () 0,fx= 则 1 x e = 列表如下 x 1 (0, ) e 1 e 1 (,1) e (1, )+ ()f x + 0 - - ()f x 单调增 极大值 1 ()f e 单调减 单调减
9、(2) 在 1 2 a x x 两边取对数 , 得 1 ln 2 lnax x ,由于 01,x (1) 由 (1)的结果可知 ,当 (0,1)x 时 , 1 () ()f xf e e = , 为使 (1)式对所有 (0,1)x 成立 ,当且仅当 ln 2 a e ,即 ln 2ae 21 解 (1) 必要性 ： 12 0, 1aac= ， 又 2 0,1, 0 1 1ac ，即 0,1c 充分性 ： 设 0,1c ，对 * nN 用数学归纳法证明 0,1 n a 当 1n= 时， 1 00,1a = .假设 0,1( 1) k ak 则 3 1 111 kk aca ccc + =+=，且
10、 3 1 11 0 kk aca cc + = += 1 0,1 k a + ，由数学归纳法知 0,1 n a 对所有 * nN 成立 (2) 设 1 0 3 c，当 1n= 时， 1 0a = ，结论成立 当 2n 时， 32 111 1,1 (1 )(1 ) nn n n nn aca c aca a a =+= + 1 0 3 C ,由（ 1）知 1 0,1 n a ，所以 2 11 13 nn aa + + 且 1 10 n a 1 13(1) nn aca 211 12 1 1 3 (1 ) (3 ) (1 ) (3 ) (1 ) (3 ) nn nn n aca c a c a c
11、 =L 1* 1(3) ( ) n n acnN (3) 设 1 0 3 c ，结论成立 当 2n 时，由（ 2）知 1 1(3) 0 n n ac 212 12(1) 1 (1 (3 ) ) 1 2(3 ) (3 ) 1 2(3 ) nnnn n ac cc c = + 22 2 2 2 2 1 12 2 1 23 (3 ) (3 ) n nn aa a a a n c c c +=+ + +LL L 2(1 (3 ) ) 2 11 13 13 n c nn cc =+ + 22 解 (1)由题意： 2 22 222 2 21 1 c ab cab = += = ，解得 22 4, 2ab=
12、，所求椭圆方程为 22 1 42 xy + = (2)方法一 设点 Q、 A、 B 的坐标分别为 11 2 2 ( , ),( , ),( , )x yxy xy。 由题设知 , ,AP PB AQ QB uuuruur uuur uuur 均不为零，记 AP AQ PB QB = uuur uuur uuur uuur ,则 0 且 1 又 A， P， B， Q 四点共线，从而 ,AP PB AQ QB= = uuuruur uuur uuur 于是 12 4 1 x x = ， 12 1 1 y y = 12 1 x x x + = + ， 12 1 y y y + = + 从而 222
13、12 2 4 1 xx x = ， LL （ 1） 222 12 2 1 yy y = ， LL （ 2） 又点 A、 B 在椭圆 C 上，即 22 11 24,(3)xy+=LL 22 24,(4)xy+=LL （ 1） +（ 2） 2 并结合（ 3） ， （ 4）得 42 4sy+ = 即点 (, )Qxy总在定直线 220 xy+=上 方法二 设点 11 2 2 (, ), ( , ), ( , )Qxy Ax y Bx y ，由题设， , ,PA PB AQ QB uuuruur uuur uuur 均不为零。 且 PA PB AQ QB = uuuruur uuur uuur 又 ,
14、PAQB四点共线，可设 ,(0,1)PA AQ PB BQ= uuur uuur uuur uuur ,于是 11 41 , 11 x y xy = （ 1） 22 41 , 11 x y xy + = （ 2） 由于 11 2 2 (, ),(, )Ax y Bx y 在椭圆 C 上，将（ 1） ， （ 2）分别代入 C 的方程 22 24,xy+=整理得 22 2 ( 2 4) 4(2 2) 14 0 xy xy+ += （ 3） 22 2 ( 2 4) 4(2 2) 14 0 xy xy+ += (4) (4) (3) 得 8(2 2) 0 xy + = 0, 2 2 0 xy += 即点 (, )Qxy总在定直线 220 xy+ =上
