1、 第 1 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分第卷 1 至 2 页第卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号不能答在试题卷上 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式
2、( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk kn Pk Cp p k n =L， ， ， 一、选择题 1设集合 |3 2Mm m=Z ， |1 3Nn n MN= =Z I则， （ ） A 01， B 101 ， ， C 012， ， D 1012 ， ，
3、， 2设 abR， 且 0b ，若复数 3 ()abi+ 是实数，则（ ） A 22 3ba= B 22 3ab= C 22 9ba= D 22 9ab= 3函数 1 ()f xx x =的图像关于（ ） 第 2 页 共 11 页 A y 轴对称 B 直线 xy = 对称 C 坐标原点对称 D 直线 xy = 对称 4若 13 (1) ln 2ln lnx eaxb xcx =， ， ， ，则（ ） A a b c B c a b C b a c D b c ，则双曲线 22 22 1 (1) xy aa = + 的离心率 e 的取值范围是（ ） A (22)， B (2 5)， C (2 5
4、)， D (2 5)， 10 已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点， 则 AESD， 所 成的角的余弦值为（ ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 11等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 20 xy+ =与 740 xy =，原点在等腰三 角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A 3 B 2 C 1 3 D 1 2 12已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2， 则两圆的圆心距等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 第 3 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (
5、必修 +选修 ) 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13设向量 (1 2) (2 3)=， ，ab，若向量 +ab与向量 (4 7)= ，c 共线，则 = 14设曲线 ax y e= 在点 (0 1)， 处的切线与直线 210 xy+ +=垂直，则 a = 15已知 F 是抛物线 2 4Cy x=： 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A B， 两点设 FAFB ，则 FA 与 FB 的比值等于 16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
6、充要条件 ； 充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 ABC 中， 5 cos 13 B = ， 4 cos 5 C = （）求 sin A 的值； （）设 ABC 的面积 33 2 ABC S = ，求 BC 的长 18 （本小题满分 12 分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度 内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且 各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年
7、度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0.999 （）求一投保人在一年度内出险的概率 p ； （）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不 小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 第 4 页 共 11 页 19 （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 111 1 ABCD A B C D 中， 1 24AA AB= = ，点 E 在 1 CC 上且 ECEC 3 1 = （）证明： 1 AC平面 BED ； （）求二面角 1 ADEB 的大小 20 （本小题满分 12 分） 设数列 n a 的前 n 项和为 n S
8、已知 1 aa= ， 1 3 n nn aS + = + ， * nN （）设 3 n nn bS=，求数列 n b 的通项公式； （）若 1nn aa + ， * nN ，求 a 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 设椭圆中心在坐标原点， (2 0) (01)AB， ， 是它的两个顶点，直线 )0( = kkxy 与 AB 相交 于点 D，与椭圆相交于 E、 F 两点 （）若 6EDDF= uuur uuur ，求 k 的值； （）求四边形 AEBF 面积的最大值 22 （本小题满分 12 分） 设函数 sin () 2cos x fx x = + （）求 ()f x 的单调区间；
9、（）如果对任何 0 x ，都有 ()f xax ，求 a 的取值范围 A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 第 5 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 +选修）参考答案和评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数
10、，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 B 9 B 10 C 11 A 12 C 二、填空题 13 2 14 2 5 322+ 16两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边 形 注：上面给出了四个充要条件如果考生写出其他正确答案，同样给分 三、解答题 17解： （）由 5 cos 13 B = ，得 12 sin 13 B = ， 由 4 cos 5 C = ，得 3 sin 5 C = 所以 33 sin sin( ) sin cos cos sin 6
11、5 ABC BCBC=+= + = 5 分 （）由 33 2 ABC S = 得 133 sin 22 AB AC A =， 由（）知 33 sin 65 A= ， 故 65AB AC=， 8 分 又 sin 20 sin 13 AB B ACAB C =， 故 2 20 65 13 AB = ， 13 2 AB = 所以 sin 11 sin 2 AB A BC C = 10 分 第 6 页 共 11 页 18解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为 ， 则 4 (10 )B p ， （）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10
12、 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅 当 0 = ， 2 分 () 1 ()PA PA= 1(0)P = = 4 10 1(1 )p= ， 又 4 10 ( ) 1 0.999PA= ， 故 0.001p = 5 分 （）该险种总收入为 10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和 支出 10 000 50 000 + ， 盈利 10 000 (10 000 50 000)a = +， 盈利的期望为 10 000 10 000 50 000EaE = ， 9 分 由 43 (10 10 )B ， 知， 3 10 000 10E =， 44 4 10 10 5 10EaE= 4443 4 1
13、0 10 10 10 5 10a = 0E 44 4 10 10 10 5 10 0a 10 5 0a 15a （元） 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 19解法一： 依题设知 2AB = ， 1CE = 第 7 页 共 11 页 （）连结 AC 交 BD于点 F ，则 BDAC 由三垂线定理知， 1 BDAC 3 分 在平面 1 ACA内，连结 EF 交 1 AC于点 G ， 由于 1 22 AA AC FC CE =， 故 1 Rt RtAAC FCE ， 1 AAC CFE=， CFE 与 1 FCA 互余 于是 1 AC EF 1 AC与平面 BED 内两条相交直线
14、BDEF， 都垂直， 所以 1 AC 平面 BED 6 分 （）作 GH DE ，垂足为 H ，连结 1 AH 由三垂线定理知 1 AH DE ， 故 1 AHG 是二面角 1 ADEB的平面角 8 分 22 3EF CF CE=+=， 2 3 CE CF CG EF =， 22 3 3 EG CE CG= 1 3 EG EF = ， 12 3 15 EF FD GH DE = = 又 22 11 26AC AA AC=+=， 11 56 3 AG AC CG= 1 1 tan 5 5 AG AHG HG = 所以二面角 1 ADEB的大小为 arctan 5 5 12 分 解法二： 以 D
15、为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设， 1 (220) (020) (021) (204)BCEA， ， ， ， ， ， ， ， (0 2 1) (2 2 0)DE DB= uuur uuur ， ， ， ， ， A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 y x z A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 F H G 第 8 页 共 11 页 11 (22 4) (204)AC DA= = uuur uuuur ， ， ， ， 3 分 （）因为 1 0AC DB= uuur uuur null ， 1 0AC DE= uu
16、ur uuur null ， 故 1 AC BD ， 1 AC DE 又 DB DE D=I ， 所以 1 AC平面 DBE 6 分 （）设向量 ()x yz= ，n 是平面 1 DA E 的法向量，则 DE uuur n ， 1 DA uuuur n 故 20yz+=， 240 xz+ = 令 1y = ，则 2z = ， 4x = ， (41 2)=， ，n 9 分 1 AC uuur ，n 等于二面角 1 ADEB的平面角， 1 1 1 14 cos 42 AC AC AC = uuur uuur null uuur， n n n 所以二面角 1 ADEB的大小为 14 arccos 4
17、2 12 分 20解： （）依题意， 11 3 n nnn n SSaS + = =+，即 1 23 n nn SS + = + ， 由此得 1 1 32(3) nn nn SS + + = 4 分 因此，所求通项公式为 1 3(3)2 nn nn bS a = ， * nN 6 分 （）由知 1 3( 3)2 nn n Sa =+ ， * nN ， 于是，当 2n 时， 1nnn aSS = 11 2 3(3)2 3 (3)2 nnn n aa =+ 12 23 ( 3)2 nn a = + ， 12 1 43 ( 3)2 nn nn aa a + = + 第 9 页 共 11 页 2 2
18、3 212 3 2 n n a =+ ， 当 2n 时， 2 1 3 12 3 0 2 n nn aa a + + 9a 又 21 1 3aa a=+ 综上，所求的 a 的取值范围是 ) 9+， 12 分 21 （）解：依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y+ = ， 直线 AB EF， 的方程分别为 22xy+=， (0)ykxk= 2 分 如图，设 00 11 22 ()()()D x kx E x kx F x kx， ， ，其中 12 x x ， 21 0yy=， 故四边形 AEBF 的面积为 BEF AEF SS S=+ 22 2x y=+ 9 分 2 22 (2)x y=+
19、22 22 44x yxy=+ 22 2( 4 )x y+ 22= ， 当 22 2x y= 时，上式取等号所以 S 的最大值为 22 12 分 22解： （） 22 (2 cos )cos sin ( sin ) 2cos 1 () (2 cos ) (2 cos ) xx x x x fx x x + + = + 2 分 第 11 页 共 11 页 当 2 2 2 2 33 kxk ，即 () 0fx ； 当 2 4 2 2 33 kxk+（ kZ ）时， 1 cos 2 x ，即 () 0fx 因此 ()f x 在每一个区间 2 2 2 2 33 kk + ， （ kZ ）是增函数， (
20、)f x 在每一个区间 2 4 2 2 33 kk + ， （ kZ ）是减函数 6 分 （）令 () ()gx ax f x= ，则 2 2cos 1 () (2 cos ) x gx a x + = + 2 23 2cos (2cos) a x x = + + 2 11 1 3 2cos 3 3 a x =+ + 故当 1 3 a 时， () 0gx 又 (0) 0g = ，所以当 0 x 时， () (0) 0gx g = ，即 ()f xax 9 分 当 1 0 3 a 因此 ()hx在 ) 0arccos3a， 上单调增加 故当 (0 arccos3 )x a ， 时， () (0) 0hx h=， 即 sin 3x ax 于是，当 (0 arccos3 )x a ， 时， sin sin () 2cos 3 xx f xax x = + 当 0a 时，有 1 0 22 2 fa = 因此， a 的取值范围是 1 3 + ， 12 分
