1、2017年 辽 宁 省 沈 阳 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.已 知 集 合 A=x|x(x-3) 0， B=-1， 0， 1， 2， 3， 则 A B=( )A.-1B.1， 2C.0， 3D.-1， 1， 2， 3解 析 ： 集 合 A=x|x(x-3) 0=x|0 x 3，B=-1， 0， 1， 2， 3， A B=1， 2. 答 案 ： B.2.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 复
2、数 i z=1-2i， 则 复 数 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 利 用 复 数 的 运 算 法 则 、 几 何 意 义 即 可 得 出 .答 案 ： C.3.已 知 平 面 向 量 a =(3， 4)， b =(x， 12 )， 若 a b ， 则 实 数 x 为 ( ) A.-23B. 23C.38D.-38解 析 ： 利 用 向 量 共 线 定 理 即 可 得 出 .答 案 ： C.4.命 题 p： “ x N +， (12 )x 12 ” 的 否 定 为 ( )A.x N+， (
3、12 )x 12B.xN+， (12 )x 12C.xN+， (12 )x 12 D.x N+， (12 )x 12解 析 ： 本 题 中 的 命 题 是 一 个 全 称 命 题 ， 其 否 定 是 一 个 特 称 命 题 ， 由 规 则 写 出 否 定 命 题 即 可 .答 案 ： D.5.已 知 直 线 l： y=k(x+ 3)和 圆 C： x2+(y-1)2=1， 若 直 线 l 与 圆 C相 切 ， 则 k=( )A.0B. 3C. 33 或 0 D. 3或 0解 析 ： 找 出 圆 心 坐 标 与 半 径 r， 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 圆 心 到 直 线
4、的 距 离 d， 根 据 直线 与 圆 相 切 ， 得 到 圆 心 到 直 线 的 距 离 d=r， 即 可 求 出 k 的 值 .答 案 ： D.6.如 图 所 示 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 线 画 出 的 是 某 多 面 体 的 三 视 图 ， 则 该 多 面 体的 表 面 积 为 ( ) A.36+6 10B.36+3 10C.54D.27解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 ， 可 得 该 几 何 体 是 一 个 以 主 视 图 为 底 面 的 四 棱 柱 ， 代 入 柱 体 表 面 积公 式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： A.7.将 A，
5、 B， C， D 这 4 名 同 学 从 左 至 右 随 机 地 排 成 一 排 ， 则 “ A 与 B 相 邻 且 A 与 C 之 间 恰 好有 1 名 同 学 ” 的 概 率 是 ( )A.12 B.14 C.16D.18解 析 ： 先 求 出 基 本 事 件 总 数 n= 44A ， 再 利 用 列 举 法 求 出 “ A 与 B 相 邻 且 A 与 C 之 间 恰 好 有 1名 同 学 ” 包 含 的 基 本 事 件 个 数 ， 由 此 能 求 出 “ A 与 B 相 邻 且 A 与 C 之 间 恰 好 有 1 名 同 学 ” 的概 率 .答 案 ： B.8.中 国 古 代 数 学 著
6、 作 孙 子 算 经 中 有 这 样 一 道 算 术 题 ： “ 今 有 物 不 知 其 数 ， 三 三 数 之 余 二 ，五 五 数 之 余 三 ， 问 物 几 何 ？ ” 人 们 把 此 类 题 目 称 为 “ 中 国 剩 余 定 理 ” ， 若 正 整 数 N 除 以 正 整数 m 后 的 余 数 为 n， 则 记 为 N=n(modm)， 例 如 11=2(mod3).现 将 该 问 题 以 程 序 框 图 的 算 法 给 出 ， 执 行 该 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 n等 于 ( ) A.21B.22C.23D.24解 析 ： 该 程 序 框 图 的 作 用 是 求 被 3
7、除 后 的 余 数 为 2， 被 5 除 后 的 余 数 为 3 的 数 ， 在 所 给 的 选项 中 ， 满 足 被 3除 后 的 余 数 为 2， 被 5除 后 的 余 数 为 3 的 数 只 有 23.答 案 ： C.9.将 函 数 f(x)=2sin( x+ 4 )( 0)的 图 象 向 右 平 移 4 个 单 位 ， 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 ，若 y=g(x)在 - 6 ， 3 上 为 增 函 数 ， 则 的 最 大 值 为 ( )A.3 B.2C. 32 D.54解 析 ： 根 据 平 移 变 换 的 规 律 求 解 g(x)， 结 合 三 角 函 数 g(x)在
8、- 6 ， 3 上 为 增 函 数 建 立 不等 式 即 可 求 解 的 最 大 值 .答 案 ： C.10.已 知 S， A， B， C 是 球 O 表 面 上 的 不 同 点 ， SA 平 面 ABC， AB BC， AB=1， BC= 2， 若 球O的 表 面 积 为 4 ， 则 SA=( )A. 22 B.1C. 2D. 32解 析 ： 由 已 知 中 S、 A、 B、 C 是 球 O 表 面 上 的 点 ， SA 平 面 ABC， AB BC， 易 S、 A、 B、 C 四点 均 为 长 宽 高 分 别 SA， AB， BC 三 边 长 的 长 方 体 的 顶 点 ， 由 长 方 体
9、 外 接 球 的 直 径 等 于 长 方 体对 角 线 ， 利 用 球 的 表 面 积 公 式 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： B.11.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， 点 M与 双 曲 线 C的焦 点 不 重 合 ， 点 M 关 于 F1， F2 的 对 称 点 分 别 为 A， B， 线 段 MN 的 中 点 在 双 曲 线 的 右 支 上 ，若 |AN|-|BN|=12， 则 a=( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： 根 据 已 知 条 件 ， 作 出 图 形 ， MN 的 中 点
10、 连 接 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 便 会 得 到 三 角 形 的 中位 线 ， 根 据 中 位 线 的 性 质 及 双 曲 线 上 的 点 到 两 焦 点 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 2a， 求 出|AN|-|BN|， 可 得 结 论 .答 案 ： A. 12.已 知 函 数 f(x)= 22 2 12log 1 1x xx x ， ， ， 则 函 数 F(x)=ff(x)-2f(x)- 32 的 零 点 个 数 是( )A.4B.5 C.6D.7解 析 ： 令 t=f(x)， F(x)=0， 则 f(t)-2t-32 =0， 分 别 作 出 y=f(x)和 直 线 y
11、=2x+32 ， 得 到 两 交点 的 横 坐 标 ， 再 由 图 象 观 察 ， 即 可 得 到 所 求 零 点 个 数 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 ： (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20分 .把 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.二 项 式 (x+ 12x ) 6的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 _.解 析 ： 利 用 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 ， 令 x 的 幂 指 数 等 于 0， 求 得 r 的 值 ， 即 可 求 得 展 开 式中 的 常 数 项 .答 案 ： 52 .14.若 实 数 x， y满 足 不 等
12、式 组 0 1 03 0 xx yx y ， 则 目 标 函 数 z=3x-y 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 ， 化 目 标 函 数 为 直 线 方 程 的 斜 截 式 ， 数 形 结 合 得 到 最 优 解 ， 联立 方 程 组 求 得 最 优 解 的 坐 标 ， 代 入 目 标 函 数 得 答 案 . 答 案 ： 1.15.已 知 ABC的 三 个 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 面 积 为 S， 且 满 足 4S=a2-(b-c)2，b+c=8， 则 S 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 满 足 S=a2-(
13、b-c)2， b+c=8， 利 用 余 弦 定 理 与 三 角 形 的 面 积 计 算 公 式 可 得 ：2bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA， 化 为 sinA=1-cosA， 与 sin2A+cos2A=1， 解 得 sinA，进 而 利 用 三 角 形 面 积 公 式 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 .答 案 ： 8.16.设 函 数 f(x)=g( 2x )+x 2， 曲 线 y=g(x)在 点 (1， g(1)处 的 切 线 方 程 为 9x+y-1=0， 则 曲 线y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方
14、 程 为 _.解 析 ： 由 题 意 求 得 g(1)=-8， g (1)=-9， 对 f(x)求 导 ， 注 意 复 合 函 数 的 导 数 ， 求 出 f(2)，x=2处 切 线 的 斜 率 ， 由 点 斜 式 方 程 即 可 得 到 所 求 方 程 .答 案 ： x+2y+6=0.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.已 知 数 列 a n是 公 差 不 为 0的 等 差 数 列 ， 首 项 a1=1， 且 a1， a2， a4成 等 比 数 列 .( )求 数 列 an
15、的 通 项 公 式 ；( )设 数 列 bn满 足 bn= 2 nana ， 求 数 列 bn的 前 n项 和 Tn.解 析 ： ( )利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 得 出 .( )利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 的 求 和 公 式 即 可 得 出 . 答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 差 为 d， 由 题 设 ， a22=a1a4，即 (1+d)2=1+3d， 解 得 d=0或 d=1又 d 0， d=1， 可 以 求 得 an=n( )由 ( )得 bn=n+2n，Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+ +(n+2n)=(
16、1+2+3+ +n)+(2+22+ +2n)= 12n n +2n+1-2.18.为 了 探 究 某 市 高 中 理 科 生 在 高 考 志 愿 中 报 考 “ 经 济 类 ” 专 业 是 否 与 性 别 有 关 ， 现 从 该 市高 三 理 科 生 中 随 机 抽 取 50名 学 生 进 行 调 查 ， 得 到 如 下 2 2 列 联 表 ： (单 位 ： 人 ). ( )据 此 样 本 ， 能 否 有 99%的 把 握 认 为 理 科 生 报 考 “ 经 济 类 ” 专 业 与 性 别 有 关 ？( )若 以 样 本 中 各 事 件 的 频 率 作 为 概 率 估 计 全 市 总 体 考
17、生 的 报 考 情 况 ， 现 从 该 市 的 全 体 考 生(人 数 众 多 )中 随 机 抽 取 3 人 ， 设 3 人 中 报 考 “ 经 济 类 ” 专 业 的 人 数 为 随 机 变 量 X， 求 随 机 变量 X 的 概 率 分 布 及 数 学 期 望 .附 ： 参 考 数 据 ：(参 考 公 式 ： X 2= 211 22 12 211 2 1 2nn n n n nn n n )解 析 ： ( )计 算 K2， 根 据 临 界 值 表 作 出 结 论 ；( )分 别 计 算 X=0， 1， 2， 3 时 的 概 率 得 出 分 布 列 ， 根 据 分 布 列 得 出 数 学 期
18、 望 和 方 差 .答 案 ： ( ) 2= 2 250 36 336 50 300 2530 20 20 30 30 20 20 30 2 =12.5 6.635 有 99%的 把 握 认 为 理 科 生 愿 意 报 考 “ 经 济 类 ” 专 业 与 性 别 有 关 .( )估 计 该 市 的 全 体 考 生 中 任 一 人 报 考 “ 经 济 类 ” 专 业 的 概 率 为 p=20 250 5X的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 由 题 意 ， 得 X B(3， 25 )， P(X=k)= 33 2 3 5 5k kkC ， (k=0， 1， 2， 3) 随 机 变 量 X
19、 的 分 布 列 为 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E(X)=65.19.在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， 侧 面 AA1C1C 底 面 ABC， AA1=A1C=AC=AB=BC=2， 且 点 O 为 AC 中 点 .( )证 明 ： A 1O 平 面 ABC；( )求 二 面 角 A-A1B-C1的 大 小 .解 析 ： ( )推 导 出 A1O AC， 由 此 能 证 明 A1O 平 面 ABC.( )以 O为 原 点 ， OB， OC， OA1所 在 直 线 分 别 为 x 轴 ， y 轴 ， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用向 量 法 能 求
20、出 二 面 角 A-A1B-C1的 大 小 .答 案 ： ( )证 明 ： AA1=A1C， 且 O为 AC的 中 点 ， A1O AC，又 侧 面 AA 1C1C 底 面 ABC， 交 线 为 AC， 且 A1O平 面 AA1C1C， A1O 平 面 ABC.解 ： ( )如 图 ， 以 O 为 原 点 ， OB， OC， OA1所 在 直 线 分 别 为 x 轴 ， y 轴 ， z轴 建 立 空 间 直 角 坐标 系 . 由 已 知 可 得 O(0， 0， 0)， A(0， -1， 0)， A1(0， 0， 3)， C1(0， 2， 3)， B( 3， 0， 0) AB =( 3， 1，
21、0)， 1AB =( 3， 0， - 3)， 1 1AC=(0， 2， 0)设 平 面 AA1B的 一 个 法 向 量 为 m =(x1， y1， z1)，则 有 1 11 1 13 000 3 3 0 x ym ABm AB x z 令 x 1=1， 得 y1= 3， z1=1 m =(1， - 3， 1)设 平 面 A1BC1的 法 向 量 为 n =(x2， y2， z2)， 则 有 21 1 2 21 2 00 3 3 00 ym AC x zm AB 令 x2=1， 则 y2=0， z2=1， n =(1， 0， 1) cos m ， n = 2 10510 所 求 二 面 角 的
22、大 小 为 arccos(- 105 ). 20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 左 焦 点 为 F1(- 6 ， 0)， e= 22 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )如 图 ， 设 R(x 0， y0)是 椭 圆 C 上 一 动 点 ， 由 原 点 O向 圆 (x-x0)2+(y-y0)2=4 引 两 条 切 线 ， 分别 交 椭 圆 于 点 P， Q， 若 直 线 OP， OQ的 斜 率 存 在 ， 并 记 为 k1， k2， 求 证 ： k1 k2为 定 值 ；( )在 ( )的 条 件 下 ， 试 问 OP2+OQ2是 否 为 定 值
23、？ 若 是 ， 求 出 该 值 ； 若 不 是 ， 说 明 理 由 .解 析 ： ( )由 题 意 得 ， c， a， 推 出 b， 即 可 得 到 椭 圆 的 方 程 .( )由 已 知 ， 直 线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x， 且 与 圆 R 相 切 ， 列 出 方 程 ， 说 明 k1， k2是 方 程 k2-2x0y0k+y02-4=0的 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 推 出 k1k2= 2020 44yx ， 通 过 点 R(x0， y0)在 椭 圆 C 上 ， 化 简 求解 即 可 .( )OP 2+OQ2 是 定 值 18. 设 直 线 OP ： y=k1
24、x ， OQ ： y=k2x ， 联 立 12 2 112 6y k xx y 解 得 212 21 1 2112 11 2 kx y k 同 理 ， 得 222 22 2 2212 11 2 kx y k ， 然 后 计 算 OP 2+OQ2=x12+y12+x22+y22化 简 求 解 即 可 .答 案 ： ( )由 题 意 得 ， c= 6 ， e= 22 ， 解 得 a=2 3， b= 2 2 6a c 椭 圆 方 程 为 2 212 6x y =1.( )由 已 知 ， 直 线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x， 且 与 圆 R相 切 ， 1 0 0211k x yk =2，
25、 化 简 得 (x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0同 理 (x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0， k 1， k2是 方 程 k2-2x0y0k +y02-4=0的 两 个 不 相 等 的 实 数 根 x02-4 0， 0， k1k2= 2020 44yx 点 R(x0， y0)在 椭 圆 C上 ， 所 以 2 20 0 112 6x y ， 即 2 20 016 2y x k 1k2= 2020 12 12 4 2xx .( )OP2+OQ2是 定 值 18.设 直 线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x， k1 k2=-12 ，联 立 12 2 112
26、6y k xx y 解 得 21 2122 11 21121 2121 2x kky k 212 21 1 2112 11 2 kx y k 同 理 ， 得 222 22 2 2212 11 2 kx y k 由 OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22= 2 21 22 21 212 1 12 11 2 1 2k kk k ， OP 2+OQ2= 22 2 2 211 2 1 122 2 2 21 2 1 11112 1 212 1 12 1 12 1 18 361 2 1 2 1 2 1 211 2 2kk k k kk k k kk =18综 上 ： OP2+OQ2=18. 21.
27、已 知 函 数 f(x)=ex-1-x-ax2.( )当 a=0时 ， 求 证 ： f(x) 0；( )当 x 0 时 ， 若 不 等 式 f(x) 0 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 解 关 于 x 的 不 等 式 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 ， 得 到 函 数 的 最 小 值 ，证 出 结 论 即 可 ；( )求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 ， 从 而 求 得 实 数 a的 取 值 范围 .答 案 ： ( )a=0时 ， f(x)=e
28、x-1-x，f (x)=ex-1当 x (- ， 0)时 ， f (x) 0；当 x (0， + )时 ， f (x) 0故 在 单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 ，f(x)min=f(0)=0， f(x) 0( )f (x)=ex-1-2ax， 令 h(x)=ex-1-2ax， 则 h (x)=ex-2a.1)当 2a 1时 ， 在 0， + )上 ， h (x) 0， h(x)递 增 ， h(x) h(0)，即 f (x) f (0)=0， f(x)在 0， + )为 增 函 数 ， f(x) f(0)=0， a 12 时 满 足 条 件 ；2)当 2a 1时 ， 令 h (x)=0
29、， 解 得 x=ln2a， 当 x 0， ln2a)上 ， h (x) 0， h(x)单 调 递 减 ， x (0， ln2a)时 ， 有 h(x) h(0)=0， 即 f (x) f (0)=0， f(x)在 区 间 (0， ln2a)为 减 函 数 ， f(x) f(0)=0， 不 合 题 意综 上 得 实 数 a 的 取 值 范 围 为 (- ， 12 .请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .作 答 时 ， 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 的 标 号 涂 黑 .选
30、 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.以 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l： y=x， 圆 C： 12x cosy sin ( 为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 为为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 . ( )求 直 线 l 与 圆 C的 极 坐 标 方 程 ；( )设 直 线 l 与 圆 C的 交 点 为 M， N， 求 CMN的 面 积 .解 析 ： ( )利 用 三 种 方 程 的 互 化 方 法 ， 求 直 线 l与 圆 C 的 极 坐 标 方 程 ；( )设 直 线 l 与 圆 C的 交 点 为 M， N， 求 出
31、 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， |MN|， 即 可 求 CMN的 面 积 .答 案 ： ( )将 C 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 为 (x+1)2+(y+2)2=1， 极 坐 标 方 程 为 2+2 cos +4 sin +4=0直 线 l： y=x的 极 坐 标 方 程 为 = 4 ( R)，( )圆 心 到 直 线 的 距 离 d= 1 2 222 ， |MN|= 12 1 22 ， CMN的 面 积 S=1 2 122 2 2 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x-a|-12 x， (a 0).( )若 a=3， 解 关 于
32、x 的 不 等 式 f(x) 0；( )若 对 于 任 意 的 实 数 x， 不 等 式 f(x)-f(x+a) a 2+ 2a 恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )将 a的 值 带 入 f(x)， 两 边 平 方 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可 ；( )求 出 f(x)=|x-a|-|x|+ 2a ， 原 问 题 等 价 于 |a| a2， 求 出 a 的 范 围 即 可 .答 案 ： ( )a=3时 ， f(x)=|x-3|-12 x 0，即 |x-3| 12 x，两 边 平 方 得 ： (x-3) 2 14 x2，解 得 ： 2 x 6，故 不 等 式 的 解 集 是 x|2 x 6；( )f(x)-f(x+a)=|x-a|-12 x-|x|+12 (x+a)=|x-a|-|x|+ 2a ，若 对 于 任 意 的 实 数 x， 不 等 式 f(x)-f(x+a) a2+ 2a 恒 成 立 ，即 |x-a|-|x|+ 2a a 2+ 2a 对 x R 恒 成 立 ，即 a2 |x-a|-|x|， 而 |x-a|-|x| |(x-a)-x|=|a|，原 问 题 等 价 于 |a| a2， 又 a 0， a a2， 解 得 a 1.
