1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A=1，3，5，7，B=x|2x5，则AB=()A.1，3B.3，5C.5，7D.1，7解析：集合A=1，3，5，7，B=x|2x5，则AB=3，5.答案：B.2. 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A.-3B.-2C.2D.3解析：利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可.(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等，可得：a-2=2a+1，解得a=-3.答案：A.3.
2、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.B.C.D.解析：确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为.答案：C.4. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=，c=2，cosA=，则b=()A.B.C.2D.3解析：a=，c=2，cosA=，由余弦定理可得：，整理可得：3b2-8b
3、-3=0，解得：b=3或(舍去).答案：D.5. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，.答案：B.6. 将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A.y=2sin(2x+)B.y=2sin(2x+)C.y=2sin(2x-)D.y=2sin(2x-)解析：函数y=2sin(2x+)的周期为，由题意即为函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2s
4、in2(x-)+，即有y=2sin(2x-).答案：D.7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28解析：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图：可得：，R=2.它的表面积是：.答案：A.8. 若ab0，0c1，则()A.logaclogbcB.logcalogcbC.acbcD.cacb解析：根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案.ab0，0c1，logcalogcb0，故B正确； 0logaclogbc，故A错误；acbc
5、，故C错误；cacb，故D错误.答案：B9. 函数y=2x2-e|x|在-2，2的图象大致为()A.B.C.D.解析：f(x)=y=2x2-e|x|，f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=2时，y=8-e2(0，1)，故排除A，B； 当x0，2时，f(x)=y=2x2-ex，f(x)=4x-ex=0有解，故函数y=2x2-e|x|在0，2不是单调的，故排除C.正确的是D.答案：D10. 执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是
6、利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y236，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y236，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y236，故y=4x.答案：C11. 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：如图：平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，可知：nCD1，mB1D1，CB1D1是正三角形.m、n所成角就是CD1B1=60.则m、n所成
7、角的正弦值为：.答案：A.12. 若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-，+)单调递增，则a的取值范围是()A.-1，1B.-1，C.，D.-1，解析：函数f(x)=x-sin2x+asinx的导数为f(x)=1-cos2x+acosx，由题意可得f(x)0恒成立，即为1-cos2x+acosx0，即有，设t=cosx(-1t1)，即有5-4t2+3at0，当t=0时，不等式显然成立；当0t1时，由在(0，1递增，可得t=1时，取得最大值-1，可得3a-1，即a；当-1t0时，由在-1，0)递增，可得t=-1时，取得最小值1，可得3a1，即a.综上可得a的范围是，.答案：C.二、填空
8、题：本大题共4小题，每小题5分13. 设向量=(x，x+1)，=(1，2)，且，则x= .解析：；即x+2(x+1)=0；x.答案：.14. 已知是第四象限角，且，则= .解析：是第四象限角，则，kZ，又，.，.则.答案：.15. 设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为 .解析：圆C：x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为(0，a)，半径为，直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，圆心(0，a)到直线y=x+2a的距离d=，即，解得：a2=2，故圆的半径r=2.故圆的面积S=4.答案：41
9、6. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.解析：甲、乙两种两种新型材料，设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元.由题意，得，z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A(60，100)，目标函数z=2100x+900y.经过A时，直
10、线的截距最大，目标函数取得最大值：210060+900100=216000元.答案：216000.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.()求an的通项公式.解析：()令n=1，可得a1=2，结合an是公差为3的等差数列，可得an的通项公式.答案：()anbn+1+bn+1=nbn.当n=1时，a1b2+b2=b1.b1=1，b2=，a1=2，又an是公差为3的等差数列，an=3n-1.()求bn的前n项和.解析：()由(1)可得：数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得
11、：bn的前n项和.答案：()由(I)知：(3n-1)bn+1+bn+1=nbn.即3bn+1=bn.即数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn的前n项和.18. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.()证明：G是AB的中点.解析：()根据题意分析可得PD平面ABC，进而可得PDAB，同理可得DEAB，结合两者分析可得AB平面PDE，进而分析可得ABPG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明.答案：()P-ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，PD平面
12、ABC，则PDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB，PDDE=D，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则ABPG，又PA=PB，G是AB的中点.()在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.解析：()由线面垂直的判定方法可得EF平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影.由棱锥的体积公式计算可得答案.答案：()在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平
13、面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由()知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PE=PG，DE=PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积.19. 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时
14、购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.()若n=19，求y与x的函数解析式.解析：()若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式.答案：()当n=19时，.()若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值.解析：()由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值.答案：()由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06
15、，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5.则n19 n的最小值为19件.()假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：()分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案.答案： ()假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：(70
16、19200+430020+480010)=4000(元) 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为(904000+104500)=4050(元)40004050 购买1台机器的同时应购买19台易损零件.20. 在直角坐标系xOy中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.()求.解析：()求出P，N，H的坐标，利用，即可求得.答案：()将直线l与抛物线方程联立，解得P(，t)，M关于点P的对称点为N，N(，t)，ON的方程为，与抛物线方程联立，解得H(，2t).()除H以外，直
17、线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解析：()直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判别式可得结论.答案：()由()知，直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，=16t2-44t2=0，直线MH与C除点H外没有其它公共点.21. 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.()讨论f(x)的单调性.解析：()求出f(x)的导数，讨论当a0时，a时，a=时，a0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间.答案：()由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，可得f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-
18、1)(ex+2a)，当a0时，由f(x)0，可得x1；由f(x)0，可得x1，即有f(x)在(-，1)递减；在(1，+)递增；当a0时，若a=，则f(x)0恒成立，即有f(x)在R上递增；若a时，由f(x)0，可得x1或xln(-2a)；由f(x)0，可得1xln(-2a).即有f(x)在(-，1)，(ln(-2a)，+)递增；在(1，ln(-2a)递减；若a0，由f(x)0，可得xln(-2a)或x1；由f(x)0，可得ln(-2a)x1.即有f(x)在(-，ln(-2a)，(1，+)递增；在(ln(-2a)，1)递减.()若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解析：()由()的单调区间，对
19、a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围.答案：()由()可得当a0时，f(x)在(-，1)递减；在(1，+)递增， 且f(1)=-e0，x+，f(x)+；x-，f(x)+.f(x)有两个零点；当a=0时，f(x)=(x-2)ex，所以f(x)只有一个零点x=2；当a0时，若a时，f(x)在(1，ln(-2a)递减，在(-，1)，(ln(-2a)，+)递增，又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点；当a时，f(x)在(1，+)单调递增，又x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上可得，f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0，+).请考生在22、23、24三题
20、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22. 如图，OAB是等腰三角形，AOB=120.以O为圆心，OA为半径作圆.()证明：直线AB与O相切.解析：()设K为AB中点，连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，则AB是圆O的切线.答案：()设K为AB中点，连结OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，直线AB与O相切.()点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.解析：()设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论.答案：()因为OA=
21、2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心.OA=OB，TA=TB，OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT为CD的中垂线，ABCD.选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.()说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程.解析：()把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=2，y=sin化为极坐标方程.答案：()由，得，两式平方相加得，x
22、2+(y-1)2=a2.C1为以(0，1)为圆心，以a为半径的圆.化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0.由x2+y2=2，y=sin，得2-2sin+1-a2=0.()直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解析：()化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=x可得1-a2=0，则a值可求.答案：()C2：=4cos，两边同时乘得2=4cos，x2+y2=4x，即(x-2)2+y2=4.由C3：=0，其中0满足tan0=2，得y=
23、2x，曲线C1与C2的公共点都在C3上，y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，-得：4x-2y+1-a2=0，即为C3，1-a2=0，a0a=1.选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在图中画出y=f(x)的图象.解析：()运用分段函数的形式写出f(x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象.答案：() ，由分段函数的图象画法，可得f(x)的图象，如图：()求不等式|f(x)|1的解集.解析：()分别讨论当x-1时，当-1x时，当x时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集.答案：()由|f(x)|1，可得当x-1时，|x-4|1，解得x5或x3，即有x-1；当-1x时，|3x-2|1，解得x1或x，即有-1x或1x；当x时，|4-x|1，解得x5或x3，即有x5或x3.综上可得，x或1x3或x5.则|f(x)|1的解集为(-，)(1，3)(5，+).
