1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内复数Z=i(1-2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数Z=i(1-2i)=2+i复数Z的实部20，虚部10复数Z在复平面内对应的点位于第一象限答案：A2.对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列解析：A项中a3=a1q2，a1a9=q8，(a3)2a1a9，故A项说法错
2、误，B项中(a3)2=(a1q2)2a2a6=q6，故B项说法错误，C项中(a4)2=(a1q3)2a2a8=q8，故B项说法错误，D项中(a6)2=(a1q5)2=a3a9=q10，故D项说法正确，答案：D.3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x-2.4C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4解析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，答案：A.4.已知向量=(k，3)，=(1，4)，=(2，1)且(2-3)，则实数k=()A.-B.0C.3
3、D.解析：=(k，3)，=(1，4)，=(2，1)2-3=(2k-3，-6)，(2-3)，(2-3)=02(2k-3)+1(-6)=0，解得k=3.答案：C.5.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A.sB.sC.sD.s解析：由程序框图知：程序运行的S=，输出的k=6，S=，判断框的条件是S，答案：C.6.已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq解析：根据指数函数的性质可知，对任意xR，总有2x0成立，即p为真命题，q：“x1”是“x2”的必要不充分条件，即q为假命
4、题，则pq，为真命题，答案：D.7.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72解析：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的等腰直角三角形，AB平面BEFC，ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5几何体的表面积S= 34+35+4+5+35 =60.答案：B.8.设F1，F2分别为双曲线-=1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3解析：
5、不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex-a，|PF2|=ex+a，|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=ab，2ex=3b，(ex)2-a2=abb2-a2=ab，a=b，c=b，e= .答案：B.9.某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168解析：分2步进行分析：1、先将三个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：、将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目
6、，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是642=48种；、将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是626=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，答案：B.10.已知ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24解析
7、：ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+，sin2A+sin2B=-sin2C+，sin2A+sin2B+sin2C=，2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)=，2sinA(cos(B-C)-cos(B+C)=，化为2sinA-2sinBsin(-C)=，sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为k，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC=，即R2=4S，面积S满足1S2，4R28，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A.bc(b+c)abc8正确，B.bc(b+c)abc，但b
8、c(b+c).不一定正确，答案：A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则(UA)B=.解析：全集U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，(UA)=4，6，7，9 ，(UA)B=7，9，答案：7，9.12.函数f(x)=log2(2x)的最小值为 .解析：f(x)=log2(2x)f(x)=log(2x)=logx(2x)=l(x+l2)=x(x+2)=当x+1=0即x=时，函数f(x)的最小值是.答案：-13.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆
9、(x-1)2+(y-a)2=4相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a= .解析：圆心C(1，a)，半径r=2，ABC为等边三角形，圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2-8a+1=0，解得a=4，答案：4三、选做题：考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= .解析：由题意，PAB=C，APB=CPA，PABPCA，PA=6，AC=8，BC=9，PB=3，AB=4，答案：4.15.已知直线l的参数方程为(t为
10、参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2-4cos=0(0，02)，则直线l与曲线C的公共点的极径= .解析：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为sin2-4cos=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得(x-1)2=0，x=1，y=2，直线l与曲线C的公共点的极径=.答案：.16.不等式|2x-1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .解析：|2x-1|+|x+2|=，x=时，|2x-1|+|x+2|的最小值为，不等式|2x-1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立，a2
11、+a+2，a2+a-0，-1a，实数a的取值范围是-1，.答案：-1，.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(x+)(0，-)的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.()求和的值；()若f()=()，求cos(+)的值.解析：()由题意可得函数f(x)的最小正周期为 求得=2.再根据图象关于直线x=对称，结合-可得 的值.()由条件求得sin(-)=.再根据-的范围求得cos(-)的值，再根据cos(+)=sin=sin(-)+，利用两角和的正弦公式计算求得结果.答案：()由题意可得函数f(x)的
12、最小正周期为，=，=2.再根据图象关于直线x=对称，可得 2+=k+，kz.结合-可得 =-.()f()=()，sin(-)=，sin(-)=.再根据 0-，cos(-)=，cos(+)=sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+=.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.()求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；()X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数字a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数.)解析：第一问是古典概型的问题
13、，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字(如1或2)或不同数字(1和2、1和3、2和3三类)的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.答案：()由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，()由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以X的分布列为：所以E(X)=.19.(13分)如图，四棱锥P-ABCD，底面是以O为中心的菱
14、形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MPAP.()求PO的长；()求二面角A-PM-C的正弦值.解析：()连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O-xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MPAP，得到=0，进而求出PO的长；()求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A-PM-C的正弦值.答案：()连接AC，BD，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，故ACBD=O，且ACBD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
15、O-xyz，AB=2，BAD=，OA=ABcos(BAD)=，OB=ABsin(BAD)=1，O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(-，0，0)，=(0，1，0)，=(-，-1，0)，又BM=，=(-，-，0)，则=+=(-，0)，设P(0，0，a)，则=(-，0，a)，=(，-，a)，MPAP，=-a2=0，解得a=，即PO的长为.()由()知=(-，0，)，=(，-，)，=(，0，)，设平面APM的法向量=(x，y，z)，平面PMC的法向量为=(a，b，c)，由，得，令x=1，则=(1，2)，由，得，令a=1，则=(1，-，-2)，平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹
16、角满足：cos=-，故sin=.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4-c.()确定a，b的值；()若c=3，判断f(x)的单调性；()若f(x)有极值，求c的取值范围.解析：()根据函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4-c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；()将c=3代入，利用基本不等式可得f(x)0恒成立，进而可得f(x)在定义域R为均增函数；()结合基本不等式，分c4
17、时和c4时两种情况讨论f(x)极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.答案：()函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)，f(x)=2ae2x+2be-2x-c，由f(x)为偶函数，知f(-x)=f(x)，即2(a-b)(e2x+e-2x)=0，即a=b，又曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4-c，即f(0)=2a+2b-c=4-c，故a=b=1；()当c=3时，f(x)=2e2x+2e-2x-32=10恒成立，故f(x)在定义域R为均增函数；()由()得f(x)=2e2x+2e-2x-c，而2e2x+2e-2x2=4，当且仅当x=0时取等号，当c4时，f(x
18、)0恒成立，故f(x)无极值；当c4时，令t=e2x，方程2t+-c=0的两根均为正，即f(x)=0有两个根x1，x2，当x(x1，x2)时，f(x)0，当x(-x1)(x2，+)时，f(x)0，故当x=x1，或x=x2时，f(x)有极值，综上，若f(x)有极值，c的取值范围为(4，+).21.(12分)如图，设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为.()求椭圆的标准方程；()设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.解析：()设F1(-c，0)，F2(c
19、，0)，依题意，可求得c=1，易求得|DF1|= ，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；()设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=-x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1F2P2，得x1=-或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径.答案：()设F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c2=a2-b2，由=2，得|DF1|=c ，从而=|DF1|F1F2|=c2= ，故c=1.从而|DF1|=，由DF1F1F2，得=+= ，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2
20、|=2，故a=，b2=a2-c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；()设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=-x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由()知F1(-1，0)，F2(1，0)，所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，再由F1P1F2P2，得，由椭圆方程得，即3+4x1=0，解得x1=-或x1=0.当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=-时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直
21、的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|= .22.(12分)设a1=1，an+1=+b(nN*)()若b=1，求a2，a3及数列an的通项公式；()若b=-1，问：是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有的nN*成立，证明你的结论.解析：()若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明(an-1)2是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列an的通项公式；()设f(x)=，则an+1=f(an)，令c=f(c)，即c=-1，解得c=.用数学归纳法证明加强命题a
22、2nca2n+11即可.答案：()a1=1，an+1=+b，b=1，a2=2，a3=+1；又(an+1-1)2=(an-1)2+1，(an-1)2是首项为0，公差为1的等差数列；(an-1)2=n-1，an=+1(nN*)；()设f(x)=，则an+1=f(an)，令c=f(c)，即c=-1，解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.n=1时，a2=f(1)=0，a3=f(0)=-1，a2ca31，成立；设n=k时结论成立，即a2kca2k+11f(x)在(-，1上为减函数，c=f(c)f(a2k+1)f(1)=a2，1ca2k+2a2，c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a3，1，ca2k+31，a2(k+1)ca2(k+1)+11，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2nca2n+1对所有的nN*成立.
