1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=(x， y)|x2+y2=1， B=(x， y)|y=x， 则 A B 中 元 素 的 个 数 为 ( )A.3B.2C.1D.0解 析 ： 解 不 等 式 组 求 出 元 素 的 个 数 即 可 .答 案 ： B. 2.设 复 数 z满 足 (1+i)z=2i， 则 |z|=(
2、 )A. 12B. 22C. 2D.2解 析 ： 利 用 复 数 的 运 算 法 则 、 模 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： C.3.某 城 市 为 了 解 游 客 人 数 的 变 化 规 律 ， 提 高 旅 游 服 务 质 量 ， 收 集 并 整 理 了 2014年 1月 至 2016 年 12 月 期 间 月 接 待 游 客 量 (单 位 ： 万 人 )的 数 据 ， 绘 制 了 下 面 的 折 线 图 .根 据 该 折 线 图 ， 下 列 结 论 错 误 的 是 ( )A.月 接 待 游 客 量 逐 月 增 加B.年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加 C.各 年 的
3、月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7， 8 月D.各 年 1 月 至 6月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7月 至 12 月 ， 波 动 性 更 小 ， 变 化 比 较 平 稳解 析 ： 由 已 有 中 2014年 1 月 至 2016年 12 月 期 间 月 接 待 游 客 量 (单 位 ： 万 人 )的 数 据 可 得 ：月 接 待 游 客 量 逐 月 有 增 有 减 ， 故 A错 误 ；年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加 ， 故 B正 确 ； 各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7， 8 月 ， 故 C 正 确 ；各 年 1 月 至 6
4、 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7 月 至 12 月 ， 波 动 性 更 小 ， 变 化 比 较 平 稳 ， 故 D正确 .答 案 ： A.4.(x+y)(2x-y)5的 展 开 式 中 的 x3y3系 数 为 ( )A.-80B.-40C.40D.80解 析 ： (2x-y) 5的 展 开 式 的 通 项 公 式 ： Tr+1= 5r (2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r 5r x5-ryr.令 5-r=2， r=3，解 得 r=3.令 5-r=3， r=2， 解 得 r=2.即 可 得 出 .答 案 ： C.5.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1
5、(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y= 52 x， 且 与 椭 圆 2 212 3x y =1有 公 共 焦 点 ， 则 C 的 方 程 为 ( )A. 2 28 10 x y =1 B. 2 24 5x y =1C. 2 25 4x y =1D. 2 24 3x y =1解 析 ： 求 出 椭 圆 的 焦 点 坐 标 ， 得 到 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 ， 利 用 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 求 出 双 曲线 实 半 轴 与 虚 半 轴 的 长 ， 即 可 得 到 双 曲 线 方 程 .答 案 ： B. 6.设 函 数 f(x)=cos(x+ 3 )
6、， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 ( )A.f(x)的 一 个 周 期 为 -2B.y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=83 对 称C.f(x+ )的 一 个 零 点 为 x= 6D.f(x)在 ( 2 ， )单 调 递 减 解 析 ： 根 据 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 分 别 进 行 判 断 即 可 .答 案 ： D.7.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 为 使 输 出 S 的 值 小 于 91， 则 输 入 的 正 整 数 N 的 最 小 值 为 ( ) A.5B.4C.3D.2解 析 ： 通 过 模 拟 程 序 ， 可 得 到 S 的 取 值 情 况 ，
7、 进 而 可 得 结 论 .答 案 ： D.8.已 知 圆 柱 的 高 为 1， 它 的 两 个 底 面 的 圆 周 在 直 径 为 2 的 同 一 个 球 的 球 面 上 ， 则 该 圆 柱 的 体积 为 ( )A.B.34 C. 2D. 4解 析 ： 推 导 出 该 圆 柱 底 面 圆 周 半 径 r= 22 1 31 2 2 ， 由 此 能 求 出 该 圆 柱 的 体 积 .答 案 ： B.9.等 差 数 列 a n的 首 项 为 1， 公 差 不 为 0.若 a2， a3， a6成 等 比 数 列 ， 则 an前 6项 的 和 为 ( )A.-24B.-3C.3D.8 解 析 ： 利
8、用 等 差 数 列 通 项 公 式 、 等 比 数 列 性 质 列 出 方 程 ， 求 出 公 差 ， 由 此 能 求 出 an前 6 项的 和 .答 案 ： A.10.已 知 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 左 、 右 顶 点 分 别 为 A1， A2， 且 以 线 段 A1A2为 直 径 的圆 与 直 线 bx-ay+2ab=0相 切 ， 则 C的 离 心 率 为 ( )A. 63 B. 33C. 23D.13解 析 ： 以 线 段 A 1A2为 直 径 的 圆 与 直 线 bx-ay+2ab=0相 切 ， 可 得 原 点 到 直 线 的 距 离 2 22ab
9、a b =a，化 简 即 可 得 出 .答 案 ： A.11.已 知 函 数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有 唯 一 零 点 ， 则 a=( )A.- 12B.13C. 12D.1 解 析 ： 通 过 转 化 可 知 问 题 等 价 于 函 数 y=1-(x-1)2的 图 象 与 y=a(ex-1+ 11xe )的 图 象 只 有 一 个 交点 求 a的 值 .分 a=0、 a 0、 a 0 三 种 情 况 ， 结 合 函 数 的 单 调 性 分 析 可 得 结 论 .答 案 ： C.12.在 矩 形 ABCD中 ， AB=1， AD=2， 动 点 P 在 以 点 C 为
10、圆 心 且 与 BD相 切 的 圆 上 .若 AP = AB + AD， 则 + 的 最 大 值 为 ( )A.3B.2 2 C. 5D.2解 析 ： 如 图 ： 以 A为 原 点 ， 以 AB， AD所 在 的 直 线 为 x， y 轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 先 求 出圆 的 标 准 方 程 ， 再 设 点 P的 坐 标 为 ( 2 55 cos +1， 2 55 sin +2)， 根 据 AP = AB + AD ，求 出 ， ， 根 据 三 角 函 数 的 性 质 即 可 求 出 最 值 . 答 案 ： A.二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小
11、 题 5分 ， 共 20分 .13.若 x， y满 足 约 束 条 件 02 00 x yx yy ， 则 z=3x-4y的 最 小 值 为 _.解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 求 目 标 函 数 z=3x-4y的 最小 值 .答 案 ： -1.14.设 等 比 数 列 a n满 足 a1+a2=-1， a1-a3=-3， 则 a4=_.解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 由 a1+a2=-1， a1-a3=-3， 可 得 ： a1(1+q)=-1， a1(1-q2)=-3，解 出 即 可
12、 得 出 .答 案 ： -8.15.设 函 数 f(x)= 1 02 0 xx xx ， ， 则 满 足 f(x)+f(x- 12 ) 1 的 x 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 根 据 分 段 函 数 的 表 达 式 ， 分 别 讨 论 x的 取 值 范 围 ， 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： (- 14 ， + ).16.a， b 为 空 间 中 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 ， 等 腰 直 角 三 角 形 ABC的 直 角 边 AC所 在 直 线 与 a， b 都 垂 直 ， 斜 边 AB以 直 线 AC 为 旋 转 轴 旋 转 ， 有 下 列 结 论 ： 当 直 线
13、 AB与 a 成 60 角 时 ， AB与 b成 30 角 ； 当 直 线 AB与 a 成 60 角 时 ， AB与 b成 60 角 ； 直 线 AB 与 a 所 成 角 的 最 小 值 为 45 ； 直 线 AB 与 a 所 成 角 的 最 小 值 为 60 ； 其 中 正 确 的 是 _.(填 写 所 有 正 确 结 论 的 编 号 )解 析 ： 由 题 意 知 ， a、 b、 AC 三 条 直 线 两 两 相 互 垂 直 ， 构 建 如 图 所 示 的 边 长 为 1 的 正 方 体 ，|AC|=1， |AB|= 2 ， 斜 边 AB以 直 线 AC为 旋 转 轴 ， 则 A 点 保 持
14、 不 变 ， B点 的 运 动 轨 迹 是 以 C为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 ， 以 C 坐 标 原 点 ， 以 CD 为 x 轴 ， CB为 y 轴 ， CA为 z轴 ， 建 立 空 间 直角 坐 标 系 ， 利 用 向 量 法 能 求 出 结 果 . 答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 1721 题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 60分 .17.
15、ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 sinA+ 3 cosA=0， a=2 7 ， b=2.(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边 上 一 点 ， 且 AD AC， 求 ABD的 面 积 .解 析 ： (1)先 根 据 同 角 的 三 角 函 数 的 关 系 求 出 A， 再 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 出 ，(2)先 根 据 夹 角 求 出 cosC， 求 出 CD的 长 ， 得 到 S ABD= 12 S ABC.答 案 ： (1) sinA+ 3 cosA=0， tanA=- 3 ， 0 A ， A= 23 ，由 余 弦 定 理 可
16、 得 a 2=b2+c2-2bccosA，即 28=4+c2-2 2c (- 12 )，即 c2+2c-24=0，解 得 c=-6(舍 去 )或 c=4，故 c=4.(2) c2=b2+a2-2abcosC， 16=28+4-2 2 7 2 cosC， cosC= 27 ， CD= 2 72cos 7ACC CD= 12 BC S ABC= 12 AB AC sin BAC= 12 4 2 32 =2 3 ， S ABD= 12 S ABC= 3 .18.某 超 市 计 划 按 月 订 购 一 种 酸 奶 ， 每 天 进 货 量 相 同 ， 进 货 成 本 每 瓶 4 元 ， 售 价 每 瓶
17、6 元 ，未 售 出 的 酸 奶 降 价 处 理 ， 以 每 瓶 2 元 的 价 格 当 天 全 部 处 理 完 .根 据 往 年 销 售 经 验 ， 每 天 需 求量 与 当 天 最 高 气 温 (单 位 ： )有 关 .如 果 最 高 气 温 不 低 于 25， 需 求 量 为 500 瓶 ； 如 果 最 高 气温 位 于 区 间 20， 25)， 需 求 量 为 300瓶 ； 如 果 最 高 气 温 低 于 20， 需 求 量 为 200瓶 .为 了 确 定六 月 份 的 订 购 计 划 ， 统 计 了 前 三 年 六 月 份 各 天 的 最 高 气 温 数 据 ， 得 下 面 的 频
18、数 分 布 表 ： 以 最 高 气 温 位 于 各 区 间 的 频 率 代 替 最 高 气 温 位 于 该 区 间 的 概 率 .(1)求 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 需 求 量 X(单 位 ： 瓶 )的 分 布 列 ；(2)设 六 月 份 一 天 销 售 这 种 酸 奶 的 利 润 为 Y(单 位 ： 元 )， 当 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 进 货 量 n(单位 ： 瓶 )为 多 少 时 ， Y的 数 学 期 望 达 到 最 大 值 ？解 析 ： (1)由 题 意 知 X 的 可 能 取 值 为 200， 300， 500， 分 别 求 出 相 应 的 概 率 ，
19、由 此 能 求 出 X的 分 布 列 .(2)当 n 200时 ， Y=n(6-4)=2n 400， EY 400； 当 200 n 300时 ， EY 1.2 300+160=520；当 300 n 500时 ， n=300时 ， (EY) max=640-0.4 300=520； 当 n 500时 ， EY 1440-2 500=440.从 而 得 到 当 n=300 时 ， EY最 大 值 为 520元 .答 案 ： (1)由 题 意 知 X 的 可 能 取 值 为 200， 300， 500，P(X=200)= 2 1690 =0.2，P(X=300)= 3690 =0.4，P(X=5
20、00)= 25 7 490 =0.4， X 的 分 布 列 为 ： (2)当 n 200时 ， Y=n(6-4)=2n 400， EY 400，当 200 n 300时 ，若 x=200， 则 Y=200 (6-4)+(n-200) (2-4)=800-2n，若 x 300， 则 Y=n(6-4)=2n， EY=p(x=200) (800-2n)+p(x 300) 2n=0.2(800-2n)+0.8=1.2n+160， EY 1.2 300+160=520，当 300 n 500时 ， 若 x=200， 则 Y=800-2n，若 x=300， 则 Y=300 (6-4)+(n-300) (2
21、-4)=1200-2n， 当 n=300时 ， (EY)max=640-0.4 300=520，若 x=500， 则 Y=2n， EY=0.2 (800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4 2n=640-0.4n，当 n 500 时 ， Y= 800 2 2001200 2 3002000 2 500n xn xn x ， ， ，EY=0.2(800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4(2000-2n)=1440-2n， EY 1440-2 500=440. 综 上 ， 当 n=300时 ， EY 最 大 值 为 520元 .19.如 图 ， 四 面 体 ABCD中 ， ABC是
22、正 三 角 形 ， ACD是 直 角 三 角 形 ， ABD= CBD， AB=BD.(1)证 明 ： 平 面 ACD 平 面 ABC；(2)过 AC 的 平 面 交 BD 于 点 E， 若 平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分 ， 求 二 面 角D-AE-C的 余 弦 值 . 解 析 ： (1)如 图 所 示 ， 取 AC 的 中 点 O， 连 接 BO， OD. ABC是 等 边 三 角 形 ， 可 得 OB AC.由 已知 可 得 ： ABD CBD， AD=CD. ACD 是 直 角 三 角 形 ， 可 得 AC 是 斜 边 ， ADC=90 .
23、可 得DO= 12 AC.利 用 DO2+BO2=AB2=BD2.可 得 OB OD.利 用 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 定 理 即 可 证 明 .(2)设 点 D， B到 平 面 ACE的 距 离 分 别 为 hD， hE.则 DEh DEh BE .根 据 平 面 AEC 把 四 面 体 ABCD 分成 体 积 相 等 的 两 部 分 ， 可 得 1313 ACE D DEACE ES h h DEh BES h =1， 即 点 E是 BD的 中 点 .建 立 如 图 所 示的 空 间 直 角 坐 标 系 .不 妨 取 AB=2.利 用 法 向 量 的 夹 角 公 式 即 可
24、得 出 .答 案 ： (1)证 明 ： 如 图 所 示 ， 取 AC的 中 点 O， 连 接 BO， OD. ABC是 等 边 三 角 形 ， OB AC. ABD与 CBD 中 ， AB=BD=BC， ABD= CBD， ABD CBD， AD=CD. ACD是 直 角 三 角 形 ， AC 是 斜 边 ， ADC=90 . DO= 12 AC. DO 2+BO2=AB2=BD2. BOD=90 . OB OD.又 DO AC=O， OB 平 面 ACD.又 OB平 面 ABC， 平 面 ACD 平 面 ABC.(2)解 ： 设 点 D， B 到 平 面 ACE的 距 离 分 别 为 h D
25、， hE.则 DEh DEh BE . 平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分 ， 1313 ACE D DEACE ES h h DEh BES h =1. 点 E是 BD的 中 点 .建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 .不 妨 取 AB=2.则 O(0， 0， 0)， A(1， 0， 0)， C(-1， 0， 0)， D(0， 0， 1)， B(0， 3 ， 0)， E(0， 32 ， 12 ).AD =(-1， 0， 1)， AE=(-1， 32 ， 12 )， AC=(-2， 0， 0).设 平 面 ADE的 法 向 量 为
26、m =(x， y， z)， 则 00m ADm AE ， 即 03 1 02 2x zx y z ， 取 m =(3，3 ， 3). 同 理 可 得 ： 平 面 ACE的 法 向 量 为 n =(0， 1， - 3 ). cos m ， n = 2 3 7721 2m nm n . 二 面 角 D-AE-C的 余 弦 值 为 77 .20.已 知 抛 物 线 C： y 2=2x， 过 点 (2， 0)的 直 线 l 交 C与 A， B 两 点 ， 圆 M 是 以 线 段 AB为 直 径的 圆 .(1)证 明 ： 坐 标 原 点 O 在 圆 M 上 ；(2)设 圆 M 过 点 P(4， -2)，
27、 求 直 线 l 与 圆 M的 方 程 .解 析 ： (1)方 法 一 ： 分 类 讨 论 ， 当 直 线 斜 率 不 存 在 时 ， 求 得 A 和 B 的 坐 标 ， 由 OA OB =0，则 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 ； 当 直 线 l 斜 率 存 在 ， 代 入 抛 物 线 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及 向 量 数 量 积的 可 得 OA OB =0， 则 坐 标 原 点 O 在 圆 M 上 ；方 法 二 ： 设 直 线 l的 方 程 x=my+2， 代 入 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 ，即 可 求 得 OA
28、 OB =0， 则 坐 标 原 点 O 在 圆 M 上 ； (2)由 题 意 可 知 ： AP BP =0， 根 据 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 ， 即 可 求 得 k 的 值 ， 求 得 M 点 坐标 ， 则 半 径 r=丨 MP丨 ， 即 可 求 得 圆 的 方 程 .答 案 ： 方 法 一 ： 证 明 ： (1)当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 则 A(2， 2)， B(2， -2)，则 OA=(2， 2)， OB =(2， -2)， 则 OA OB =0， OA OB ，则 坐 标 原 点 O 在 圆 M上 ；当 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线
29、 l 的 方 程 y=k(x-2)， A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 2 22y k xy x ， 整 理 得 ： k2x2-(4k2+1)x+4k2=0，则 x1x2=4， 4x1x2=y12y22=(y1y2)2， 由 y1y2 0，则 y1y2=-4，由 OA OB =x 1x2+y1y2=0，则 OA OB ， 则 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 ，综 上 可 知 ： 坐 标 原 点 O 在 圆 M上 ；方 法 二 ： 设 直 线 l 的 方 程 x=my+2，2 22x myy x ， 整 理 得 ： y2-2my-4=0， A(x 1， y1)， B(x2， y2)
30、， 则 y1y2=-4，则 (y1y2)2=4x1x2， 则 x1x2=4， 则 OA OB =x1x2+y1y2=0，则 OA OB ， 则 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 ， 坐 标 原 点 O 在 圆 M上 ；(2)由 (1)可 知 ： x 1x2=4， x1+x2= 2 24 2kk ， y1+y2= 2k ， y1y2=-4，圆 M 过 点 P(4， -2)， 则 AP =(4-x1， -2-y1)， BP=(4-x2， -2-y2)，由 AP BP =0， 则 (4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0，整 理 得 ： k2+k-2=0， 解 得 ： k=-2，
31、k=1，当 k=-2时 ， 直 线 l 的 方 程 为 y=-2x+4，则 x 1+x2= 92 ， y1+y2=-1，则 M( 94 ， - 12 )， 半 径 为 r=丨 MP 丨 = 2 29 1 854 24 2 4 ， 圆 M的 方 程 (x- 94 )2+(y+ 12 )2=8516 .当 直 线 斜 率 k=1时 ， 直 线 l 的 方 程 为 y=x-2，同 理 求 得 M(3， 1)， 则 半 径 为 r=丨 MP 丨 = 10 ， 圆 M的 方 程 为 (x-3) 2+(y-1)2=10，综 上 可 知 ： 直 线 l 的 方 程 为 y=-2x+4， 圆 M 的 方 程
32、(x- 94 )2+(y+ 12 )2= 8516 或 直 线 l 的 方 程 为y=x-2， 圆 M 的 方 程 为 (x-3)2+(y-1)2=10.21.已 知 函 数 f(x)=x-1-alnx.(1)若 f(x) 0， 求 a 的 值 ；(2)设 m 为 整 数 ， 且 对 于 任 意 正 整 数 n， (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) m， 求 m 的 最 小 值 .解 析 ： (1)通 过 对 函 数 f(x)=x-1-alnx(x 0)求 导 ， 分 a 0、 a 0 两 种 情 况 考 虑 导 函 数 f(x)与 0 的 大 小 关 系 可 得 结 论
33、；(2)通 过 (1)可 知 lnx x-1， 进 而 取 特 殊 值 可 知 ln(1+ 12k ) 12k ， k N *.一 方 面 利 用 等 比 数列 的 求 和 公 式 放 缩 可 知 (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) e， 另 一 方 面 可 知 (1+ 12 )(1+ 212 )(1+ 12n ) 2， 从 而 当 n 3 时 ， (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) (2， e)， 比 较 可 得 结 论 .答 案 ： (1)因 为 函 数 f(x)=x-1-alnx， x 0， 所 以 f (x)=1- a x ax x ， 且 f(
34、1)=0.所 以 当 a 0 时 f (x) 0 恒 成 立 ， 此 时 y=f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 这 与 f(x) 0 矛 盾 ；当 a 0 时 令 f (x)=0， 解 得 x=a，所 以 y=f(x)在 (0， a)上 单 调 递 减 ， 在 (a， + )上 单 调 递 增 ， 即 f(x)min=f(a)，又 因 为 f(x)min=f(a) 0，所 以 a=1；(2)由 (1)可 知 当 a=1时 f(x)=x-1-lnx 0， 即 lnx x-1，所 以 ln(x+1) x 当 且 仅 当 x=0时 取 等 号 ，所 以 ln(1+ 12k ) 12k
35、 ， k N *.一 方 面 ， ln(1+ 12 )+ln(1+ 212 )+ +ln(1+ 12n ) 12+122+ + 12n =1- 12n 1，即 (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) e；另 一 方 面 ， (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) (1+ 12 )(1+ 212 )(1+ 312 )=13564 2；从 而 当 n 3 时 ， (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) (2， e)，因 为 m为 整 数 ， 且 对 于 任 意 正 整 数 n， (1+ 12 )(1+ 212 ) (1+ 12n ) m 成 立 ，所
36、 以 m的 最 小 值 为 3. (二 )选 考 题 ： 共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一题 计 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l1的 参 数 方 程 为 2x ty kt ， (t 为 参 数 )， 直 线 l2的 参 数 方程 为 2x mmy k ， (m 为 参 数 ).设 l 1与 l2的 交 点 为 P， 当 k 变 化 时 ， P的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)写 出 C 的 普 通 方 程 ；(2)以
37、 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 l3： (cos +sin )- 2 =0，M为 l3与 C的 交 点 ， 求 M的 极 径 .解 析 ： (1)分 别 消 掉 参 数 t与 m可 得 直 线 l 1与 直 线 l2的 普 通 方 程 为 y=k(x-2) 与 x=-2+ky ；联 立 ， 消 去 k 可 得 C的 普 通 方 程 为 x2-y2=4；(2)将 l3的 极 坐 标 方 程 为 (cos +sin )- 2 =0 化 为 普 通 方 程 ： x+y- 2 =0， 再 与 曲 线 C的 方 程 联 立 ， 可 得 3
38、 22 22xy ， 即 可 求 得 l3与 C 的 交 点 M 的 极 径 为 = 5 . 答 案 ： (1) 直 线 l1的 参 数 方 程 为 2x ty kt ， (t为 参 数 )， 消 掉 参 数 t 得 ： 直 线 l1的 普 通 方 程 为 ： y=k(x-2) ；又 直 线 l2的 参 数 方 程 为 2x mmy k ， (m为 参 数 )，同 理 可 得 ， 直 线 l 2的 普 通 方 程 为 ： x=-2+ky ；联 立 ， 消 去 k 得 ： x2-y2=4， 即 C 的 普 通 方 程 为 x2-y2=4；(2) l3的 极 坐 标 方 程 为 (cos +sin
39、 )- 2 =0， 其 普 通 方 程 为 ： x+y- 2 =0，联 立 2 2 24x yx y 得 ： 3 22 22xy ， 2=x2+y2=18 24 4 =5. l3与 C 的 交 点 M 的 极 径 为 = 5 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 ；(2)若 不 等 式 f(x) x 2-x+m的 解 集 非 空 ， 求 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)由 于 f(x)=|x+1|-|x-2|= 3 12 1 1 23 2xx xx ， ， ， 解 不 等 式
40、f(x) 1 可 分 -1 x 2与 x 2 两 类 讨 论 即 可 解 得 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 ；(2)依 题 意 可 得 m f(x)-x2+xmax， 设 g(x)=f(x)-x2+x， 分 x 1、 -1 x 2、 x 2 三 类 讨论 ， 可 求 得 g(x) max= 54 ， 从 而 可 得 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1) f(x)=|x+1|-|x-2|= 3 12 1 1 23 2xx xx ， ， ， f(x) 1， 当 -1 x 2 时 ， 2x-1 1， 解 得 1 x 2；当 x 2 时 ， 3 1 恒 成 立 ， 故 x 2；综 上
41、， 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 为 x|x 1.(2)原 式 等 价 于 存 在 x R使 得 f(x)-x 2+x m成 立 ， 即 m f(x)-x2+xmax， 设 g(x)=f(x)-x2+x.由 (1)知 ， g(x)= 222 3 13 1 1 23 2x x xx x xx x x ， ， ， ，当 x -1 时 ， g(x)=-x2+x-3， 其 开 口 向 下 ， 对 称 轴 方 程 为 x= 12 -1， g(x) g(-1)=-1-1-3=-5；当 -1 x 2时 ， g(x)=-x 2+3x-1， 其 开 口 向 下 ， 对 称 轴 方 程 为 x= 32 (-1， 2)， g(x) g( 32 )= 9 9 514 2 4 ；当 x 2 时 ， g(x)=-x2+x+3， 其 开 口 向 下 ， 对 称 轴 方 程 为 x= 12 2， g(x) g(2)=-4+2=3=1；综 上 ， g(x) max= 54 ， m 的 取 值 范 围 为 (- ， 54 .
