1、2014年福建省福州市延安中学中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1.的倒数是（）A.2B.2C.D.解析：乘积是1的两数互为倒数，的倒数为2.答案：A.2.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿千米.用科学记数法表示1个天文单位应是（）A.1.4960107千米B.14.960107千米C.1.4960108千米D.0.14960108千米解析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
2、多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数.答案：C.3.民族图案是数学文化中的一块瑰宝.下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.解析：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.答案：C.4.如图，已知ab，1=40，那么2的大小为（）A.50B.45C.40D.30解析：如图，3=1=40，ab，2=3=40.答案：C.5.下列计算正确的是（）A.
3、a+a=a2B.a2a3=a6C.（a3）2=a6D.a7a5=a2解析：A、a+a=2a，故本选项错误；B、a2a3=a5，故本选项错误；C、（a3）2=a6，故本选项错误；D、a7a5=a75=a2，故本选项正确.答案：D.6.如果单项式2xa+1y3与x2yb是同类项，那么a，b的值分别为（）A.a=1，b=3B.a=1，b=2C.a=2，b=3D.a=2，b=2解析：单项式2xa+1y3与x2yb是同类项，解得：.答案：A.7.反比例函数y=和正比例函数y=mx的部分图象如图，由此可以得到方程=mx的实数根为（）A.x=1B.x=2C.x1=1，x2=1D.x1=1，x2=2解析：如图
4、，反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点C（1，2），另一个交点为：（1，2），方程=mx的实数根为：x1=1，x2=1.答案：C.8.有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的长方形？设长方形的长为xm，依题意，下列方程正确的是（）A.x（1x）=0.06B.x（12x）=0.06C.x（0.5x）=0.06D.2x（12x）=0.06解析：设长方形的长为xm，则设长方形的宽为（0.5x）m，由题意，得x（0.5x）=0.06.答案：C.9.如图，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为（）A.6B.8C.10D.12解析：根据题意，将周
5、长为8的ABC沿BC方向向右平移1个单位得到DEF，AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又AB+BC+AC=8，四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.答案：C.10.如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线CDE上移动，若点C、D、E的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（1，4），设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0=a（1+1）2+4，a=1，即：B点横坐标
6、取最小值时，抛物线的解析式为：y=（x+1）2+4.当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y=（x3）2+1=x2+6x8=（x2）（x4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），点A的横坐标的最大值为2.答案：B.二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11.分解因式：a3a=.解析：a3a，=a（a21），=a（a+1）（a1）.答案：a（a+1）（a1）.12.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表成绩（米）1.501.601.651.701.751.80人数（个）233241则这些
7、运动员成绩的中位数是米.解析：按从小到大的顺序排列后，最中间的数是1.65，所以中位数是1.65（米）.答案：1.65.13.已知是方程2x+ay=5的解，则a=.解析：把代入方程2x+ay=5得：4+a=5，解得：a=1，答案：1.14.如图是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图都是腰为13cm，底为10cm的等腰三角形，则这个几何体的侧面积是cm2.解析：易得此几何体为圆锥，底面直径为10cm，母线长为13cm，圆锥的底面半径为5cm，这个几何体的侧面积为513=65cm2.答案：6515.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图
8、；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图；如此反复操作下去，则第2013个图形中直角三角形的个数有个.解析：图图的直角三角形的个数相同，都是4，4=41，图图的直角三角形的个数相同，都是8，8=42，图2013图2014的直角三角形的个数相同，都是4=4028.答案：4028.三、解答题（满分90分）16.（1）计算：2sin60+|3|（）1（2）先化简，再求值，其中x满足方程x2+4x5=0.解析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分后两
9、项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值.答案：（1）原式=2+323=；（2）原式=，方程x2+4x5=0，分解因式得：（x1）（x+5）=0，解得：x=1（不合题意，舍去）或x=5，则原式=.17.如图，在ABC中，ABC=45，高线AD和BE交于点F.求证：CD=DF.解析：由AD与BE为两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用内角和定理得到CAD=FBD，根据ABC=45，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，利用ASA得到三角形ADC与三角形BDF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证.答案：AD、BE是ABC
10、的高线，ADBC，BEAC，ADB=ADC=90，AEB=90，ABC=45，ADB是等腰直角三角形，AD=BD，EBC+BFD=90，CAD+AFE=90，AFE=BFD，CAD=EBC，在BDF和ADC中，BDFADC（ASA），CD=DF.18.ABC在平面直角坐标系xy中的位置如图所示.（1）作ABC关于原点成中心对称的A1B1C1.（2）画出ABC绕点B顺时针旋转90所得的A2B2C2，并求出A点所经过的路线长.解析：（1）利用网格结构找出点A、B、C原点成中心对称的A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点B顺时针旋转90后的对应点A2、B2、
11、C2的位置，然后顺次连接即可；利用勾股定理列式求出AB，再根据弧长公式列式计算即可得解.答案：（1）A1B1C1如图所示；（2）A2B2C2如图所示；由勾股定理得，AB=，A点所经过的路线长=.19.初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况.以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：（1）这次抽查的样本容量是；（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？解析：（1）根据条形图知道常用计算器的人数有1
12、00人，从扇形图知道常用计算器的占62.5%，从而可求出解；（2）用样本容量减去常用计算器的人数和不用计算器的人数求出不常用计算器的人数，再算出各部分的百分比补全条形图和扇形图；（3）学生恰好抽到“不常用”计算器的概率是“不常用”计算器的学生数除以抽查的学生人数.答案：（1）10062.5%=160.即这次抽查的样本容量是160.故答案为160；（2）不常用计算器的人数为：16010020=40；不常用计算器的百分比为：40160=25%，不用计算器的百分比为：20160=12.5%.条形统计图和扇形统计图补全如下：（3）“不常用”计算器的学生数为40，抽查的学生人数为160，从这次接受调查的
13、学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是：.答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是.20.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解析：（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式.（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形
14、式，进而得出当x=5时得出y的最大值.答案：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（6050+x）元，总销量为：（20010x）件，商品利润为：y=（6050+x）（20010x），=（10+x）（20010x），=10x2+100x+2000.原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，0x12且x为正整数；（2）y=10x2+100x+2000，=10（x210x）+2000，=10（x5）2+2250.故当x=5时，最大月利润y=2250元.这时售价为60+5=65（元）.21.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，为APD的外接圆.（
15、1）试判断直线AB与的位置关系，并说明理由；（2）若AC=8，tanDAC=，求的半径.解析：（1）连结P、A，P交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得PAD，AE=DE，则1+PA=90，而AP=PA，所以1+AP=90，再根据菱形的性质得1=2，所以2+AP=90，然后根据切线的判定定理得到直线AB与相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tanDAC=，DF=2，理由勾股定理计算出AD=2，所以AE=，在RtPAE中，利用正切的定义得tan1=，则PE=，设的半径为R，则E=R，A=R，在RtAE中根据勾股定理得到R
16、2=（R）2+（）2，解得R=.答案：（1）直线AB与相切.理由如下：连结P、A，P交AD于E，如图，PA=PD，弧AP=弧DP，PAD，AE=DE，1+PA=90，P=A，AP=PA，1+AP=90，四边形ABCD为菱形，1=2，2+AP=90，AAB，直线AB与相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图，四边形ABCD为菱形，DB与AC互相垂直平分，AC=8，tanDAC=，AF=4，tanDAC=，DF=2，AD=2，AE=，在RtPAE中，tan1=，PE=，设的半径为R，则E=R，A=R，在RtAE中，A2=E2+AE2，R2=（R）2+（）2，R=，即的半径为.22.如图，矩形ABC
17、D中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DFAE，垂足为点F.（1）设BE=x，ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；（2）若存在点E，使得ABE、ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；（3）对（2）中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE的长为多少时，CDF是等腰三角形？解析：（1）根据已知条件矩形ABCD和DFAE，证ABEDFA，从而求出y关于x的函数解析式；（2）假设存在，由题意ABE、ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，可得BE=BC，设BE=x，证ABEDFA，根据三角形的相似比，从而求解；（3）过点C作CMDF，垂足为点M，判断
18、CDF是等腰三角形，要分类讨论，CF=CD；DF=DC；FD=FC，根据三角形相似进行求解.答案：（1）DFAE，DFA=90又B=90，ADBC，DAE=AEB，ABEDFA，；（2）ABE：ADF：四边形CDFE的面积比是3：4：5， 设BE=x，则BC=2x，ABEDFA，且ABE：ADF=3：4， 解得x=1，BC=2，；（3）CF=CD时，过点C作CMDF，垂足为点M，则CMAE，DM=MF， 延长CM交AD于点G，AG=GD=1，CE=1，当BE=1时，CDF是等腰三角形； DF=DC时，则DC=DF=，DFAE，AD=2，DAE=45，（1分）则BE=，当BE=时，CDF是等腰三
19、角形； FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点.AB=，BE=x，AE=，AF=ADFEAB，x24x+2=0，解得，当BE=时，CDF是等腰三角形. 23.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M.（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MA相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解析：（1）把点A、
20、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）.所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=x+1.由题意设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）.易求DF=.根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况.此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行答案.答案：由题意可知.解得.抛物线的表达式为y=.（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1.点M的坐标为（0，1）.设直线MA的表达式为y=kx+b，则.解得.直线
21、MA的表达式为y=x+1.设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）.DF=.当时，DF的最大值为.此时，即点D的坐标为（）.（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MA相似.设P（m，）.在RtMA中，A=3M，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限.设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0.解得m=3（舍去）或m=8.又3m0，故此时满足条件的点不存在.当点P在第三象限时，点P不可能在直线MA上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0.解得m=3或m=8.此时点P的坐标为（8，15）.当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则3，即m2+m6=0.解得m=3（舍去）或m=2.当m=2时，.此时点P的坐标为（2，）.若PN=3NA，则，即m27m30=0.解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）.
