1、2014年 内 蒙 古 呼 和 浩 特 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.(3分 )下 列 实 数 是 无 理 数 的 是 ( )A.-1B.0C.D.解 析 ： A、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；B、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；C、 正 确 ； D、 是 分 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 .答 案 ： C.2.(3分 )以 下 问 题 ，
2、 不 适 合 用 全 面 调 查 的 是 ( )A.旅 客 上 飞 机 前 的 安 检B.学 校 招 聘 教 师 ， 对 应 聘 人 员 的 面 试C.了 解 全 校 学 生 的 课 外 读 书 时 间D.了 解 一 批 灯 泡 的 使 用 寿 命解 析 ： A、 旅 客 上 飞 机 前 的 安 检 ， 意 义 重 大 ， 宜 用 全 面 调 查 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 学 校 招 聘 教 师 ， 对 应 聘 人 员 面 试 必 须 全 面 调 查 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 了 解 全 校 同 学 课 外 读 书 时 间 ， 数 量 不 大 ， 宜 用 全 面 调 查 ，
3、 故 此 选 项 错 误 ；D、 了 解 一 批 灯 泡 的 使 用 寿 ， 具 有 破 坏 性 ， 工 作 量 大 ， 不 适 合 全 面 调 查 ， 故 D 选 项 正 确 .答 案 ： D. 3.(3分 )已 知 线 段 CD是 由 线 段 AB平 移 得 到 的 ， 点 A(-1， 4)的 对 应 点 为 C(4， 7)， 则 点 B(-4，-1)的 对 应 点 D 的 坐 标 为 ( )A.(1， 2)B.(2， 9)C.(5， 3)D.(-9， -4)解 析 ： 点 A(-1， 4)的 对 应 点 为 C(4， 7)， 平 移 规 律 为 向 右 5 个 单 位 ， 向 上 3个
4、单 位 ， 点 B(-4， -1)， 点 D的 坐 标 为 (1， 2).答 案 ： A.4.(3分 )如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 根 据 图 中 数 据 ， 求 得 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.60B.70C.90D.160解 析 ： 观 察 三 视 图 发 现 该 几 何 体 为 空 心 圆 柱 ， 其 内 径 为 3， 外 径 为 4， 高 为 10，所 以 其 体 积 为 10 (42 -32 )=70 ，答 案 ： B.5.(3分 )某 商 品 先 按 批 发 价 a元 提 高 10%零 售 ， 后 又 按 零 售 价 降 低 10%出 售 ， 则
5、 它 最 后 的 单价 是 ( )元 .A.aB.0.99aC.1.21a D.0.81a解 析 ： 由 题 意 得 a(1+10%)(1-10%)=0.99a(元 ).答 案 ： B.6.(3分 )已 知 O 的 面 积 为 2 ， 则 其 内 接 正 三 角 形 的 面 积 为 ( )A.3B.3C.D.解 析 ： 如 图 所 示 ， 连 接 OB、 OC， 过 O 作 OD BC于 D， O的 面 积 为 2 O的 半 径 为 ABC为 正 三 角 形 ， BOC= =120 ， BOD= BOC=60 ， OB= ， BD=OB sin BOD= = ， BC=2BD= ， OD=OB
6、 cos BOD= cos60 = ， BOC的 面 积 = BC OD= = ， ABC的 面 积 =3S BOC=3 = .答 案 ： C.7.(3分 )实 数 a， b， c 在 数 轴 上 对 应 的 点 如 图 所 示 ， 则 下 列 式 子 中 正 确 的 是 ( )A.ac bcB.|a-b|=a-b C.-a -b cD.-a-c -b-c解 析 ： 由 图 可 知 ， a b 0 c， A、 ac bc， 故 本 选 项 错 误 ；B、 a b， a-b 0， |a-b|=b-a， 故 本 选 项 错 误 ；C、 a b 0， -a -b， 故 本 选 项 错 误 ；D、 -
7、a -b， c 0， -a-c -b-c， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.8.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A. =B. =a 3C.( + )2 ( - )=D.(-a)9 a3=(-a)6解 析 ： A、 原 式 =3 =3 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 原 式 =|a| 3， 故 本 选 项 错 误 ；C、 原 式 = = = ， 故本 选 项 正 确 ；D、 原 式 =-a9 a3=-a6， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： C.9.(3分 )已 知 矩 形 ABCD的 周 长 为 20cm， 两 条 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 O
8、， 过 点 O作 AC的 垂线 EF， 分 别 交 两 边 AD， BC于 E， F(不 与 顶 点 重 合 )， 则 以 下 关 于 CDE与 ABF 判 断 完 全 正确 的 一 项 为 ( )A. CDE与 ABF的 周 长 都 等 于 10cm， 但 面 积 不 一 定 相 等 B. CDE与 ABF全 等 ， 且 周 长 都 为 10cm C. CDE与 ABF全 等 ， 且 周 长 都 为 5cmD. CDE与 ABF全 等 ， 但 它 们 的 周 长 和 面 积 都 不 能 确 定解 析 ： AO=CO， EF AC， EF是 AC 的 垂 直 平 分 线 ， EA=EC， CD
9、E的 周 长 =CD+DE+CE=CD+AD= 矩 形 ABCD的 周 长 =10cm，同 理 可 求 出 ABF的 周 长 为 10cm， 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 方 法 可 知 ： CDE与 ABF 全 等 。答 案 ： B.点 评 ： 本 题 考 查 了 矩 形 的 对 角 线 互 相 平 分 的 性 质 ， 还 考 查 了 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 以 及 全 10.(3分 )已 知 函 数 y= 的 图 象 在 第 一 象 限 的 一 支 曲 线 上 有 一 点 A(a， c)， 点 B(b， c+1)在 该 函 数 图 象 的 另 外 一 支 上 ，
10、则 关 于 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 两 根 x1， x2判 断 正 确 的 是( )A.x1+x2 1， x1 x2 0B.x1+x2 0， x1 x2 0C.0 x1+x2 1， x1 x2 0D.x 1+x2与 x1 x2的 符 号 都 不 确 定解 析 ： 点 A(a， c)在 第 一 象 限 的 一 支 曲 线 上 ， a 0， c 0， 点 B(b， c+1)在 该 函 数 图 象 的 另 外 一 支 上 ， b 0， c+1 0， c -1， x1 x2= 0， x1+x2=- = ， 0 x1+x2 1，答 案 ： C.二 、 填 空 题 (本 大 题 共
11、 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 .本 题 要 求 把 正 确 结 果 填 在 答 题 纸 规 定的 横 线 上 ， 不 需 要 解 答 过 程 )11.(3分 )一 个 底 面 直 径 是 80cm， 母 线 长 为 90cm的 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 的 度 数为 .解 析 ： 圆 锥 的 底 面 直 径 是 80cm， 圆 锥 的 侧 面 展 开 扇 形 的 弧 长 为 ： d=80 ， 母 线 长 90cm， 圆 锥 的 侧 面 展 开 扇 形 的 面 积 为 ： lr= 80 90=3600 ， =3600 ， 解 得 ： n=160.答
12、案 ： 160.12.(3分 )某 校 五 个 绿 化 小 组 一 天 的 植 树 的 棵 数 如 下 ： 10， 10， 12， x， 8. 已 知 这 组 数 据 的平 均 数 是 10， 那 么 这 组 数 据 的 方 差 是 .解 析 ： 这 组 数 据 的 平 均 数 是 10， (10+10+12+x+8) 5=10， 解 得 ： x=10， 这 组 数 据 的 方 差 是 3 (10-10) 2+(12-10)2+(8-10)2=1.6； 答 案 ： 1.6.13.(3分 )等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 与 另 一 腰 的 夹 角 为 36 ， 则 该 等 腰 三 角
13、形 的 底 角 的 度 数为 .解 析 ： 在 三 角 形 ABC中 ， 设 AB=AC， BD AC于 D. 若 是 锐 角 三 角 形 ， A=90 -36 =54 ， 底 角 =(180 -54 ) 2=63 ； 若 三 角 形 是 钝 角 三 角 形 ， BAC=36 +90 =126 ， 此 时 底 角 =(180 -126 ) 2=27 . 所 以 等 腰 三 角 形 底 角 的 度 数 是 63 或 27 .14.(3分 )把 多 项 式 6xy2-9x2y-y3因 式 分 解 ， 最 后 结 果 为 .解 析 ： 6xy2-9x2y-y3=-y(y2-6xy+9x2)=-y(3
14、x-y)2.答 案 ： -y(3x-y)2.15.(3分 )已 知 m， n是 方 程 x2+2x-5=0 的 两 个 实 数 根 ， 则 m2-mn+3m+n= .解 析 ： m、 n 是 方 程 x 2+2x-5=0的 两 个 实 数 根 ，且 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 是解 得 ： m= -1， n=-1- 或 者 m=-1- ， n= -1，将 m= -1、 n=-1- 代 入 m2-mn+3m+n=8；将 m=-1- 、 n= -1代 入 m2-mn+3m+n=8；答 案 ： 8.16.(3分 )以 下 四 个 命 题 ： 每 一 条 对 角 线 都 平 分 一 组
15、 对 角 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 . 当 m 0 时 ， y=-mx+1与 y= 两 个 函 数 都 是 y 随 着 x的 增 大 而 减 小 . 已 知 正 方 形 的 对 称 中 心 在 坐 标 原 点 ， 顶 点 A， B， C， D按 逆 时 针 依 次 排 列 ， 若 A 点 坐 标 为 (1， 则 D点 坐 标 为 (1， . 在 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 标 号 为 1， 2， 3， 4 的 四 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 从 袋 中 随 机 摸 取一 个 然 后 放 回 ， 再 从 袋 中 随 机 地 摸 取 一 个 ， 则 两 次 取 到
16、 的 小 球 标 号 的 和 等 于 4 的 概 率 为 . 其 中 正 确 的 命 题 有 (只 需 填 正 确 命 题 的 序 号 )解 析 ： 每 一 条 对 角 线 都 平 分 一 组 对 角 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ， 正 确 . 当 m 0 时 ， -m 0， y=-mx+1与 y= 两 个 函 数 都 是 y 随 着 x 的 增 大 而 减 小 ， 正 确 . 已 知 正 方 形 的 对 称 中 心 在 坐 标 原 点 ， 顶 点 A， B， C， D按 逆 时 针 依 次 排 列 ， 若 A 点 坐 标 为 (1， 则 D点 坐 标 为 (1， ， 错 误 . 在
17、一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 标 号 为 1， 2， 3， 4 的 四 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 从 袋 中 随 机 摸 取一 个 然 后 放 回 ， 再 从 袋 中 随 机 地 摸 取 一 个 ， 则 两 次 取 到 的 小 球 标 号 的 和 等 于 4 的 概 率 为 ，错 误 ，答 案 ： .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 9 小 题 ， 满 分 72分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ) 17.(10分 )计 算(1)计 算 ： 2cos30 +( -2)-1+|- |(2)解 方 程 ： - =0.解 析
18、： (1)根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 、 负 指 数 幂 运 算 、 绝 对 值 进 行 计 算 即 可 ；(2)先 去 分 母 ， 化 为 整 式 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =2 + + = -( +2)+ =- ；(2)去 分 母 ， 得 3x 2-6x-x2-2x=0， 解 得 x1=0， x2=4，经 检 验 ： x=0是 增 根 ， 故 x=4是 原 方 程 的 解 .18.(6分 )如 图 ， 一 艘 海 轮 位 于 灯 塔 P 的 北 偏 东 65 方 向 ， 距 离 灯 塔 80海 里 的 A 处 ， 它 沿 正南 方 向 航 行 一 段
19、时 间 后 ， 到 达 位 于 灯 塔 P 的 南 偏 东 45 方 向 上 的 B 处 ， 这 时 ， 海 轮 所 在 的 B处 距 离 灯 塔 P 有 多 远 ？ (结 果 用 非 特 殊 角 的 三 角 函 数 及 根 式 表 示 即 可 ) 解 析 ： 首 先 根 据 题 意 得 出 MPA= A=65 ， 以 及 DBP= DPB=45 ， 再 利 用 解 直 角 三 角 形 求出 即 可 .答 案 ： 如 图 ， 过 点 P作 PD AB于 点 D. 由 题 意 知 DPB= DBP=45 .在 Rt PBD中 ， sin45 = = ， PB= PD. 点 A在 点 P 的 北
20、偏 东 65 方 向 上 ， APD=25 .在 Rt PAD中 ， cos25 = . PD=PAcos25 =80cos25 ， PB=80cos25 .19.(5分 )已 知 实 数 a是 不 等 于 3 的 常 数 ， 解 不 等 式 组 ， 并 依 据 a 的取 值 情 况 写 出 其 解 集 .解 析 ： 首 先 分 别 解 出 两 个 不 等 式 ， 再 根 据 实 数 a 是 不 等 于 3 的 常 数 ， 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： 当 a 3 时 ， 当 a 3 时 ， 然 后 确 定 出 不 等 式 组 的 解 集 . 答 案 ： ， 解 得 ： x 3， 解
21、 得 ： x a， 实 数 a 是 不 等 于 3的 常 数 ， 当 a 3 时 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 x 3，当 a 3 时 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 x a.20.(9分 )学 校 为 了 了 解 初 三 年 级 学 生 体 育 跳 绳 的 训 练 情 况 ， 从 初 三 年 级 各 班 随 机 抽 取 了 50名 学 生 进 行 了 60秒 跳 绳 的 测 试 ， 并 将 这 50名 学 生 的 测 试 成 绩 (即 60 秒 跳 绳 的 个 数 )从 低 到高 分 成 六 段 记 为 第 一 到 六 组 ， 最 后 整 理 成 下 面 的 频 数 分 布 直 方
22、 图 ： 请 根 据 直 方 图 中 样 本 数 据提 供 的 信 息 解 答 下 列 问 题 . (1)跳 绳 次 数 的 中 位 数 落 在 哪 一 组 ？ 由 样 本 数 据 的 中 位 数 你 能 推 断 出 学 校 初 三 年 级 学 生 关 于60秒 跳 绳 成 绩 的 一 个 什 么 结 论 ？(2)若 用 各 组 数 据 的 组 中 值 (各 小 组 的 两 个 端 点 的 数 的 平 均 数 )代 表 各 组 的 实 际 数 据 ， 求 这 50名 学 生 的 60秒 跳 绳 的 平 均 成 绩 (结 果 保 留 整 数 )；(3)若 从 成 绩 落 在 第 一 和 第 六
23、组 的 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 学 生 ， 用 列 举 法 求 抽 取 的 2 名 学 生 恰好 在 同 一 组 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 中 位 数 的 定 义 先 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 ， 找 出 中 间 两 个 数 的 平 均 数 ， 再 根据 中 位 数 落 在 第 四 组 估 计 出 初 三 学 生 60秒 跳 绳 再 120个 以 上 的 人 数 达 到 一 半 以 上 ；(2)根 据 平 均 数 的 计 算 公 式 进 行 计 算 即 可 ；(3)先 把 第 一 组 的 两 名 学 生 用 A、 B 表 示 ， 第 六 组 的 三
24、名 学 生 用 1， 2， 3 表 示 ， 得 出 所 有 出 现的 情 况 ， 再 根 据 概 率 公 式 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： (1) 共 有 50个 数 ， 中 位 数 是 第 25、 26 个 数 的 平 均 数 ， 跳 绳 次 数 的 中 位 数 落 在 第 四 组 ； 可 以 估 计 初 三 学 生 60 秒 跳 绳 再 120 个 以 上 的 人 数 达 到 一 半 以 上 ；(2)根 据 题 意 得 ： (2 70+10 90+12 110+13 130+10 150+3 170) 50 121(个 )，答 ： 这 50 名 学 生 的 60 秒 跳 绳 的 平
25、 均 成 绩 是 121个 ；(3)记 第 一 组 的 两 名 学 生 为 A、 B， 第 六 组 的 三 名 学 生 为 1， 2， 3，则 从 这 5 名 学 生 中 抽 取 两 名 学 生 有 以 下 10 种 情 况 ：AB， A1， A2， A3， B1， B2， B3， 12， 13， 23，则 抽 取 的 2名 学 生 恰 好 在 同 一 组 的 概 率 是 ： = ；21.(7分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 把 矩 形 沿 AC折 叠 ， 点 B 落 在 点 E 处 ， AE 与 DC的 交 点为 O， 连 接 DE. (1)求 证 ： ADE CED；
26、(2)求 证 ： DE AC.解 析 ： (1)根 据 矩 形 的 性 质 和 折 叠 的 性 质 可 得 BC=CE=AD， AB=AE=CD， 根 据 SSS可 证 ADE CED(SSS)；(2)根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 EDC= DEA， 由 于 ACE 与 ACB关 于 AC所 在 直 线 对 称 ， 可得 OAC= CAB， 根 据 等 量 代 换 可 得 OAC= DEA， 再 根 据 平 行 线 的 判 定 即 可 求 解 .答 案 ： 证 明 ： (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AD=BC， AB=CD，又 AC是 折 痕 ， BC=CE=A
27、D， AB=AE=CD，在 ADE与 CED中 ， ， ADE CED(SSS)；(2) ADE CED， EDC= DEA，又 ACE与 ACB 关 于 AC 所 在 直 线 对 称 ， OAC= CAB， OCA= CAB， OAC= OCA， 2 OAC=2 DEA， OAC= DEA， DE AC. 22.(7分 )为 鼓 励 居 民 节 约 用 电 ， 我 市 自 2012年 以 来 对 家 庭 用 电 收 费 实 行 阶 梯 电 价 ， 即 每 月对 每 户 居 民 的 用 电 量 分 为 三 个 档 级 收 费 ， 第 一 档 为 用 电 量 在 180 千 瓦 时 (含 180
28、 千 瓦 时 )以 内的 部 分 ， 执 行 基 本 价 格 ； 第 二 档 为 用 电 量 在 180 千 瓦 时 到 450 千 瓦 时 (含 450千 瓦 时 )的 部 分 ，实 行 提 高 电 价 ； 第 三 档 为 用 电 量 超 出 450千 瓦 时 的 部 分 ， 执 行 市 场 调 节 价 格 . 我 市 一 位 同 学家 今 年 2 月 份 用 电 330千 瓦 时 ， 电 费 为 213元 ， 3 月 份 用 电 240千 瓦 时 ， 电 费 为 150元 .已知 我 市 的 一 位 居 民 今 年 4、 5 月 份 的 家 庭 用 电 量 分 别 为 160和 410千
29、瓦 时 ， 请 你 依 据 该 同 学家 的 缴 费 情 况 ， 计 算 这 位 居 民 4、 5 月 份 的 电 费 分 别 为 多 少 元 ？解 析 ： 设 基 本 电 价 为 x 元 /千 瓦 时 ， 提 高 电 价 为 y 元 /千 瓦 时 ， 根 据 2 月 份 用 电 330 千 瓦 时 ，电 费 为 213元 ， 3月 份 用 电 240千 瓦 时 ， 电 费 为 150元 ， 列 方 程 组 求 解 .答 案 ： 设 基 本 电 价 为 x 元 /千 瓦 时 ， 提 高 电 价 为 y 元 /千 瓦 时 ，由 题 意 得 ， ， 解 得 ： ，则 四 月 份 电 费 为 ： 1
30、60 0.6=96(元 )， 五 月 份 电 费 为 ： 180 0.6+230 0.7=108+161=269(元 ).答 ： 这 位 居 民 四 月 份 的 电 费 为 96元 ， 五 月 份 的 电 费 为 269 元 .23.(8分 )如 图 ， 已 知 反 比 例 函 数 y= (x 0， k是 常 数 )的 图 象 经 过 点 A(1， 4)， 点 B(m， n)，其 中 m 1， AM x 轴 ， 垂 足 为 M， BN y 轴 ， 垂 足 为 N， AM与 BN 的 交 点 为 C. (1)写 出 反 比 例 函 数 解 析 式 ；(2)求 证 ： ACB NOM；(3)若 A
31、CB与 NOM的 相 似 比 为 2， 求 出 B点 的 坐 标 及 AB所 在 直 线 的 解 析 式 .解 析 ： (1)把 A 点 坐 标 代 入 y= 可 得 k 的 值 ， 进 而 得 到 函 数 解 析 式 ；(2)根 据 A、 B 两 点 坐 标 可 得 AC=4-n， BC=m-1， ON=n， OM=1， 则 = ， 再 根 据 反 比 例 函数 解 析 式 可 得 =m， 则 =m-1， 而 = ， 可 得 = ， 再 由 ACB= NOM=90 ， 可得 ACB NOM；(3)根 据 ACB与 NOM 的 相 似 比 为 2 可 得 m-1=2， 进 而 得 到 m 的
32、值 ， 然 后 可 得 B 点 坐 标 ， 再利 用 待 定 系 数 法 求 出 AB的 解 析 式 即 可 . 答 案 ： (1) y= (x 0， k是 常 数 )的 图 象 经 过 点 A(1， 4)， k=4， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ； (2) 点 A(1， 4)， 点 B(m， n)， AC=4-n， BC=m-1， ON=n， OM=1， = = -1， B(m， n)在 y= 上 ， =m， =m-1， 而 = ， = ， ACB= NOM=90 ， ACB NOM；(3) ACB与 NOM的 相 似 比 为 2， m-1=2， m=3， B(3， )，设 A
33、B 所 在 直 线 解 析 式 为 y=kx+b， ， 解 得 ， 解 析 式 为 y=- x+ .24.(8分 )如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， 点 C在 O 上 ， 过 点 C作 O 的 切 线 CM. (1)求 证 ： ACM= ABC；(2)延 长 BC到 D， 使 BC=CD， 连 接 AD 与 CM 交 于 点 E， 若 O 的 半 径 为 3， ED=2， 求 ACE 的外 接 圆 的 半 径 .解 析 ： (1)连 接 OC， 由 ABC+ BAC=90 及 CM是 O 的 切 线 得 出 ACM+ ACO=90 ， 再 利 用 BAC= AOC， 得 出 结 论 ，(
34、2)连 接 OC， 得 出 AEC是 直 角 三 角 形 ， AEC的 外 接 圆 的 直 径 是 AC， 利 用 ABC CDE，求 出 AC，答 案 ： (1) CM是 O 的 切 线 ， ACM= ABC；(2) BC=CD， OC AD，又 OC CE， AD CE， AEC是 直 角 三 角 形 ， AEC的 外 接 圆 的 直 径 是 AC，又 ABC+ BAC=90 ， ACM+ ECD=90 ， ABC CDE， = ， O 的 半 径 为 3， AB=6， = ， BC2=12， BC=2 ， AC= =2 ， AEC的 外 接 圆 的 半 径 为 .25.(12分 )如 图
35、 ， 已 知 直 线 l 的 解 析 式 为 y= x-1， 抛 物 线 y=ax2+bx+2 经 过 点 A(m， 0)， B(2，0)， D(1， )三 点 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 及 A 点 的 坐 标 ， 并 在 图 示 坐 标 系 中 画 出 抛 物 线 的 大 致 图 象 ；(2)已 知 点 P(x， y)为 抛 物 线 在 第 二 象 限 部 分 上 的 一 个 动 点 ， 过 点 P 作 PE 垂 直 x轴 于 点 E，延 长 PE与 直 线 l 交 于 点 F， 请 你 将 四 边 形 PAFB的 面 积 S 表 示 为 点 P的 横 坐 标 x 的 函 数
36、 ， 并求 出 S的 最 大 值 及 S最 大 时 点 P 的 坐 标 ；(3)将 (2)中 S 最 大 时 的 点 P 与 点 B相 连 ， 求 证 ： 直 线 l 上 的 任 意 一 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 一 定在 PB 所 在 直 线 上 .解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 可 求 抛 物 线 的 解 析 式 ， 再 根 据 A(m， 0)在 抛 物 线 上 ， 得 到0=- m 2- m+2， 解 方 程 即 可 得 到 m的 值 ， 从 而 得 到 A点 的 坐 标 ；(2)根 据 四 边 形 PAFB的 面 积 S= AB PF， 可 得 S=- (x+2
37、)2+12， 根 据 函 数 的 最 值 可 得 S 的 最大 值 是 12， 进 一 步 得 到 点 P 的 坐 标 为 ；(3)根 据 待 定 系 数 法 得 到 PB 所 在 直 线 的 解 析 式 为 y=- x+1， 设 Q(a， a-1)是 y= x-1 上 的一 点 ， 则 Q 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 (a， 1- a)， 将 (a， 1- a)代 入 y=- x+1显 然 成 立 ， 依此 即 可 求 解 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax 2+bx+2 经 过 点 B(2， 0)， D(1， )， ， 解 得 a=- ， b=- ， 抛 物 线 的 解
38、 析 式 为 y=- x2- x+2， A(m， 0)在 抛 物 线 上 ， 0=- m2- m+2， 解 得 m=-4， A 点 的 坐 标 为 (-4， 0).如 图 所 示 ： (2) 直 线 l 的 解 析 式 为 y= x-1， S= AB PF= 6 PF=3(- x2- x+2+1- x)=- x2-3x+9=- (x+2)2+12，其 中 -4 x 0， S的 最 大 值 是 12， 此 时 点 P 的 坐 标 为 (-2， 2)；(3) 直 线 PB 经 过 点 P(-2， 2)， B(2， 0)， PB所 在 直 线 的 解 析 式 为 y=- x+1，设 Q(a， a-1)是 y= x-1上 的 一 点 ， 则 Q点 关 于 x轴 的 对 称 点 为 (a， 1- a)，将 (a， 1- a)代 入 y=- x+1 显 然 成 立 ， 直 线 l 上 的 任 意 一 点 关 于 x轴 的 对 称 点 一 定 在 PB 所 在 直 线 上 .
