1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1在等差数列 n a
2、中， 2 2a =， 310 4,aa=则 A12 B14 C16 D18 2设 2 ,|20,URM xx x=，则 U M = A0，2 B( )0, 2 C ()(),0 2, + D ( ),0 2,+ 3曲线 22 3y xx= +在点（1，2）处的切线方程为 A31yx= B35yx=+ C35yx=+ D2yx= 4从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在114.5,124.5)内的频率为 A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 5已知向量(1, ), (2, 2),akb
3、 aba= +且与共线，那么ab的值为 A1 B2 C3 D4 6设 113 33 124 log , log , log , , , 23 abc abc=则的大小关系是 Aabc Bcba Cbac Dbca在x a=处取最小值，则a = A12+ B13+ C3 D4 8若ABC的内角，,A BC满足6sin 4sin 3sinABC= =，则cos B = A 15 4 B 3 4 C 315 16 D 11 16 9设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线 的离心率的取值范围为 A(0, 2) B(1, 2 ) C 2 (,1) 2 D(
4、2，)+ 10高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半 径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 + C 3 2 D2 二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上 11 6 (1 2 )x+的展开式中 4 x的系数是 12若 3 cos 5 a = ,且 3 (, ) 2 a ，则tana= 13过原点的直线与圆 22 2440 xy xy+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 14从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 15若实数,
5、 2 2 2 ,2 2 2 2 , a b ab a b c abc abc c + += +=满足则的最大值是 三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 设 n a是公比为正数的等比数列， 1 2a =， 32 4aa= +。 （）求 n a的通项公式； （）设 n b是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 nn ab+的前n项和 n s。 17（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分） 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的
6、房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I）没有人申请A片区房源的概率； （II）每个片区的房源都有人申请的概率。 18（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分） 设函数( ) sin cos 3 cos( )cos ( ).f xxx xxR=+ （1）求()f x的最小正周期； （II）若函数()yfx=的图象按 3 , 42 b = 平移后得到函数()ygx=的图象，求()ygx= 在(0, 4 上的最大值。 19（本小题满分12分，（）小题5分，（）小题7分） 设 3. 2 () 2 1f xxaxbx=+的导数为()f x，若函数()y fx=的图像关于直线 1 2
7、x= 对称，且(1) 0f = （）求实数,ab的值 （）求函数()f x的极值 20（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD， ,2,1AB BC AC AD BC CD= （）求四面体ABCD的体积； （）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。 21（本小题满分12分。（）小问4分，（）小问8分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e= 2 2 ，一条准线的方程是22x= （）求该椭圆的标准方程； （）设动点P满足：2OP OM ON=+ uuuv uuuuvuuv ，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜 率之
8、积为 1 2 ，问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：210 x=的距离之比 为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。 题（21）图 参考答案 一、选择题 15 DAACD 610 BCDBA 二、填空题： 11240 12 4 3 1320 xy= 14 7 30 15 2 2log3 三、解答题：满分75分 16（本题13分） 解：（I）设q为等比数列 n a的公比，则由 2 132 2, 4 2 2 4aaa qq= =+ =+得， 即 2 20qq=，解得21qq=或（舍去），因此2.q = 所以 n a的通项为 1* 22 2( ). nn n anN = = （II）
9、 2(1 2 ) ( 1) 12. 12 2 n n nn Sn =+ 12 22. n n + =+ 17（本题13分） 解：这是等可能性事件的概率计算问题。 （I）解法一：所有可能的申请方式有3 4 种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有2 4 种。 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 4 4 216 () . 813 PA= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则 1 () . 3 PA= 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 004 44 12 16 (0) ( ) ( ) .
10、33 81 PC= （II）所有可能的申请方式有3 4 种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 121 23 34 2 43 ()CCC CC或种. 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 121 23 34 2 43 44 36 4 4 () ( () ). 9933 3 CCC CA PB PB= =或 18（本题13分） 解：（I） 2 1 () sin2 3cos 2 f xxx=+ 13 sin 2 (1 cos 2 ) 22 13 3 sin 2 cos 2 22 2 3 sin(2 ) . 32 x x xx x =+ =+ + =+ 故()f x的最小正周期为
11、2 . 2 T = （II）依题意 3 () () 42 gx fx =+ 33 sin2( ) 43 2 2 sin(2 ) 3. 6 x x =+ =+ 当0, ,2 , , ( ) 4663 x xgx 时为增函数， 所以() 0, 4 gx 在上的最大值为 33 () . 42 g = 19（本题12分） 解：（I）因 32 2 () 2 1, () 6 2 .f x x ax bx f x x ax b= + =+故 从而 2 2 () 6( ) , 66 aa fx x b =+ 即()y fx=关于直线 6 a x =对称，从而由题设条件知 1 ,3. 62 a a = =解得
12、又由于(1) 0, 6 2 0, 12.fabb =+= =即解得 （II）由（I）知 32 () 2 3 12 1,fx x x x=+ 2 () 6 6 12fxxx =+ 6( 1)( 2).xx=+ 令 12 () 0, 6( 1)( 2) 0. 2, 1.fx x x x x =+= =即解得 当(,2),()0, ()(,2)xfxfx 时故在上为增函数； 当(2,1) , () 0, () (2,1)xfxfx +时故在上为增函数； 从而函数 1 () 2fx x=在处取得极大值 2 (2) 21, 1fx =在处取得极小值(1) 6.f = 20（本题12分） 解法一：（I）如
13、答（20）图1，过D作DFAC垂足为F， 故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则由AC=AD，知AGCD，从而 2222 115 2() . 22 11 15 . 22 4 AG AC CG AG CD AC DF CD AG DF AC = = = =由得 由 22 13 ,3, . 22 ABC Rt ABC AB AC BC S AB BC =中 故四面体ABCD的体积 15 . 38 ABC VSDF = = （II）如答（20）图1，过F作FEAB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF平面ABC。由 三垂线定理知D
14、EAB，故DEF为二面角CABD的平面角。 在 222 2 15 7 ,2(), 44 Rt AFD AF AD DF=中 在Rt ABC中，EF/BC，从而EF：BC=AF：AC，所以 7 . 8 AF BC EF AC = = 在RtDEF中， 215 tan . 7 DF DEF EF = 解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB于H，过O作 OMAC，交AD于M，由平面ABC平面ACD，知OHOM。因此以O为原点，以射线 OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故 点A，C的坐标分别为A（0，1，0），C（
15、0，1，0）。 设点B的坐标为 11 (, ,0), ,| |1Bx y AB BC BC = uuur uuur uuur 由，有 22 11 22 11 11 11 1, (1)1, 33 , 22 (). 11 , 22 xy xy xx yy += += = = 解得舍去 即点B的坐标为 31 (,0). 22 B 又设点D的坐标为 22 (0, , ), | | 1,| | 2,Dyz CD AD= = uuur uuur 由有 22 22 22 22 22 22 (1) 1, (1) 4, 33 , 44 (). 15 15 , 44 yz yz yy zz += += = = 解
16、得舍去 即点D的坐标为 315 (0, , ). 44 D从而ACD边AC上的高为 2 15 | . 4 hz= 又 22 31 |()(1) 3,|1. 22 AB BC=+= = uuuruur 故四面体ABCD的体积 11 5 | . 32 8 VABBCh= = uuur uuur （II）由（I）知 33 7 15 (,0), (0, ). 22 4 4 AB AD= uuur uuur 设非零向量(, , )nlmn=是平面ABD的法向量，则由nAB uuur 有 33 0. 22 lm+= （1） 由nAD uuur ，有 715 0. 44 mn+= （2） 取1m =，由（1
17、），（2），可得 715 715 3, , ( 3, 1, ). 15 15 ln n= =即 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC的法向量，从而 715 7 109 15 cos , , 109 49 31 15 49 1 215 109 tan , , 7 7 109 nk nk = = + = =故 即二面角CABD的平面角的正切值为 215 . 7 21（本题12分） 解：（I）由 2 2 ,22, 2 ca e ac = = 解得 222 2, 2, 2ac bac= =，故椭圆的标准方程为 22 1. 42 xy += （II）设 11 2 2 (, ), ( , ), ( ,
18、 )Pxy Mx y Nx y，则由 2OP OM ON=+ uuuruuur uuur 得 11 2 2 1 21 2 12 12 (, ) ( , ) 2( , ) ( 2 , 2 ), 2, 2. x yxy xy xxyy xx xyy y =+ =+ =+ =+即 因为点M，N在椭圆 22 24xy+=上，所以 22 22 11 22 24,24xy xy+=+=， 故 2222 22 1212 1 12 2(44)2(44)x yxxxx yyy+=+ + + 22 22 11 22 1212 12 12 (2)4(2)4( 2) 20 4( 2 ). x yxyxxy xx yy =+ + + + + =+ + 设, OM ON kk分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 12 12 1 , 2 OM ON yy kk xx = =因此 12 12 20,xx yy+ = 所以 22 2 20.xy+= 所以P点是椭圆 22 22 1 (2 5) ( 10) xy +=上的点，该椭圆的右焦点为(10,0)F，离心率 2 ,:210 2 elx=直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点 (10,0)F，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
