1、绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学 (文史类) 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第1部分1至2页，第二 部分3至4页，共4页考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题 无效，满分150分，考试时间120分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ( ) () ()P AB PA PB+= + 2 4SR= 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ( ) () ()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 3 4 3
2、VR= n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 第一部分（选择题 共 60 分） 1选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2本大题共12小题，每小题5分，共60分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目的要求的 1若全集 1, 2, 3, 4, 5M = ， 2, 4N = ，则 M N = （ A） （ B） 1,3,5 （ C） 2, 4 （ D） 1,2,3,4,5 答案： B 解析： 1, 2, 3, 4, 5M
3、= ，则 M N =1,35，选 B 2有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5， 15.5) 2 15.5， 19.5) 4 19.5， 23.5) 9 23.5， 27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5， 39.5) 7 39.5， 43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5 的数据约占 （ A） 2 11 （ B） 1 3 （ C） 1 2 （ D） 2 3 答案： B 解析： 大于或等于 31.5 的数据共有 12+7+3=22 个，约占 22 1 66 3 = ，选 B 3圆 22 460 x
4、y xy+=的圆心坐标是 （ A） (2， 3) （ B） ( 2， 3) （ C） ( 2， 3) （ D） (2， 3) 答案： D 解析： 圆方程化为 22 (2)(3)13xy+=，圆心 (2， 3)，选 D 4函数 1 () 1 2 x y =+的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 答案： A 解析： 1 () 1 2 x y =+图象过点 (0,2) ， 且单调递减， 故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2,0) 且单调递减，选 A 5 “ x 3”是“ x 2 9”的 （ A） 充分而不必要的条件 （ B）必要而不充分的条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要的
5、条件 答案： A 解析： 若 x 3，则 x 2 9，反之，若 x 2 9，则 3x = ，选 A 6 1 l ， 2 l ， 3 l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ A） 12 ll ， 23 ll 13 /ll （ B） 12 ll ， 23 /ll 13 ll （ C） 233 / /lll 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 （ D） 1 l ， 2 l ， 3 l 共点 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 答案： B 解析： 由 12 ll ， 23 /ll，根据异面直线所成角知 1 l 与 3 l 所成角为 90，选 B 7如图，正六边形 ABCDEF 中， BA
6、 CD EF+ += uuur uuur uuur （ A） 0 （ B） BE uuur （ C） AD uuur （ D） CF uuur 答案： D 解析： BA CD EF CD DE EF CF+=+= uuuruuruuruuruuruuruur ，选 D 8在 ABC 中， 222 sin sin sin sin sinA BCBC+ ，则 A 的取值范围是 （ A） (0, 6 （ B） ,) 6 （ C） (0, 3 （ D） ,) 3 答案： C 解析： 由 222 sin sin sin sin sinA BCBC+ 得 222 abcbc +，即 222 1 22 bc
7、a bc + ， 1 cos 2 A ， 0 A ，故 0 3 A ，选 C 9数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 =1， a n+1 =3S n （ n 1） ，则 a 6 = （ A） 3 4 4 （ B） 3 4 4 +1 （ C） 4 4 （ D） 4 4 +1 答案： A 解析： 由 a n+1 =3S n ，得 a n =3S n 1 （ n 2） ，相减得 a n+1 a n =3(S n S n 1 )= 3a n ，则 a n+1 =4a n （ n 2） ， a 1 =1， a 2 =3，则 a 6 = a 2 4 4 =34 4 ，选 A 10某运输公司
8、有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车某天需运往 A 地至 少 72 吨的货 物，派用的每辆车需满载且只运 送一次派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙 型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的 车辆数，可得最大利润为 （ A） 4650 元 （ B） 4700 元 （ C） 4900 元 （ D） 5000 元 答案： C 解析： 设派用甲型卡车 x（辆） ， 乙型卡车 y（辆） ， 获得的利润为 u（元） ， 450 350uxy=
9、+， 由题意， x 、 y 满足关系式 12, 219, 10 6 72, 08, 07, xy xy xy x y + + + 作出相应的平面区域， 450 350 50(9 7 )uxy xy=+= +在由 12, 219 xy xy + + 确定的交点 (7,5) 处取得最大值 4900 元， 选 C 11在抛物线 2 5( 0)yx ax a=+ 上取横坐标为 1 4x = ， 2 2x = 的两点，过这两点引一条割 线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 55 36xy+ = 相切，则抛物线顶点的 坐标为 （ A） (2,9) （ B） (0, 5) （ C） (2, 9
10、) （ D） (1, 6) 答案： A 解析： 令抛物线上横坐标为 1 4x = 、 2 2x = 的点为 (4,11 4)A a 、 (2,2 1)Ba ，则 2 AB ka=， 由 22yxaa=+=， 故切点为 (1,4 )a ， 切线方程为 (2) 60axy=， 该直线又和圆相切，则 2 66 5 (2)1 d a = + ，解得 4a = 或 0a = （舍去） ，则抛物线为 22 45(2)9yx x x=+=+ ，定点坐标为 (2,9) ，选 A 12在集合 1,2,3,4,5中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 (,)ab= ， 从所有得到的以原点为起点
11、的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形， 记所有作成的 平行四边形的个数为 n，其中面积等于 2 的平行四边形的个数为 m，则 m n = （ A） 2 15 （ B） 1 5 （ C） 4 15 （ D） 1 3 答案： B 解析： 以原点为起点的向量 (,)ab= 有 (2,1)、 (2,3) 、 (2,5) 、 (4,1)、 (4,3) 、 (4,5) 共 6 个，可作平行四边形的个数 2 6 15nC= = 个，结合图形 进行计算，其中由 (2,1) (4,1)、 (2,1) (4,3) 、 (2,3) (4,5) 确定的平行四边 形面积为 2，共有 3 个，则 31 15 5 m n
12、 = = ，选 B 第二部分（非选择题 共 90 分） 注意事项： 1必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图 题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效 2本部分共10小题，共90分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13 9 (1)x + 的展开式中 3 x 的系数是 _ （用数字作答） 答案： 84 解析： 9 (1)x + 的展开式中 3 x 的系数是 63 99 84CC= = 14 双曲线 22 1 64 36 xy =上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4， 那么 P 到左准线的距离
13、是 _ 答案： 16 答案： 16 解析： 离心率 5 4 e = ，设 P 到右准线的距离是 d，则 45 4d = ，则 16 5 d = ，则 P 到左准线的距离等于 264 16 16 10 5 += 15如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表 面积与该圆柱的侧面积之差是 _ 答案： 32 解析： 如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为 ，圆柱侧面积 24sin 24cosS = 32 sin 2 ，当 4 = 时， S 取最大值 32 ，此时球的表面积与 该圆柱的侧面积之差为 32 16函数 ()f x 的定义域为 A，若 12 ,x xA 且 12
14、 () ()f xfx= 时总有 12 x x= ，则称 ()f x 为单函 数例如，函数 ()f x =2x+1( xR )是单函数下列命题： 函数 2 ()f xx= （ xR）是单函数； 指数函数 () 2 x fx= （ xR）是单函数； 若 ()f x 为单函数， 12 ,x xA 且 12 x x ，则 12 () ()f xfx ； 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 _ （写出所有真命题的编号） 答案： 解析： 对于，若 12 () ()f xfx= ，则 12 x x= ，不满足；是单函数；命题实际上是 单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题满足
15、条件 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题共 l2 分） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算 )有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一 次） 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1 4 、 1 2 ；两小时以上且不超过三小时还 车的概率分别为 1 2 、 1 4 ；两人租车时间都不会超过四小时 （）分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （）求甲、乙两
16、人所付的租车费用之和小于 6 元的概率 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和 方法解决实际问题的能力 解 ： （）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 A、 B，则 111 () 1 424 PA= = ， 111 () 1 244 PA= = 答 ：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 1 4 、 1 4 （）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C，则 11 1111 111111 3 () ( ) ( ) ( ) 42 4422 244244 4 PC = + + + + = 答 ：甲、乙两人所付的租车费用之和小
17、于 6 元的概率为 3 4 18 （本小题共 l2 分） 已知函数 73 ( ) sin( ) cos( ) 44 fx x x =+， xR （）求 ()f x 的最小正周期和最小值； （）已知 4 cos( ) 5 =， 4 cos( ) 5 + = ， 0 2 求证： 2 () 2 0f = 本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式 等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想 （）解析 ： 7733 ( ) sin cos cos sin cos cos sin sin 4444 fx x x x x =+ 2sin 2cosx x=
18、2sin( ) 4 x =， ()f x 的最小正周期 2T = ，最小值 min () 2fx = （）证明 ：由已知得 4 cos cos sin sin 5 + = ， 4 cos cos sin sin 5 = 两式相加得 2cos cos 0 = ， 0 2 ， cos 0 = ，则 2 = 22 () 2 4sin 2 0 4 f = = 19 （本小题共 l2 分） 如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，BAC=90， AB=AC=AA 1 =1，延长 A 1 C 1 至点 P， 使 C 1 P A 1 C 1 ，连接 AP 交棱 CC 1 于 D （）求证： P
19、B 1 平面 BDA 1 ； （）求二面角 A A 1 D B 的平面角的余弦值； 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知 识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识 解决问题的能力 解法一： （）连结 AB 1 与 BA 1 交于点 O，连结 OD， C 1 D平面 AA 1 ， A 1 C 1 AP， AD=PD，又 AO=B 1 O， ODPB 1 ，又 OD面 BDA 1 ， PB 1 面 BDA 1 ， PB 1 平面 BDA 1 （）过 A 作 AE DA 1 于点 E，连结 BE BA CA， BA AA 1 ， 且 AA 1 AC=A， BA平面 A
20、A 1 C 1 C由三垂线定理可知 BEDA 1 BEA 为二面角 A A 1 D B 的平面角 在 Rt A 1 C 1 D 中， 22 1 15 () 1AD=+=， 又 1 115 11 222 AA D SAE = ， 25 5 AE = 在 Rt BAE 中， 22 25 35 ()1 55 BE =+=， 2 cos 3 AH AHB BH = 故二面角 A A 1 D B 的平面角的余弦值为 2 3 解法二 ： 如图，以 A 1 为原点， A 1 B 1 ， A 1 C 1 ， A 1 A 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角 坐标系 A 1 B 1 C 1 A
21、，则 1 (0,0,0)A ， 1 (1, 0, 0)B ， 1 (0,1,0)C ， (1, 0,1)B ， (0,2,0)P （）在 PA A 1 中有 11 1 2 CD AA= ，即 1 (0,1, ) 2 D 1 (1, 0,1)AB= uuur ， 1 (0,1, )A Dx= uuuur ， 1 (1,2,0)BP= uuur 设平面 BA 1 D 的一个法向量为 1 (,)abc=n ， 则 11 11 0, 1 0. 2 AB a c AD b c =+= =+= uuur uuuur n n 令 1c = ，则 1 1 (1, , 1) 2 = n 11 1 1 ( 1)
22、2 ( 1) 0 0 2 BP=+= uuur n ， PB 1 平面 BA 1 D， （）由（）知，平面 BA 1 D 的一个法向量 1 1 (1, , 1) 2 = n 又 2 (1,0,0)=n 为平面 AA 1 D 的一个法向量 12 12 12 12 cos , 3 | 3 1 2 = = = nn nn nn 故二面角 A A 1 D B 的平面角的余弦值为 2 3 20 （本小题共 12 分） 已知 n a 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， n S 为它的前 n 项和 （）当 1 S 、 3 S 、 4 S 成等差数列时，求 q 的值； （）当 m S 、 n S 、
23、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数 k， mk a + 、 nk a + 、 lk a + 也成 等差数列 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、 解决问题的 能力 解 ： （）由已知， 1n n aaq = ，因此 1 Sa= ， 2 3 (1 )Sa qq=+， 23 4 (1 )Sa qqq=+ 当 1 S 、 3 S 、 4 S 成等差数列时， 14 3 2SS S+= ，可得 32 aq aq aq=+ 化简得 2 10qq=解得 15 2 q = （）若 1q = ，则 n a 的每项 n aa= ，此时 mk a + 、 nk a + 、 lk
24、a + 显然成等差数列 若 1q ，由 m S 、 n S 、 l S 成等差数列可得 2 ml n SS S+= ，即 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 11 1 ml n aq aq aq qq q += 整理得 2 ml n qq q+= 因此， 11 ()2 2 kml nk mk lk nk aaaqqqaq a + + + += += = 所以， mk a + 、 nk a + 、 lk a + 也成等差数列 21 （本小题共 l2 分） 过点 C(0， 1)的椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的离心率为 3 2 ， 椭圆与 x 轴交于两点 (,0)A a 、 (
25、,0)A a ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直 线 AC 与直线 BD 交于点 Q （ I）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长； （）当点 P 异于点 B 时，求证： OP OQ uuuruuur 为定值 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考 查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解 ： （）由已知得 3 1, 2 c b a =，解得 2a = ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y+ = 椭圆的右焦点为 (3,0)，此时直线 l 的方程为 3 1 3 yx=+，代入椭圆方程得 2 7830 xx=，解得 12 8
26、3 0, 7 xx=，代入直线 l 的方程得 12 1 1, 7 yy= = ，所以 83 1 (,) 77 D ， 故 22 83 1 16 |( 0)( 1) 777 CD =+= （）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符 设直线 l 的方程为 1 1( 0 ) 2 ykx k k=+ 且 代入椭圆方程得 22 (4 1) 8 0kxkx+ += 解得 122 8 0, 41 k xx k = + ，代入直线 l 的方程得 2 122 14 1, 41 k yy k = + ， 所以 D 点的坐标为 2 22 814 (,) 4141 kk kk + 又直线 AC的方程为 1 2 x y
27、+=， 又直线 BD的方程为 12 (2) 24 k yx k + = + ， 联立得 4, 21. x k yk = =+ 因此 (4,2 1)Qkk+，又 1 (,0)P k 所以 1 (,0)(4,21)4OP OQ k k k = += uuuruuur 故 OP OQ uuuruuur 为定值 22 （本小题共 l4 分） 已知 函数 21 () 32 fx x= + ， ()hx x= （）设函数 F(x) 18f(x) x 2 h(x) 2 ，求 F(x)的单调区间与极值； （）设 aR ，解关于 x 的方程 33 lg ( 1) 2lg ( ) 2lg (4 ) 24 f xh
28、axhx = ； （）设 * nN ，证明： 1 ()() (1) (2) () 6 fnhn h h hn + L 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、 函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解 ： （） 223 ( ) 18 ( ) ( ) 12 9( 0)Fx f x x hx x x x= =+， 2 () 3 12Fx x=+ 令 () 0Fx=，得 2x = （ 2x = 舍去） 当 (0,2)x 时 () 0Fx ；当 (2, )x + 时， () 0Fx ， 故当 0,2)x 时， ()Fx为增函数；当
29、 2, )x + 时， ()Fx为减函数 2x = 为 ()Fx的极大值点，且 (2) 8 24 9 25F =+ += （） 方法一： 原方程可化为 422 33 log ( 1) log ( ) log (4 ) 24 f xhaxhx = ， 即为 42 2 2 log ( 1) log log 4 log 4 ax xaxx x = = ，且 , 14, xa x 当 14a时， 1 x a ，此时 6204 35 2 a x a = = ， 1 x a 时， 14x ，由 1 4 ax x x = ，得 2 640 xxa += ， 36 4( 4) 20 4aa= + = ， 若
30、45a ，方程有两解 35x a= ； 若 5a = 时，则 0= ，方程有一解 3x = ； 若 1a 或 5a ，原方程无解 方法二： 原方程可化为 42 2 log ( 1) log (4 ) log ( )x hx hax +=， 即 22 2 1 log ( 1) log 4 log 2 x xax+ = ， 10, 40, 0, (1)(4) . x x ax x xax = 2 14 , (3)5. x xa ax = + 当 14a时，原方程有一解 35x a= ； 当 45a 时，原方程无解 （）由已知得 (1) (2) ( ) 1 2hh hn n+ =+LL， 14 3
31、1 ()() 66 6 n fnhn n + = 设数列 n a 的前 n 项和为 n S ，且 1 ()() 6 n Sfnhn= （ * nN ） 从而有 11 1aS=，当 210k 时， 1 43 41 1 66 kkk kk aSS k k + = = 又 1 (4 3) (4 1) 1 6 k ak k kk k= + 22 1(4 3) (4 1)( 1) 6 (4 3) (4 1) 1 kkk k kkkk + = + + 11 0 6 (4 3) (4 1) 1kkkk = + 即对任意 2k 时，有 k ak ，又因为 1 11a = ，所以 12 12 n aa a n+ +LL 则 (1) (2) ( ) n Sh h hn+L ，故原不等式成立
