1、； 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1设函数 2 ,0, () ( ) 4 ,0. xx fx f xx = 若 ,则实数 = A -4 或 -2 B -4 或 2 C -2 或 4 D -2 或 2 2把复数 z 的共轭复数记作 z ， i 为虚数单位，若 1,(1 )zi zz= + r 则 = A 3-i B 3+i C 1+3i D 3 3若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4下列命题中错误 的是 A如果平面 平面 ，那么
2、平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l ，那么 l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 5设实数 ,xy满足不等式组 250 270, 0 xy xy x + + ，y0， 若 ,xy为整数，则 34x y+ 的最小值是 A 14 B 16 C 17 D 19 6若 0 2 ， 0 2 - ， 1 cos( ) 43 + = ， 3 cos( ) 42 3 =，则 cos( ) 2 += A 3 3 B 3 3 C 53 9 D 6 9 7若 ,ab为实数，则“ 01 m
3、 ab ”是 11 ab ba 或 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab += 与双曲线 2 2 1 :1 4 y Cx = 有公共的焦点， 1 C 的一条渐近线 与以 1 C 的长轴为直径的圆相交于 ,A B两点，若 1 C 恰好将线段 AB 三等分，则 A 2 13 2 a = B 2 13a = C 2 1 2 b = D 2 2b = 9有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机的并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 A 1
4、 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 10设 a， b， c 为实数， f（ x） =（ x+a） 22 (),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx+ +=+记集合 S= () 0, , () 0, ,x fx xRT xgx xR= = =若 S ， T 分别为集合元素 S， T 的元素个数， 则下列结论不可能 的是 A S =1 且 T =0 B 1T=1S = 且 C S =2 且 T =2 D S =2 且 T =3 非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11若函数 2 ()f xxxa=+为偶函数，则实数 a = =
5、。 12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是 。 13设二项式（ x- a x ） 6 （ a0）的展开式中 X 的系数为 A,常数项为 B， 若 B=4A，则 a 的值是 。 14若平面向量，满足 | |=1， | | 1，且以向量，为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则与的夹角 的取值范围是 。 15某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到 甲公司面试的概率为 2 3 ，得到乙丙公司面试的概率为 p ，且三个公司是否让其面试是相互独 立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若 1 (0) 12 PX= = ，则随机变量 X
6、的数学期望 ()EX= 16设 ,x y为实数，若 22 41,xyxy+=则 2x y+ 的最大值是 。 17设 12 ,FF分别为椭圆 2 2 1 3 x y+=的左、右焦点，点 ,A B在椭圆上，若 12 5FA FB= uuur uuuur ;则点 A的 坐标是 三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分 14 分）在 ABC 中，角 .ABC所对的边分别为 a,b,c 已知 ()sin sin sin ,ACpBpR+= 且 2 1 4 ac b= （）当 5 ,1 4 pb=时，求 ,ac的值； （）若角 B 为锐角，求 p 的
7、取值范围； 19 （本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列 n a 的首项 1 a 为 a（ aR ） ,设数列的前 n 项 和为 n S ，且 1 1 a ， 2 1 a ， 4 1 a 成等比数列 （ 1）求数列 n a 的通项公式及 n S （ 2）记 123 111 1 . n n A SSS S =+， 2 12 22 11 1 1 . n n B aaa a =+ + ，当 2n 时，试比较 n A 与 n B 的大小 20 （本题满分 15 分） 如图，在三棱锥 PABC 中， ABAC= ， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知
8、 BC=8， PO=4， AO=3， OD=2 （）证明： AP BC； （）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的 长；若不存在，请说明理由。 21 （本题满分 15 分） 已知抛物线 1 C : 3 x y ，圆 2 C : 22 (4)1xy+ =的圆心为点 M （）求点 M 到抛物线 1 c 的准线的距离； （）已知点 P 是抛物线 1 c 上一点（异于原点） ，过点 P 作圆 2 c 的两条切线，交抛物线 1 c 于 A， B 两点，若过 M， P 两点的直线 l垂直于 AB，求直线 l 的方程 22 （本题满分 14 分） 设函
9、数 Raxaxxf = ,ln)()( 2 （ I）若 )(xfyex = 为 的极值点，求实数 a； （ II）求实数 a的取值范围，使得对任意的 3,0( ex ，恒有 )4( 2 exf 成立，注： e为自然 对数的底数。 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 BADDBCACBD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 11 0 12 5 13 2 14 5 , 66 15 5 3 16 210 5 17 (0, 1) 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 18本题主要考查三角变换、正弦定理、余
10、弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。 （ I）解：由题设并利用正弦定理，得 5 , 4 1 , 4 ac ac + = = 解得 1, 1 , 4 1 , 1. 4 a a c c = = = = 或 （ II）解：由余弦定理， 222 2cosbac acB=+ 2 22 2 2 2 ()22cos 11 cos , 22 31 cos , 22 a c ac ac B p bbbB pB =+ = =+即 因为 2 3 0 cos 1, ( , 2) 2 Bp+L时 ， 即 11 11, 12 n n 时 当 0, . nn aAB时 20本题主要考查空是点、线、面位置
11、关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空 间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 方法一： （ I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 O xyz 则 (0,0,0), (0, 3,0), (4,2,0), ( 4,2,0), (0,0,4)OA BC P ， (0,3,4), ( 8,0,0)AP BC= uuuruur ，由此可得 0AP BC = uuur uuur ，所以 APBC uuur uuur ，即 .APBC （ II）解：设 ,1, (0,3,4)PM PA PM = = uuuuruur uuuur 则 BMB
12、PPMBP PA=+ =+ uuuuruur uuuuruuruur (4,2,4) (0,3,4) (4,2 3,4 4) = + = ( 4,5,0), ( 8,0,0)AC BC= = uuur uuur 设平面 BMC 的法向量 1111 (, ,)nxyz= ur ， 平面 APC 的法向量 2 n uur 222 (, ,)x yz= 由 1 1 0, 0, BM n BC n = = uuuurur uuur ur 得 111 1 4(23)(44) 0, 80, xyx x + + = = 即 1 1 11 0, 23 (0,1, ) 23 44, 44 x n zy = +
13、= + = ur 可取 由 2 2 0, 0. AP n AC n = = uuuruur uuur uur 即 22 22 340, 45 0, yz xy += += 得 22 2 22 5 , 4 (5, 4, 3). 3 , 4 xy n zy = = = uur 可取 由 12 23 0, 4 3 0, 44 nn + = = ur uur 得 解得 2 5 = ，故 AM=3。 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3。 方法二： （ I）证明：由 AB=AC， D 是 BC 的中点，得 ADBC 又 PO 平面 ABC，得 .PO BC 因为 PO AD O=I ，所以 BC
14、平面 PAD， 故 .BCPA （ II）解：如图，在平面 PAB 内作 BMPA 于 M，连 CM， 由（ I）中知 APBC ，得 AP 平面 BMC， 又 AP平面 APC，所以平面 BMC平面 APC。 在 222 ,41,41.Rt ADB AB AD BD AB=+=中得 在 222 ,Rt POD PD PO OD=+中 ， 在 222 ,Rt PDB PB PD BD=+中 所以 2222 36, PB=6.PB PO OD DB=+=得 在 222 Rt POA , 25, 5.PA AO OP PA=+=中得 又 222 1 cos , 23 PA PB AB BPA PA
15、 PB + = = 从而 PM cos 2PB BPA=，所以 AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3。 21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 （ I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1 , 4 y = 所以圆心 M（ 0， 4）到准线的距离是 17 . 4 （ II）解：设 22 2 00 11 22 (, ),(, ),(, )Px x Ax x Bx x ， 则题意得 00 12 0, 1,x xxx， 设过点 P 的圆 C 2 的切线方程为 2 00 (
16、)yx kxx= ， 即 2 00 ykxkx x= + 则 2 00 2 |4| 1, 1 kx x k + = + 即 22 2 22 0000 (1) 2(4)(4)10 xkxxkx+ +=， 设 PA， PB 的斜率为 121 2 ,( )kkk k ，则 12 ,kk是上述方程的两根，所以 22 00 0 12 12 2( 4) ( 4) 1 ,. 11 xx x kk kk += = 将代入 22 2 00 0,yx x kxkx x=+=得 由于 0 x 是此方程的根， 故 1102 20 ,x kxxkx= =，所以 2222 00 012 12 12 0 02 12 0 0
17、 2( 4) 4 22,. 1 AB MP xx xxx kxxkx xk xx x x =+=+= = 由 MPAB ，得 22 00 0 02 2( 4) 4 (2)(1) 1 AB MP xx x kk x = = ， 解得 2 0 23 , 5 x = 即点 P 的坐标为 23 23 (,) 55 ， 所以直线 l的方程为 3 115 4. 115 yx= + 22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推 理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。 （ I）解：求导得 2 () ()2()ln ()(2ln1). x aa f
18、x xa x xa x x x = + = + 因为 ()x efx= 是 的极值点， 所以 ()( )(3 )0, a fe ea e = = 解得 3aea e=或 经检验，符合题意， 所以 3.aea e=或 （ II）解：当 01x 时，对于任意的实数 a，恒有 2 () 0 4f xe 成立； 当 13x e 时，由题意，首先有 22 (3 ) (3 ) ln(3 ) 4f eea ee= ， 解得 22 33 ln(3 ) ln(3 ) ee eae+， 由（ I）知 ( ) ( )(2ln 1 ), a fx xa x x = + 令 () 2ln 1 , (1) 1 0,()
19、2ln 0, a hx x h a ha a x =+ =则 且 2 3 ln(3 ) (3 ) 2ln(3 ) 1 2ln(3 ) 1 33 e e ea he e e ee + =+ 1 2(ln 3 ) 0. ln 3 e e = 又 () (0, )hx +在 内单调递增 所以函数 () (0, )hx +在 内有唯一零点， 记此零点为 00 0 ,1 3,1 .x xexa 当 0 (,),()0;xxa fx 即 0 () (0, )f xx在 内单调递增，在 0 (,)x a 内单调递减， 在 (, )a + 内单调递增。 所以要使 ( 2 () 4 1,3f xex e对 恒成
20、立，只要 22 00 0 22 ()( )ln 4,(1) (3 ) (3 ) ln(3 ) 4 ,(2) fx x a x e fe ea e e = = 成立。 由 00 0 ()2ln 1 0 a hx x x =+=，知 000 2ln ,axxx=+ （ 3） 将（ 3）代入（ 1）得 23 2 00 4ln 4.x xe 又 0 1x ，注意到函数 ) 33 ln 1,xx+在 内单调递增， 故 0 1 x e。 再由（ 3）以及函数 2ln (1, )xxx+在 内单调递增，可得 13.ae 由（ 2）解得， 22 33. ln(3 ) ln(3 ) ee eae+ 所以 2 33. ln(3 ) e eae e 综上， a 的取值范围是 2 33. ln(3 ) e eae e
