1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学理科 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回 . 第卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号 . 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 如果事件 A， B 相互独立，那
2、么 ( ) () ()PA B PA PB=+U ( ) ()().PAB PAPB= 棱柱的体积公式 .VSh= 圆锥的体积公式 1 . 3 VSh= 其中 S 表示棱柱的底面面积 其中 S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 i是虚数单位，复数 13 1 i i = A 2 i+ B 2 i C 12i+ D 12i 2设 ,x yR 则“ 2x 且 2y ”是“ 22 4xy+ ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输
3、出 i的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 4已知 n a 为等差数列，其公差为 -2，且 7 a 是 3 a 与 9 a 的等比中项， n S 为 n a 的前 n项和， * nN ，则 10 S 的值为 A -110 B -90 C 90 D 110 5在 6 2 2 x x 的二项展开式中， 2 x 的系数为 A 15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 6如图，在 ABC 中， D是边 AC 上的点，且 ,2 3 , 2ABCDAB BDBC BD= =，则 sinC 的值为 A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 7已知 3 24 log 0.3 log 3.4 lo
4、g 3.6 1 5,5, , 5 abc = 则 A abc B bac C acb D cab 8 对实数 a 和 b ，定义运算“ ”： ,1, ,1. aa b ab ba b = 设函数 ()() 22 () 2 , .f xx xxxR= 若函数 ()yfxc= 的图像与 x轴恰有两个公共点，则实 数 c的取值范围是 A ( 3 ,2 1, 2 B ( 3 ,2 1, 4 C 11 1, , 44 + D 31 1, , 44 + 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法 从该队的全体运动员中
5、抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人 数为 _ 10一个几何体的三视图如右图所示（单位： m ） ，则该几何体的体积 为 _ 3 m 11已知抛物线 C的参数方程为 2 8, 8. x t yt = = （ t为参数）若斜率为 1 的 直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 () 2 22 4(0)xyrr += 相切， 则 r =_. 12如图，已知圆中两条弦 AB与 CD相交于点 F ， E是 AB延长线上一 点，且 2, : : 4:2:1.DF CF AF FB BE= = 若 CE与圆相切，则 线段 CE的长为 _. 13已知集合 1 |3 49, |4 6,(0,)AxRx
6、 x BxRxt t t = + = =+ ，则集合 AB =_. 14已知直角梯形 ABCD中， AD / BC , 0 90ADC=, 2, 1AD BC= = , P是腰 DC 上的动点， 则 3PA PB+ uuuruur 的最小值为 _. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 () tan(2 ), 4 fx x =+ （）求 ()f x 的定义域与最小正周期； （ II）设 0, 4 ，若 () 2cos2, 2 f = 求 的大小 16 （本小题满分 13 分） 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子
7、里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球， 若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱） （）求在 1 次游戏中， （ i）摸出 3 个白球的概率； （ ii）获奖的概率； （）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 ()EX . 17 （本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 111 ABC ABC 中， H 是正方形 11 AAB B的中心， 1 22AA = ， 1 CH平面 11 AAB B，且 1 5.CH= （）求异面直线 AC 与 A 1 B 1 所
8、成角的余弦值； （）求二面角 11 1 AAC B 的正弦值； （）设 N 为棱 11 BC 的中点，点 M 在平面 11 AAB B内，且 MN 平面 11 ABC，求线段 BM 的 长 18 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy中，点 (,)Pab (0)ab 为动点， 12 ,FF分别 为椭圆 22 22 1 xy ab +=的左右焦点已知 12 FPF为等腰三角形 （）求椭圆的离心率 e； （）设直线 2 PF 与椭圆相交于 ,AB两点， M 是直线 2 PF 上的点，满足 2AM BM= uuuuruuuur ，求 点 M 的轨迹方程 19 （本小题满分 14 分） 已知
9、 0a ，函数 2 () ln , 0.fx x axx= （ ()f x 的图像连续不断） （）求 ()f x 的单调区间； （）当 1 8 a = 时，证明：存在 0 (2, )x + ，使 0 3 () () 2 fx f= ； （）若存在均属于区间 1, 3 的 , ，且 1 ，使 () ()ff = ，证明 ln 3 ln 2 ln 2 53 a 20 （本小题满分 14 分） 已知数列 n a 与 n b 满足： 112 3(1) 0, 2 n nn n n n n ba a b a b + + + = = ， * nN ，且 12 2, 4aa= （）求 345 ,aaa的值；
10、（）设 * 21 21 , nn n ca a nN + =+ ，证明： n c 是等比数列； （ III）设 * 24 2 , kk Saa akN= + + 证明： 4 * 1 7 () 6 n k k k S nN a = 由题意，可得 212 | |,PF FF= 即 22 () 2.ac b c+= 整理得 2 2( ) 1 0, 1 cc c aa a += =得 （舍） ， 或 1 . 2 c a = 所以 1 . 2 e= （ II）解：由（ I）知 2, 3,acb c= 可得椭圆方程为 22 2 3412,x yc+= 直线 PF 2 方程为 3( ).yxc= A， B
11、两点的坐标满足方程组 22 2 3412, 3( ). x yc yxc += = 消去 y 并整理，得 2 580.xcx= 解得 12 8 0, . 5 x xc= 得方程组的解 2 1 1 2 8 , 0, 5 3, 3 3 . 5 xc x yc yc = = = = 不妨设 833 (, ),(0, 3) 55 Ac cB c 设点 M 的坐标为 833 (, ), ( , ), (, 3) 55 x yAMxcy cBMxy c= = + uuuur uuuur 则 ， 由 3 3( ), . 3 y xc cx y= =得 于是 83 3 8 33 (,), 15 5 5 5 A
12、M y x y x= uuuur (, 3).BMxx= uuuur 由 2,AM BM= uuuuruuuur 即 83 3 8 33 ()()32 15 5 5 5 yxx y x x+ =， 化简得 2 18 16 3 15 0.xxy= 将 22 18 15 3 10 5 ,0. 316 16 3 ycxyc x x + =代入 得 所以 0.x 因此，点 M 的轨迹方程是 2 18 16 3 15 0( 0).xxy x= 19本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知 识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法 .满分
13、 14 分 . （ I）解： 2 112 ( ) 2 , (0, ) 2 ax fx ax x x = = +， 令 2 ( ) 0, . 2 a fx a = 解得x= 当 x 变化时， ( ), ( )f xfx的变化情况如下表： x 2 (0, ) 2 a a 2 2 a a 2 (,) 2 a a + ( )f x + 0 - ()f x 极大值 所以， ()f x 的单调递增区间是 2 (0, ), ( ) 2 a f x a 的单调递减区间是 2 (,). 2 a a + （ II）证明：当 2 11 ,() ln . 88 afxxx=时 由（ I）知 ()f x 在（ 0， 2
14、）内单调递增， 在 (2, )+ 内单调递减 . 令 3 () () ( ). 2 gx fx f= 由于 ()f x 在（ 0， 2）内单调递增， 故 3 (2) ( ), 2 ff 即g(2)0. 取 2 3419 2,() 0. 23 e xe gx = = 且 即可） （ III）证明：由 () ()ff = 及（ I）的结论知 2 2 a a ， 从而 () , fx 在 上的最小值为 ().f a 又由 1 ， ,1,3, 知 123. 故 (2)()(1),ln24 , (2)()(3).ln24ln39. fff aa f ff a a 即 从而 ln 3 ln 2 ln 2
15、. 53 a 20本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 .满分 14 分 . （ I）解：由 * 3(1) , 2 n n bnN + = 可得 1, n n b = 为奇数 2,n为偶数 又 112 0, nn n n n ba a b a + + = 12 3 1 2 3 234 4 34 5 4 3; 5; 4. = = = 当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a （ II）证明：对任意
16、* ,nN 21 2 21 20, nnn aaa + + = 22122 20 nn n aa a + += 21 22 23 20, nn n aa a + + = ，得 223 . nn aa + = 将代入，可得 21 23 21 21 () nn nn aa aa + + +=+ 即 * 1 () nn ccnN + = 又 113 1, 0, n caa=+= 故c 因此 1 1, n n n c c c + = 所以 是等比数列 . （ III）证明：由（ II）可得 21 21 (1) k kk aa + + = ， 于是，对任意 * 2kN k且 ，有 13 35 57 23
17、 21 1, ()1, 1, (1)( ) 1. k kk aa aa aa aa += += += += M 将以上各式相加，得 121 (1) ( 1), k k aak + = 即 1 21 (1) ( 1) k k ak + = + ， 此式当 k=1 时也成立 .由式得 1 2 (1) ( 3). k k ak + = + 从而 22468 424 ()()( ), kk Saaaa aa k =+ + =L 21 2 4 3. kkk SSak =+ 所以，对任意 * ,2nNn， 4 43 42 41 4 11 43 42 41 4 () nn kmmmm km kmmmm SS
18、SSS aaaaa = =+ 1 2221232 2222123 n m mmm m mm m m = + = + 1 23 () 2(2 1) (2 2)(2 2) n m mm m m = =+ + 2 25 3 23 2(2 1) (2 2)(2 3) n m mm n n = =+ + + 2 15 3 3(1)(21)(22)(23) n m mm nn = + + + + 15 11 11 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 5 5 7 2 1 2 1 (2 2)(2 3)nn nn =+ + + + + L 155 1 3 3622 1(2 2)(2 3) 7 . 6 nnn =+ + + + 对于 n=1，不等式显然成立 . 所以，对任意 * ,nN 21 212 12 212 nn nn SSSS aa a a + +L 321212 4 12 34 212 ()()( ) nn nn SSSSS S aa aa a a =+ +L 22 2 11 1 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) 412 4 4 (4 1) 4 (4 1) nn n = + + L 222 11 1 2 1 ()( )( ) 412 4 4(4 1) 4 4(4 1) nnn n n= + + + L 11 1 () . 412 3 nn + =
